Даны параллельные прямые а и б через точки

32. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?

Даны параллельные прямые а и б через точки

Даны параллельные прямые а и б через точки Решебник по геометрии за 10 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №32
к главе «§ 16. Параллельность прямых и плоскостей».

Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER

Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)

Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.

Видео:№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Даны параллельные прямые а и б через точки). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Даны параллельные прямые а и б через точки

Даны параллельные прямые а и б через точки

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Даны параллельные прямые а и б через точкиимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Даны параллельные прямые а и б через точки, но не принадлежит прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. Говорят, что прямые Даны параллельные прямые а и б через точкипересекаются в точке М.
Даны параллельные прямые а и б через точки

Это можно записать так: Даны параллельные прямые а и б через точки— знак принадлежности точки прямой, «Даны параллельные прямые а и б через точки» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Даны параллельные прямые а и б через точкипараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Даны параллельные прямые а и б через точки

Даны параллельные прямые а и б через точки

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Даны параллельные прямые а и б через точкиперпендикулярны (рис. 12), то пишут Даны параллельные прямые а и б через точки

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДаны параллельные прямые а и б через точкиb.
  2. Если Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 90°, то а Даны параллельные прямые а и б через точкиАВ и b Даны параллельные прямые а и б через точкиАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДаны параллельные прямые а и б через точкиb.
  3. Если Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2Даны параллельные прямые а и б через точки90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Даны параллельные прямые а и б через точкиa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Даны параллельные прямые а и б через точкиОFА = Даны параллельные прямые а и б через точкиОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2). Из равенства этих треугольников следует, что Даны параллельные прямые а и б через точкиЗ = Даны параллельные прямые а и б через точки4 и Даны параллельные прямые а и б через точки5 = Даны параллельные прямые а и б через точки6.
  6. Так как Даны параллельные прямые а и б через точки3 = Даны параллельные прямые а и б через точки4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Даны параллельные прямые а и б через точки5 = Даны параллельные прямые а и б через точки6 следует, что Даны параллельные прямые а и б через точки6 = 90°. Получаем, что а Даны параллельные прямые а и б через точкиFF1 и b Даны параллельные прямые а и б через точкиFF1, а аДаны параллельные прямые а и б через точкиb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Даны параллельные прямые а и б через точки1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Даны параллельные прямые а и б через точки
2) Заметим, что Даны параллельные прямые а и б через точки2 = Даны параллельные прямые а и б через точки3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2 и Даны параллельные прямые а и б через точки2 = Даны параллельные прямые а и б через точки3 следует, что Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДаны параллельные прямые а и б через точкиb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Даны параллельные прямые а и б через точкиAOF = Даны параллельные прямые а и б через точкиABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Даны параллельные прямые а и б через точки1 + Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Даны параллельные прямые а и б через точки3 + Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Даны параллельные прямые а и б через точкиl + Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180° и Даны параллельные прямые а и б через точки3 + Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180° следует, что Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Даны параллельные прямые а и б через точкиa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДаны параллельные прямые а и б через точкиb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точкиF и Даны параллельные прямые а и б через точки2 = Даны параллельные прямые а и б через точкиF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДаны параллельные прямые а и б через точкиb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Даны параллельные прямые а и б через точки

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Даны параллельные прямые а и б через точки2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Даны параллельные прямые а и б через точки2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Даны параллельные прямые а и б через точкиb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Даны параллельные прямые а и б через точки3 = Даны параллельные прямые а и б через точкиB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки3. Кроме того, Даны параллельные прямые а и б через точки2 = Даны параллельные прямые а и б через точки3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки3 и Даны параллельные прямые а и б через точки2 = Даны параллельные прямые а и б через точки3 следует, что Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Даны параллельные прямые а и б через точки4 = Даны параллельные прямые а и б через точкиBAF. Действительно, Даны параллельные прямые а и б через точки4 и Даны параллельные прямые а и б через точкиFAC равны как соответственные углы, a Даны параллельные прямые а и б через точкиFAC = Даны параллельные прямые а и б через точкиBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Даны параллельные прямые а и б через точки1 + Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180° (рис. 97, а).

Даны параллельные прямые а и б через точки

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Даны параллельные прямые а и б через точки2 + Даны параллельные прямые а и б через точки3= 180°.

4) Из равенств Даны параллельные прямые а и б через точки= Даны параллельные прямые а и б через точки3 и Даны параллельные прямые а и б через точки2 + Даны параллельные прямые а и б через точки3 = 180° следует, что Даны параллельные прямые а и б через точки1 + Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Даны параллельные прямые а и б через точкиBAF + Даны параллельные прямые а и б через точкиTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДаны параллельные прямые а и б через точкиа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Так как Даны параллельные прямые а и б через точки1 = 90°, то и Даны параллельные прямые а и б через точки2 = Даны параллельные прямые а и б через точки1 = 90°, а, значит, сДаны параллельные прямые а и б через точкиb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкипараллельны, то есть Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки Даны параллельные прямые а и б через точки(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Даны параллельные прямые а и б через точки, лучи АВ и КМ.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, то Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки Даны параллельные прямые а и б через точки(рис. 161).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Даны параллельные прямые а и б через точки(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Даны параллельные прямые а и б через точки, перпендикулярную прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Даны параллельные прямые а и б через точкии строят другую перпендикулярную прямую Даны параллельные прямые а и б через точки, затем — третью прямую Даны параллельные прямые а и б через точкии т. д. Поскольку прямые Даны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точкиперпендикулярны одной прямой Даны параллельные прямые а и б через точки, то из указанной теоремы следует, что Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Даны параллельные прямые а и б через точки

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Даны параллельные прямые а и б через точки, параллельной прямой Даны параллельные прямые а и б через точкии проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, то Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкитретьей прямой Даны параллельные прямые а и б через точки, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Даны параллельные прямые а и б через точки3 иДаны параллельные прямые а и б через точки5,Даны параллельные прямые а и б через точки4 иДаны параллельные прямые а и б через точки6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Даны параллельные прямые а и б через точки2 иДаны параллельные прямые а и б через точки8,Даны параллельные прямые а и б через точки1 иДаны параллельные прямые а и б через точки7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Даны параллельные прямые а и б через точки2 иДаны параллельные прямые а и б через точки6,Даны параллельные прямые а и б через точки3 иДаны параллельные прямые а и б через точки7,Даны параллельные прямые а и б через точки1 иДаны параллельные прямые а и б через точки5,Даны параллельные прямые а и б через точки4 иДаны параллельные прямые а и б через точки8 — соответственные углы;
  • Даны параллельные прямые а и б через точки3 иДаны параллельные прямые а и б через точки6,Даны параллельные прямые а и б через точки4 иДаны параллельные прямые а и б через точки5 — внутренние односторонние углы;
  • Даны параллельные прямые а и б через точки2 иДаны параллельные прямые а и б через точки7,Даны параллельные прямые а и б через точки1 иДаны параллельные прямые а и б через точки8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Даны параллельные прямые а и б через точки

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки— данные прямые, АВ — секущая, Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2 (рис. 166).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказать: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Даны параллельные прямые а и б через точкии продлим его до пересечения с прямой Даны параллельные прямые а и б через точкив точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Даны параллельные прямые а и б через точки1 = Даны параллельные прямые а и б через точки2 по условию, Даны параллельные прямые а и б через точкиBMK =Даны параллельные прямые а и б через точкиAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Даны параллельные прямые а и б через точкиANM =Даны параллельные прямые а и б через точкиBKM = 90°. Тогда прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкиперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2 (рис. 167).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказать: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкии секущей Даны параллельные прямые а и б через точки. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точкиl +Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180° (рис. 168).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказать: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкии секущей Даны параллельные прямые а и б через точки. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Даны параллельные прямые а и б через точкиAOB = Даны параллельные прямые а и б через точкиDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Даны параллельные прямые а и б через точкиBAO=Даны параллельные прямые а и б через точкиCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Даны параллельные прямые а и б через точкиBAK = 26°, Даны параллельные прямые а и б через точкиADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Даны параллельные прямые а и б через точкиBAC = 2 •Даны параллельные прямые а и б через точкиBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Даны параллельные прямые а и б через точкиADK +Даны параллельные прямые а и б через точкиBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Даны параллельные прямые а и б через точки1=Даны параллельные прямые а и б через точки2. Так как Даны параллельные прямые а и б через точкиBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Даны параллельные прямые а и б через точки2 =Даны параллельные прямые а и б через точки3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкии секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Даны параллельные прямые а и б через точки||Даны параллельные прямые а и б через точки.

Реальная геометрия

Даны параллельные прямые а и б через точки

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Даны параллельные прямые а и б через точкипроходит через точку М и параллельна прямой Даны параллельные прямые а и б через точки(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Даны параллельные прямые а и б через точкив некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точки||Даны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки(рис. 187).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказать: Даны параллельные прямые а и б через точки||Даны параллельные прямые а и б через точки.

Доказательство:

Предположим, что прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкине параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки, параллельные третьей прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Даны параллельные прямые а и б через точки||Даны параллельные прямые а и б через точки. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2,Даны параллельные прямые а и б через точки3 =Даны параллельные прямые а и б через точки4. Доказать, что Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точкипо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки. Так как Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки, то Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точкипо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Даны параллельные прямые а и б через точки, которая параллельна прямой Даны параллельные прямые а и б через точкипо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкине пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки, которые параллельны прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкипересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки, АВ — секущая,Даны параллельные прямые а и б через точки1 иДаны параллельные прямые а и б через точки2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказать: Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2.

Доказательство:

Предположим, чтоДаны параллельные прямые а и б через точки1 Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точкипо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки, параллельные прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДаны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точки— секущая,Даны параллельные прямые а и б через точки1 иДаны параллельные прямые а и б через точки2 — соответственные (рис. 196).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказать:Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки, Даны параллельные прямые а и б через точки— секущая,Даны параллельные прямые а и б через точки1 иДаны параллельные прямые а и б через точки2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказать:Даны параллельные прямые а и б через точкиl +Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Даны параллельные прямые а и б через точки2 +Даны параллельные прямые а и б через точки3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДаны параллельные прямые а и б через точкиl =Даны параллельные прямые а и б через точки3 как накрест лежащие. Следовательно,Даны параллельные прямые а и б через точкиl +Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, т. е.Даны параллельные прямые а и б через точки1 = 90°. Согласно следствию Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, т. е.Даны параллельные прямые а и б через точки2 = 90°.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Даны параллельные прямые а и б через точкиАОВ =Даны параллельные прямые а и б через точкиDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Даны параллельные прямые а и б через точкиABD =Даны параллельные прямые а и б через точкиCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Даны параллельные прямые а и б через точкиADB =Даны параллельные прямые а и б через точкиCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкипараллельны, то пишут: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки(рис. 211).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Даны параллельные прямые а и б через точки

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Даны параллельные прямые а и б через точки

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДаны параллельные прямые а и б через точки2 =Даны параллельные прямые а и б через точки3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДаны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки3. Значит,Даны параллельные прямые а и б через точки1 =Даны параллельные прямые а и б через точки2.

Даны параллельные прямые а и б через точки

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точкии АВДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, то расстояние между прямыми Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкиравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки, А Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, С Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, АВДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки, CDДаны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкии секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Даны параллельные прямые а и б через точкиCAD =Даны параллельные прямые а и б через точкиBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Даны параллельные прямые а и б через точкиравны (см. рис. 285). Прямая Даны параллельные прямые а и б через точки, проходящая через точку А параллельно прямой Даны параллельные прямые а и б через точки, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Даны параллельные прямые а и б через точки, которая параллельна прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Даны параллельные прямые а и б через точкибудет перпендикуляром и к прямой Даны параллельные прямые а и б через точки(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Даны параллельные прямые а и б через точкиADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Даны параллельные прямые а и б через точкиBAD +Даны параллельные прямые а и б через точкиADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Тогда Даны параллельные прямые а и б через точкиBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Даны параллельные прямые а и б через точкиАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Даны параллельные прямые а и б через точки, параллельную прямой Даны параллельные прямые а и б через точки.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Тогда Даны параллельные прямые а и б через точки|| Даны параллельные прямые а и б через точки. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Даны параллельные прямые а и б через точкиравноудалены от прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкина расстояние Даны параллельные прямые а и б через точкиАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки, то есть расстояние от точки М до прямой Даны параллельные прямые а и б через точкиравно Даны параллельные прямые а и б через точкиАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. Но через точку К проходит единственная прямая Даны параллельные прямые а и б через точки, параллельная Даны параллельные прямые а и б через точки. Значит, точка М принадлежит прямой Даны параллельные прямые а и б через точки.

Таким образом, все точки прямой Даны параллельные прямые а и б через точкиравноудалены от прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Даны параллельные прямые а и б через точки. Прямая Даны параллельные прямые а и б через точки, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Даны параллельные прямые а и б через точкиДаны параллельные прямые а и б через точки

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Даны параллельные прямые а и б через точки

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точки— параллельны.

Даны параллельные прямые а и б через точки

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Даны параллельные прямые а и б через точкии Даны параллельные прямые а и б через точкиесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Даны параллельные прямые а и б через точки

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Повторение теории. Решение типовых задач на параллельность прямой и плоскости

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Даны параллельные прямые а и б через точки

На этом уроке мы решим четыре типовые задачи на тему параллельных прямых и прямой, параллельной плоскости. Также мы повторим два утверждения, следующих из теоремы (признака параллельности прямой и плоскости), и воспользуемся ими при решении задач.

🎬 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

№61. Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых.Скачать

№61. Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых.

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Задача по теме "Параллельность плоскостей"Скачать

Задача по теме "Параллельность плоскостей"

№86. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых.Скачать

№86. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых.

№88. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость α соответственно в точках А и В. Точки С и DСкачать

№88. Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость α соответственно в точках А и В. Точки С и D

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

7 класс. Геометрия. Урок 11. Признаки параллельности двух прямых: теорияСкачать

7 класс. Геометрия. Урок 11. Признаки параллельности двух прямых: теория

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых
Поделиться или сохранить к себе: