Линией тока называется линия в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости жидкости

Траектория движения частицы жидкости – это маршрут движения отдельной частицы жидкости в пространстве.

При установившемся движении траектория движения частиц жидкости постоянна во времени.

При неустановившемся движении траектория движения частиц постоянно претерпевает изменения во времени, поскольку происходит смена скорости течения по величине и по направленности.

Траектория движения демонстрирует маршрут, пройденный частицей жидкости за обозначенный временной отрезок.

Линия тока – это линия, прочерченная через ряд точек в движущейся жидкости таким способом, что во всякой из этих точек векторы скорости в данный момент времени касательны к ним. Это понятие характерно для способа Эйлера.

Линия тока описывает некоторую мгновенную характеристику потока, объединяя различные частицы жидкости, располагающиеся на линии тока в избранный момент, и демонстрирует направление вектора скорости частиц в этот момент.

Разница между этими двумя понятиями в том, что траектории частицы демонстрирует путь движения одной частицы жидкости за определенный промежуток времени, а линия тока объединяет различные частицы и дает некоторую мгновенную характеристику движущейся жидкости в момент времени.

Через выбранную точку в определенный временной отрезок существует возможность провести исключительно единственную линию тока.

В этом заключается преимущество линий тока перед траекториями частиц. Через всякую точку может проходить множество траекторий частиц. Траектории могут самопересекаться и быть запутанными. Линии тока не пересекаются ни сами с собой, ни друг с другом, потому как в точке пересечения вектор скорости в анализируемый момент имел бы два различных направления, что физически не реально.

Когда на выбранном участке движущейся жидкости величина и направление скорости и гидродинамическое давление с течением времени постоянные величины (то есть движение можно считать установившимся), то и линия тока, и траектория частицы, оказавшейся на ней, совпадают во времени, т.е. постоянны. При описанных условиях траектории частиц выступают и линиями тока.

Резюмируя получаем, что траектория частицы фиксирует положение одной и той же частицы с течением времени; линия тока указывает направление скоростей разных частиц в один и тот же момент времени.

Линия тока и траектория

Линией тока в поле скорости сплошной среды (в фиксированный момент времени) называется такая кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к ней. Линия тока является эйлеровой характеристикой потока; ее не следует отождествлять с траекторией, т. е. геометрическим местом последователь-

Рис. 3.2. Два метода описания движения сплошной среды:

а — траектория Т и скорость V(/, г₀) элементарного жидкого объема; б — линии тока Л и скорость жидкости u(r, t) в фиксированный момент времени /; в — линии тока при неустановившемся движении в моменты времени /₃; г — схема для вывода

уравнения линии тока

ных положений материальной точки (элементарной жидкой частицы) при ее движении в пространстве, которая является лагранжевой характеристикой потока (рис. 3.2). Эти линии совпадают только при установившемся движении, когда поле скорости не изменяется во времени, т. е. и = и(г). Если же движение неустановившееся, и = и(г, О, то эти линии не совпадают (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Линии тока и траектории:

а — при установившемся движении совпадают; б — при неустановившемся движении 1, 2, 3 — линии тока в моменты времени t, t + Д/,, t + ДА,; Т — траектория элементарного жидкого объема показана штриховой линией

Важной особенностью совокупности линий тока в фиксированный момент времени является то, что они никогда не пересекаются друг с другом, за исключением особых точек (см. рис. 3.5, б). Это следует из того, что скорость в данной точке не может являться касательной одновременно к двум пересекающимся кривым.

Если элементарный вектор, касательный к линии тока (см. рис. 3.2, г), обозначим через dl = (dx, dу, dz) = idx + j + kdz, to вследствие того, что вектор u = (и_х, и_у, и.) коллинеарен dl, дифференциальные уравнения линии тока можно записать в виде

Особенности лагранжева и эйлерова методов описания движения сплошной среды дополнительно продемонстрируем на примере установившегося движения жидкости (рис. 3.4), при котором траектория и линия тока совпадают. При лагранжевом методе (рис. 3.4, а) жидкая частица, имеющая при t = /₀ начальную координату г₀ = (х₀, у₀, ?₀), движется по траектории, занимая в моменты времени /₀, /₀ + А/, /₀ + 2Д/, /₀ + ЗА/ положения в пространстве, отмеченные на рисунке точками. Скорость этой частицы изменяется со временем; картина течения представляется набором траекторий различных частиц жидкости. При эйлеровом подходе тот же поток (рис. 3.4, б) описывается полем скорости u = u(r); при установившемся движении, когда Эи/Э/ = 0, скорость жидкости в любой точке потока зависит только от ее про-

Рис. 3.4. Лагранжевы (а) и эйлеровы (б) переменные при описании установившегося движения в конфузоре

Рис. 3.5. Примеры линий тока для простейших потоков: а — равномерное движение; б — источник (фонтан); в — водоворот (вихрь)

странственных координат г = (х, у, z)• Картина течения характеризуется набором линий тока.

СоЕюкупность линий тока часто используют как наглядное средство для демонстрации особенностей течения жидкости, главным образом на плоскости (рис. 3.5). На рис. 3.5, а показана совокупность линий тока при параллельноструйном течении, когда скорости на каждой линии тока имеют одинаковые значение и направление. Такое течение бывает, в частности, в широком прямоугольном призматическом канале. На рис. 3.5, б показаны линии тока, которые имеют место в случае симметричного растекания жидкости при наличии источника; такое течение можно наблюдать в бассейне, в центре которого расположен источник (фонтан). Линии тока, характерные для циркуляционных движений жидкости, например для водоворотов, вихрей, смерчей и т. д., показаны на рис. 3.5, в.

Траектории частиц и линии тока. Установившееся движение

Траекторией движущейся частицы жидкости называется путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Изучение траекторий частиц лежит в основе метода Лагранжа. При исследовании движения жидкости по методу Эйлера общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока (рис. 4.2, 4.3). Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии.

Рис. 4.2. Схема установившегося истечения жидкости из емкости

Рис. 4.3. Схема неустановившегося истечения жидкости из емкости

При установившемся движении, когда уровень жидкости в емкости не изменяется (см. рис. 4.2), траектории частиц и линии тока совпадают. В случае неустановившегося движения (см. рис. 4.3) траектории частиц и линии тока не совпадают.

Следует подчеркнуть разницу между траекторией частицы и линией тока. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение (в данный момент времени).

Понятие установившегося движения вводится только при исследовании движения жидкости в переменных Эйлера.

Установившимся называется движение жидкости, при котором все элементы, характеризующие движение, в любой точке пространства не меняются во времени (см. рис. 4.2). Например, для составляющих скорости будем иметь

Так как величина и направление скорости движения в любой точке пространства при установившемся движении не меняются, то и линии тока не будут меняться во времени. Отсюда следует, что при установившемся движении траектории частиц и линии тока совпадают.

Движение, при котором элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства меняются во времени, называется неустановившимся (H= var, см. рис. 4.3).

Струйчатая модель движения жидкости. Трубка тока. Расход жидкости

Рассмотрим линию тока 1–2 (рис. 4.4). Проведем в точке 1 плоскость, перпендикулярную вектору скорости u1. Возьмем в этой плоскости элементарный замкнутый контур l, охватывающий площадку dω. Через все точки этого контура проведем линии тока. Совокупность линий тока, проведенных через какой-либо контур в жидкости, образуют поверхность, называемую трубкой тока.

Совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки dω, составляет элементарную струйку. В гидравлике применяется так называемая струйчатая модель движения жидкости. Поток жидкости рассматривается как состоящий из отдельных элементарных струек.

Рис. 4.4. Схема к объяснению линий тока и трубки тока

Рис. 4.5. Схема к выводу формулы расхода жидкости

Рассмотрим поток жидкости, изображенный на рис. 4.5. Объемным расходом через какую-либо поверхность называют объем жидкости, протекающий в единицу времени через данную поверхность.

Очевидно, элементарный расход будет

где vп – проекция и на п – направление нормали к поверхности.

Если провести через любую точку потока ортогональную линиям тока поверхность А, то cos(v,n) = l. Поверхность, являющаяся геометрическим местом частиц жидкости, скорости которых перпендикулярны соответствующим элементам этой поверхности, называют живым сечением потока и обозначают со. Тогда для элементарной струйки будем иметь

Это выражение называют объемным расходом жидкости через живое сечение потока.

Живое сечение потока при напорном движении показано на рис. 4.6, при безнапорном – на рис. 4.7, 4.8, где напорное – это движение под действием перепада давления, а безнапорное – под действием сил тяжести.

Рис. 4.6. Схема напорного движения жидкости

Рис. 4.7. Схема безнапорного движения жидкости

Рис. 4.8. Схема движения жидкости в открытом русле

Поверхность, соприкасающаяся с жидкостью, называется смоченным периметром ложа и обозначается буквой χ.

Отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру ложа называют гидравлическим радиусом (R):

Для круглой трубы

Если расход жидкости Q поделить на живое сечение потока, то получим среднюю скорость движения жидкости

Так как

Средняя скорость в сечении потока – это такая одинаковая для всех точек сечения скорость, при которой происходит тот же расход, какой фактически имеет место при действительных скоростях, различных для разных точек сечения. Например, в круглой трубе распределение скоростей при ламинарном течении жидкости представлено на рис. 4.9. Здесь v(r) – действительный профиль скорости при ламинарном течении.

Рис. 4.9. Профиль скорости при ламинарном движении жидкости

Средняя скорость равна половине максимальной скорости (см. параграф 6.4):