Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

где p — полупериметр,

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольникаФормула:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Если без иррациональности в знаменателе, то

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

где a – сторона треугольника.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Теорема синусов

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Формула теоремы синусов:

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

  • Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника
    bc sinα = ca sinβ
    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

    9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

    Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Вывод формулы радиуса описанной окружности треугольника

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    📽️ Видео

    Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать

    Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружность

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

    Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

    Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Площадь треугольника через радиус описанной окружности: ОГЭ - ЕГЭСкачать

    Площадь треугольника через радиус описанной окружности: ОГЭ - ЕГЭ

    Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts

    За 5 секунд находим радиус описанной окружности #геометрия #образование #обучение #репетиторСкачать

    За 5 секунд находим радиус описанной окружности #геометрия #образование #обучение #репетитор

    Описанная окружность треугольника. Нахождение радиуса описанной окружности треугольникаСкачать

    Описанная окружность треугольника. Нахождение радиуса описанной окружности треугольника
    Поделиться или сохранить к себе: