Траектория движения частицы жидкости – это маршрут движения отдельной частицы жидкости в пространстве.
При установившемся движении траектория движения частиц жидкости постоянна во времени.
При неустановившемся движении траектория движения частиц постоянно претерпевает изменения во времени, поскольку происходит смена скорости течения по величине и по направленности.
Траектория движения демонстрирует маршрут, пройденный частицей жидкости за обозначенный временной отрезок.
Линия тока – это линия, прочерченная через ряд точек в движущейся жидкости таким способом, что во всякой из этих точек векторы скорости в данный момент времени касательны к ним. Это понятие характерно для способа Эйлера.
Линия тока описывает некоторую мгновенную характеристику потока, объединяя различные частицы жидкости, располагающиеся на линии тока в избранный момент, и демонстрирует направление вектора скорости частиц в этот момент.
Разница между этими двумя понятиями в том, что траектории частицы демонстрирует путь движения одной частицы жидкости за определенный промежуток времени, а линия тока объединяет различные частицы и дает некоторую мгновенную характеристику движущейся жидкости в момент времени.
Через выбранную точку в определенный временной отрезок существует возможность провести исключительно единственную линию тока.
В этом заключается преимущество линий тока перед траекториями частиц. Через всякую точку может проходить множество траекторий частиц. Траектории могут самопересекаться и быть запутанными. Линии тока не пересекаются ни сами с собой, ни друг с другом, потому как в точке пересечения вектор скорости в анализируемый момент имел бы два различных направления, что физически не реально.
Когда на выбранном участке движущейся жидкости величина и направление скорости и гидродинамическое давление с течением времени постоянные величины (то есть движение можно считать установившимся), то и линия тока, и траектория частицы, оказавшейся на ней, совпадают во времени, т.е. постоянны. При описанных условиях траектории частиц выступают и линиями тока.
Резюмируя получаем, что траектория частицы фиксирует положение одной и той же частицы с течением времени; линия тока указывает направление скоростей разных частиц в один и тот же момент времени.
Видео:Закон БернуллиСкачать
Линия тока и траектория
Линией тока в поле скорости сплошной среды (в фиксированный момент времени) называется такая кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к ней. Линия тока является эйлеровой характеристикой потока; ее не следует отождествлять с траекторией, т. е. геометрическим местом последователь-
Рис. 3.2. Два метода описания движения сплошной среды:
а — траектория Т и скорость V(/, г0) элементарного жидкого объема; б — линии тока Л и скорость жидкости u(r, t) в фиксированный момент времени /; в — линии тока при неустановившемся движении в моменты времени /3; г — схема для вывода
уравнения линии тока
ных положений материальной точки (элементарной жидкой частицы) при ее движении в пространстве, которая является лагранжевой характеристикой потока (рис. 3.2). Эти линии совпадают только при установившемся движении, когда поле скорости не изменяется во времени, т. е. и = и(г). Если же движение неустановившееся, и = и(г, О, то эти линии не совпадают (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Линии тока и траектории:
а — при установившемся движении совпадают; б — при неустановившемся движении 1, 2, 3 — линии тока в моменты времени t, t + Д/,, t + ДА,; Т — траектория элементарного жидкого объема показана штриховой линией
Важной особенностью совокупности линий тока в фиксированный момент времени является то, что они никогда не пересекаются друг с другом, за исключением особых точек (см. рис. 3.5, б). Это следует из того, что скорость в данной точке не может являться касательной одновременно к двум пересекающимся кривым.
Если элементарный вектор, касательный к линии тока (см. рис. 3.2, г), обозначим через dl = (dx, dу, dz) = idx + j + kdz, to вследствие того, что вектор u = (их, иу, и.) коллинеарен dl, дифференциальные уравнения линии тока можно записать в виде
Особенности лагранжева и эйлерова методов описания движения сплошной среды дополнительно продемонстрируем на примере установившегося движения жидкости (рис. 3.4), при котором траектория и линия тока совпадают. При лагранжевом методе (рис. 3.4, а) жидкая частица, имеющая при t = /0 начальную координату г0 = (х0, у0, ?0), движется по траектории, занимая в моменты времени /0, /0 + А/, /0 + 2Д/, /0 + ЗА/ положения в пространстве, отмеченные на рисунке точками. Скорость этой частицы изменяется со временем; картина течения представляется набором траекторий различных частиц жидкости. При эйлеровом подходе тот же поток (рис. 3.4, б) описывается полем скорости u = u(r); при установившемся движении, когда Эи/Э/ = 0, скорость жидкости в любой точке потока зависит только от ее про-
Рис. 3.4. Лагранжевы (а) и эйлеровы (б) переменные при описании установившегося движения в конфузоре
Рис. 3.5. Примеры линий тока для простейших потоков: а — равномерное движение; б — источник (фонтан); в — водоворот (вихрь)
странственных координат г = (х, у, z)• Картина течения характеризуется набором линий тока.
СоЕюкупность линий тока часто используют как наглядное средство для демонстрации особенностей течения жидкости, главным образом на плоскости (рис. 3.5). На рис. 3.5, а показана совокупность линий тока при параллельноструйном течении, когда скорости на каждой линии тока имеют одинаковые значение и направление. Такое течение бывает, в частности, в широком прямоугольном призматическом канале. На рис. 3.5, б показаны линии тока, которые имеют место в случае симметричного растекания жидкости при наличии источника; такое течение можно наблюдать в бассейне, в центре которого расположен источник (фонтан). Линии тока, характерные для циркуляционных движений жидкости, например для водоворотов, вихрей, смерчей и т. д., показаны на рис. 3.5, в.
Видео:Основные понятия гидродинамики линия токаСкачать
Траектории частиц и линии тока. Установившееся движение
Траекторией движущейся частицы жидкости называется путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Изучение траекторий частиц лежит в основе метода Лагранжа. При исследовании движения жидкости по методу Эйлера общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока (рис. 4.2, 4.3). Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии.
Рис. 4.2. Схема установившегося истечения жидкости из емкости
Рис. 4.3. Схема неустановившегося истечения жидкости из емкости
При установившемся движении, когда уровень жидкости в емкости не изменяется (см. рис. 4.2), траектории частиц и линии тока совпадают. В случае неустановившегося движения (см. рис. 4.3) траектории частиц и линии тока не совпадают.
Следует подчеркнуть разницу между траекторией частицы и линией тока. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение (в данный момент времени).
Понятие установившегося движения вводится только при исследовании движения жидкости в переменных Эйлера.
Установившимся называется движение жидкости, при котором все элементы, характеризующие движение, в любой точке пространства не меняются во времени (см. рис. 4.2). Например, для составляющих скорости будем иметь
Так как величина и направление скорости движения в любой точке пространства при установившемся движении не меняются, то и линии тока не будут меняться во времени. Отсюда следует, что при установившемся движении траектории частиц и линии тока совпадают.
Движение, при котором элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства меняются во времени, называется неустановившимся (H= var, см. рис. 4.3).
Видео:Урок 7. Механическое движение. Основные определения кинематики.Скачать
Струйчатая модель движения жидкости. Трубка тока. Расход жидкости
Рассмотрим линию тока 1–2 (рис. 4.4). Проведем в точке 1 плоскость, перпендикулярную вектору скорости u1. Возьмем в этой плоскости элементарный замкнутый контур l, охватывающий площадку dω. Через все точки этого контура проведем линии тока. Совокупность линий тока, проведенных через какой-либо контур в жидкости, образуют поверхность, называемую трубкой тока.
Совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки dω, составляет элементарную струйку. В гидравлике применяется так называемая струйчатая модель движения жидкости. Поток жидкости рассматривается как состоящий из отдельных элементарных струек.
Рис. 4.4. Схема к объяснению линий тока и трубки тока
Рис. 4.5. Схема к выводу формулы расхода жидкости
Рассмотрим поток жидкости, изображенный на рис. 4.5. Объемным расходом через какую-либо поверхность называют объем жидкости, протекающий в единицу времени через данную поверхность.
Очевидно, элементарный расход будет
где vп – проекция и на п – направление нормали к поверхности.
Если провести через любую точку потока ортогональную линиям тока поверхность А, то cos(v,n) = l. Поверхность, являющаяся геометрическим местом частиц жидкости, скорости которых перпендикулярны соответствующим элементам этой поверхности, называют живым сечением потока и обозначают со. Тогда для элементарной струйки будем иметь
Это выражение называют объемным расходом жидкости через живое сечение потока.
Живое сечение потока при напорном движении показано на рис. 4.6, при безнапорном – на рис. 4.7, 4.8, где напорное – это движение под действием перепада давления, а безнапорное – под действием сил тяжести.
Рис. 4.6. Схема напорного движения жидкости
Рис. 4.7. Схема безнапорного движения жидкости
Рис. 4.8. Схема движения жидкости в открытом русле
Поверхность, соприкасающаяся с жидкостью, называется смоченным периметром ложа и обозначается буквой χ.
Отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру ложа называют гидравлическим радиусом (R):
Для круглой трубы
Если расход жидкости Q поделить на живое сечение потока, то получим среднюю скорость движения жидкости
Так как
Средняя скорость в сечении потока – это такая одинаковая для всех точек сечения скорость, при которой происходит тот же расход, какой фактически имеет место при действительных скоростях, различных для разных точек сечения. Например, в круглой трубе распределение скоростей при ламинарном течении жидкости представлено на рис. 4.9. Здесь v(r) – действительный профиль скорости при ламинарном течении.
Рис. 4.9. Профиль скорости при ламинарном движении жидкости
Средняя скорость равна половине максимальной скорости (см. параграф 6.4):
🌟 Видео
Способы описания движения. Траектория. Путь. ПеремещениеСкачать
14. Движение идеальной жидкостиСкачать
Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать
Уравнение Бернулли для потока жидкостиСкачать
Пожалуй, главное заблуждение об электричестве [Veritasium]Скачать
Леонтьев Н.Е. - Основы механики сплошных сред.Семинары -1.Лагранжево и эйлерово описание движения СССкачать
Вся кинематика с нуля за 1 час | Механика, физика, подготовка к ЕГЭ, ОГЭ | 9, 10, 11 классСкачать
МЖГ. Лекция 1.3. Кинематика жидкости. Методы Лагранжа, ЭйлераСкачать
Урок 5. Уравнение Бернулли (Статика)Скачать
Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать
Уравнение Бернулли и его приложения | Гидродинамика, ГидравликаСкачать
Якута А. А. - Механика - Гидростатика. Уравнение Бернулли. Формула ПуайзеляСкачать
Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать
Лекция 12. Элементы гидродинамикиСкачать
Физика 9 класс. §35 Направление тока и направление линий его магнитного поляСкачать
Гидродинамика Л5. Кинематика жидкостиСкачать
Урок 7.1 (теория) Система дифференциальных уравнений теплообмена и гидродинамикиСкачать