Как посчитать высоту треугольника калькулятор

В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.

Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника — площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.

Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр — это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.

Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.

С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.

Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.

Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади. Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в формулу высоты.

Формула высоты произвольного треугольника через площадь

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
• длину двух равных сторон (a) и угол α
• длину двух равных сторон (a) и угол β
• длину основания (b) и угол α
• длину основания (b) и угол β

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Если известны длина стороны а и основания b

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а длина основания

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?

Формула

h = √ a 2 — ( b /₂) 2

Пример

Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:

h = √ 10 2 — ( 5 /₂) 2 = √ 100 — 6.25 ≈ 9.68 см

Если известны длина стороны а и угол α

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:

h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см

Если известны длина стороны а и угол β

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:

Если известны длина стороны b и угол α

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?

Формула

Пример

Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:

Если известны длина стороны b и угол β

Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?

Видео:как найти высоту крыши и длину стропило по углу наклонаСкачать

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Видео:Высоты треугольника.Скачать

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

.

.

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

.

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

Решение: Проверим сначала условие (9):

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

🎬 Видео

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Расчет вальмовой крыши - онлайн калькулятор с чертежамиСкачать

Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

КАК ИЗМЕРИТЬ УГОЛ БЕЗ ТРАНСПОРТИРА С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ И КАЛЬКУЛЯТОРА | МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХСкачать

Как рассчитать двухскатную крышу?Скачать

Как замерить площадь фронтона двухскатной крышиСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

как найти диагональ.Скачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать