Любые 3 прямые либо параллельны друг другу либо пересекаются в трех точках

Вы будете перенаправлены на Автор24

В объёмном мире возможно три основных типа отношений прямых относительно друг друга:

1. Прямые по отношению к друг другу скрещиваются, то есть лежат в непересекающихся плоскостях и не имеют ничего общего в отличие от пересекающихся прямых. Хорошим примером будет расположение развязки на дороге, когда над одной дорогой, которая лежит на уровне земли, сверху другая. Другая иллюстрация к этому типу отношений — река и проходящая над ней железная дорога.
2. Две прямые являются параллельными и в этом случае они лежат в одной плоскости. Здесь в качестве иллюстрации из мира вспомним железнодорожные рельсы, идущие параллельно друг другу. Также параллельны друг другу, например, две вертикальные грани дома.
3. Две прямые пересекаются друг с другом и также лежат в одной плоскости. Иллюстрация из реальной жизни — это перекрёсток обычной дороги. Также одна горизонтальная, а другая вертикальная грани дома являются примером пересекающихся прямых.

Под параллельными прямыми следует понимать прямые, лежащие в одной и той же плоскости и не имеющие каких-либо точек соприкосновения друг с другом.

Рисунок 1. Типы отношений прямых в объёмном мире

В этой статье мы более подробно познакомимся с теоремой о трёх параллельных прямых в евклидовом пространстве и её доказательством.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Теорема о параллельности 3 прямых в евклидовом пространстве

Если каждая из двух прямых $a$ и $b$ в пространстве параллельны некой третьей прямой $c$, то эти прямые $a$ и $b$ параллельны также между собой.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

Доказательство теоремы о параллельности трех прямых в пространстве

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 2. Параллельность трех прямых в пространстве — доказательство

Рассмотрим прямые $a$, $b$ и $c$, причём $a$ параллельна $c$, и $b$ параллельна $c$. Отметим на прямой $b$ точку $N$.

Как известно, прямая и не возлежащая по её длине точка достаточны для задания единственной плоскости, то есть прямая $a$ и точка $N$ являются достаточными для задания некой плоскости $α$. Теперь рассмотрим нашу вторую подопечную $b$.

Предположим, что она встречается с плоскостью $α$ в каком-то месте пространства, например, в точке $N$, тогда воспользовавшись леммой о двух параллельных прямых (см. ниже) получается, что её подруга $c$ также должна пересекать плоскость $α$.

Из этого можно сделать ошибочный вывод, что прямая $a$ тоже пересекает плоскость $α$, так как она также параллельна прямой $c$. Но это совсем не так, так как прямая $a$ возлежит в плоскости $a$.

$a$ и $b$ не имеют общих точек, так как если бы они имели их, то ситуация, при которой каждая из них при этом оставалась бы параллельна прямой $c$ была бы не реализуема, следовательно, $a$ и $b$ также параллельны друг другу.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Лемма о двух параллельных прямых, использовавшаяся для доказательства теоремы о трёх параллельных прямых

Если одна из параллельных прямых пересекает некую плоскость, то и вторая прямая также пересекает эту плоскость.

Рисунок 3. Задача о параллельности трех прямых в пространстве

Необходимо найти периметр $MNQP$, при этом $AD = 12$ см, $BC = 14$

Рисунок 4. Задача о параллельности трех прямых в пространстве

1. $MN || BC, QP || BC =>$ по теореме о параллельности трёх прямых $MN || QP$
2. $MP || DA, NQ || DA =>$ по теореме о параллельности трёх прямых $MP || NQ$
3. $MN || QP, MP || NQ => MNQP$ является параллелограммом
4. $P_ = 2 cdot (MN + MP)$
5. $MN = frac= frac= 7$ см
6. $MP = frac= frac= 6$ см
7. $P_ = 2 cdot (6 + 7) = 26$ см.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 01 2022

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Конспект «Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых»

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Урок 7: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. Дата:25.09

Цель урока: ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых; рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых; доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых;закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды; развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления, внимания; развитие умения четко выполнять чертежи

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать его цели.

II. Повторение пройденного материала

Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в данной плоскости?

Могут ли две плоскости иметь общую точку, но не иметь общей прямой?

Точка А не лежит в плоскости KMN. Назовите прямую пересечения плоскостей AMN и AKM.

Даны точки А, В, С и D . Плоскость α проходит через прямую АВ , но не проходит через точку С . Прямые AD и ВС пересекаются в точке В . Сколько данных точек лежит в плоскости α ?

В пространстве даны прямая и точка. Сколько различных плоскостей можно через них провести?

Верно ли, что если три данные точки лежат в одной плоскости, то они не лежат на одной прямой?

Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?

Три прямые пересекаются в точке А. Через данную точку необходимо провести плоскость, содержащую ровно две из трех данных прямых. Сколько таких плоскостей можно провести? Рассмотрите все возможные случаи.

Одну или бесконечно много

Три или не одной

III. Изучение нового материала

1. Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? ( совпадают, пересекаются, параллельны).

2. Дайте определение параллельных прямых на плоскости. ( Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающие друг друга.)

Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо н е пересекаютс я (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями).

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Докажем теорему о параллельных прямых.

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).

По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма : Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

а || b ; α; а ∩ α = А (рис. 3).

Доказать, что b ∩ α.

1. а || b определяют плоскость β.

2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3 поэтому поэтому В ∈ α следовательно, В ∈ b , b ∈ α.

Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, что b ⊂ α.

Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b ≡ m , но это невозможно, так как по условию а || b , и а ⊂ m . Значит, b ⊂ α = B . Лемма доказана.

Теорема : Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема: Дано: а || с; b || с (рис. 4). Доказать, что а || b , то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются.

Доказательство: 1) Возьмем на прямой b точку М и через а и М проведем плоскость α. Докажем, что b ⊂ α.

Если допустить, что b ∩ α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с ∩ α, но а || с, значит, а ∩ α, что невозможно, так как а ⊂ α.

2) Прямая a ∩ b , так как в противоположном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b ), параллельные с, что невозможно. И значит, а || b и теорема доказана.

IV. Закрепление изученного материала

Задача. Дано: М — середина BD ; N — середина CD ; Q — середина АС; Р — середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

Решение:

1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ ; PQ || BC .

2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN ; NQ || DA .

3. По определению MNQP — параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ Р MNQP = 2(7 + 6) = 26.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия. 7 класс

Следствия из аксиомы

Выберите все правильные варианты ответа.

Укажите следствия из аксиомы параллельных прямых.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если три прямые параллельны, то любые две из них параллельны друг другу.

Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она не может пересекать другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Да или нет

Выберите правильный вариант ответа из выпадающего списка.

Через точку М проведена прямая b, параллельная прямой a.

Можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную данной? .

Можно ли провести две прямых параллельных данной? .

Можно ли это доказать? .

Найдите углы

Впишите недостающие элементы доказательства в таблицу.

Прямая с пересекает прямые а и b так, что ∠2 = 30 о , ∠1 в 5 раз больше. Докажите, что а || b.

Какие прямые параллельны?

Введите с клавиатуры пропущенные элементы.

Укажите в тексте параллельные прямые.

Если ∠1 =∠4, то прямые и параллельны. Если ∠2 =∠3, то прямые и параллельны.

Взаимное расположение прямых

Выделите цветом верный ответ.

Даны четыре прямые a, b, m, n. Причём прямые a и b перпендикулярны прямой n, прямые a и m параллельны. Каково взаимное положение прямых b и m?

Сколько точек и прямых?

Укажите, сколько точек и прямых можно построить по условию задачи.

Аксиома

Укажите утверждение, которое не является аксиомой.

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Восстановите последовательность

Восстановите правильную последовательность доказательства.

Дано: ΔABC – прямоугольный

Докажите: AC ║ BD.

∠ABK = 180° – 90° – 43° = 47°

∠A = ∠ABK = 47° накрест лежащие при пересечении прямых AC и KD и секущей AB.

∠KBD = 180° развёрнутый.

Пересекающиеся прямые

Вставьте пропущенные элементы текста.

Через вершины A и B ΔABC проведены прямые m и n параллельные сторонам. Докажите, что прямые m и n пересекаются:

по условию m BC;

Значит m прямую n

т.к. n AC, согласно следствию из аксиомы параллельных прямых.

Признаки параллельности

Подчеркните правильный вариант ответа.

Продолжите предложение: прямые параллельны, если равны…

Параллельные прямые

Введите с клавиатуры пропущенные элементы текста.

Прямые a, b, c пересечены секущей m так, что: b || c, ∠1 = 57°, ∠2 = 123°. Докажите, что a || b.

Так как ∠1 + ∠2 = °, это углы, значит || .

По условию || , согласно следствию 2 из аксиомы параллельных прямых || .

Доказательство

Выделите цветом правильный вариант ответа.

Что доказывает это утверждение?

Дано: прямая a, M не принадлежит прямой a.

Доказать: через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

1. Через точку M проведем прямую c, перпендикулярную a.
2. Через точку M проведем прямую b перпендикулярную прямойc.
3. Так как a ┴ c, b ┴ c , то a ║b.

💥 Видео

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

5. Параллельность трех прямыхСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

10 класс, 2 урок, Аксиомы стереометрииСкачать

10 класс - Геометрия - Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямыхСкачать

Линия пересечения плоскостейСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Параллельные прямые. Видеоурок 2. Геометрия 10 классСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ТРЕХ ПРЯМЫХ в пространствеСкачать