Квадрат имеет наибольшую площадь среди всех четырехугольников данного периметра

• создать условия для наблюдения за площадью прямоугольника с заданным периметром;
• формировать диалог при фронтальной и групповой работе
• учить размышлять, доказывать, наблюдать.

Этап акта учебной деятельности:

этап решения частных задач

умение использовать обобщённый способ действия при решении частных задач.

Цель: настроить учащихся на урок

У: Встали красиво, настроились на работу. Здравствуйте!

2. Первая частная задача

Цель: повторить название геометрических фигур и их признаки

У: Назовите фигуры, которые нарисованы на доске.

1. -квадрат,
2. — овал,
3. — круг,
4. — прямоугольник,
5. — треугольник,
6. — ломаная линия,
7. — прямая ,
8. — отрезок,
9. — треугольник.

У: Как можно одним словом назвать фигуры 1 и 4?

Д: Прямоугольники или четырёхугольники.

У: Какие ещё фигуры имеют одинаковые названия? Почему?

Д: Фигуры 5 и 9. У них три угла, тир стороны – это треугольники.

У: Эти треугольники одинаковые?

Д: Они разные, т.к. у них разные углы

У: А какие бывают углы?

У: Как проверить прямой угол или тупой?

Д: С помощью угольника (линейка)

У: Можно ли фигуру 5 назвать прямоугольником?

Д: Нет. Углы не все прямые.

Вторая частная задача

Цель: повторить формулы, по которым находят площадь и периметр

У: Посоветуйтесь в группах и найдите периметр и площадь данных фигур.

1 группа: Мы нашли периметр 1,4,5,9 фигур.

1 фигура – это квадрат Р= аx4, S =a x a

4 фигура – это прямоугольник. Р=(а+в)x2, S=a x в

5 и 9 фигуры – это треугольники. Р=а+в+с, S=?

2 группа: Мы нашли периметр, как и группа №1, а площадь по палетке

3 группа: Мы хотим добавить, что фигуры 6,7,8, можно просто измерить,.S=?

4 группа: Мы предлагаем измерить фигуры 2 и 3 верёвочкой (шнурком) и площадь их нашли по палетке.

Третья частная задача

Цель: по заданному периметру построить прямоугольник

Вид работы: Групповая

У: Жили-были Медведь, Волк, Лиса и Заяц. Они жили в одном лесу, но часто ссорились из-за того, что запрещали друг другу заходить на свою территорию. Лев – царь зверей решил, что у каждого из них должен быть свой участок. Собрал их и говорит:

«Уважаемые звери! У меня сейчас нет времени, а вам нужны участки. Поэтому вы сами отмерьте себе участки прямоугольной формы, а чтобы не было обид, я вам раздам верёвочки длиной 16м ( у детей будут верёвочки 16 см), это значит, что у вас участки будут одинакового периметра»

Учащиеся в группах отмеривают участки прямоугольной формы по своим верёвочкам и чертят их на листах А4.

Вид работы: Фронтальная

У: Участки вы отмерили, теперь давайте обсудим на каких 4 остановимся.

(учитель направляет выбор детей на фигуры, которые указаны на рисунке )

У: Медведь выбрал себе участок под номером 1. Волк – 2, Лиса – 3, а Зайцу достался 4 участок.

Но тут Лиса стала переживать, что периметр её участка меньше, чем у Волка.

Что надо сделать, чтобы ей помочь решить этот вопрос?

Д: Надо вычислить периметр этих участков

1. Медведь: Р=(а+в)x2=(1+7)x2=16см
2. Волк: Р=(а+в)x2=(2+6)x2=16см
3. Лиса: Р=(а+в)x2=(3+5)x2=16см
4. Заяц: Р=аx4=4×4=16см

Д: Все верно, у всех участки с одинаковым периметром. Можно было и не вычислять периметр, ведь у нас у всех верёвочка была одинаковой длины.

У: Молодцы, вы все правильно объяснили!

Четвёртая частная задача

Цель: выяснить, что квадрат –прямоугольник наибольшей площади при заданном периметре.

У: На следующий день Лев пришёл, внимательно рассмотрел участки и похвалил Зайца, пожав ему лапу: « Какой ты молодец! Ты оказался самым хитрым».

Почему Лев назвал Зайца самым хитрым? Обсудите это в своих группах.

1 группа: Может быть, у него самый удобный участок по форме?

2 группа: У нас нет ответа.

3 группа: Мы нашли площадь всех участков

1. Медведь: S=а x b= 1x 7= 7 кв.см
2. Волк: S=аx b= 2 x 6= 12 кв.см
3. Лиса: S=a x b=3 x 5 = 15 кв.см
4. Заяц: S=a x b=4 x 4 = 16 кв.см

4 группа: Мы тоже нашли площадь всех участков.

У: Вы помните на какой вопрос ищем ответ?

Д: Да. Почему Заяц самый хитрый.

У: Так почему же он самый хитрый?

Д: У всех участков одинаковый периметр, но площадь разная, и у Зайца площадь самая большая.

Вывод и итог урока

У: Какой формы были все участки?

Д: Это прямоугольники, один из них квадрат.

У: Какой периметр у всех этих участков?

Д: Периметр одинаковый

У: Что скажете о их площади?

У: Почему участок Зайца особенный?

Д: У него форма не как у всех – квадрат и площадь самая большая.

У: Какой сделаем вывод?

Д: У всех прямоугольников с одинаковым периметром площади разные, а площадь квадрата самая большая.

У: Действительно! Интересное открытие?

У: Вы довольны своей работой?

Д: Да (объясняют почему)

У: Оцените вашу работу на шкале.

Спасибо за хорошую работу, урок окончен, отдыхайте.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Задачи на максимум и минимум. Задача Льва Толстого. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемwww.aripk.ru

Похожие презентации

Видео:Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Презентация на тему: » Задачи на максимум и минимум. Задача Льва Толстого.» — Транскрипт:

1 Задачи на максимум и минимум

2 Задача Льва Толстого

3 A DC B H По теореме Пифагора Он путь нашел довольно скоро

4 В роковой для своей жизни день Пахом прошел верст, идя по сторонам трапеции. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника; трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчета. Трапеция или прямоугольник ? выгадал он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае он должен был получить большую площадь земли? Интересно Решение. Прямоугольников с периметром в 40 верст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь. Однако возможны и такие прямоугольники с тем же периметром, площадь которых меньше, чем у трапеции. У каждого из этих прямоугольников при одном и том же периметре в 40 верст площадь больше, чем у нашей трапеции. Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определенного ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же периметре.

5 В роковой для своей жизни день Пахом прошел верст, идя по сторонам трапеции. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника; трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчета. Трапеция или прямоугольник ? Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определенного ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же периметре. Площадь квадрата больше! Зато можно дать ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Итак, я выдвинул предположение, что из всех прямоугольных фигур, с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь.

6 Замечательное свойство квадрата Теорема 1. Квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром

7 Замечательное свойство квадрата Теорема 2. Из всех прямоугольников с одинаковой площадью квадрат имеет наименьший периметр

8 Знакомство с этими свойствами квадрата помогло бы Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения сил, скажем 36 верст, он пошел бы по границе квадрата со стороной 9 верст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 кв. версту, — что на 3 кв. версты больше, чем он получил.

9 Знакомство с этими свойствами квадрата помогло бы Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Но может быть, Пахому еще выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой – четырехугольной, треугольной, пятиугольной и т.д.? И наоборот, если бы он наперед ограничился какою-нибудь определенной площадью прямоугольного участка, например в 64 кв.верст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого 8 верст.

10 Теорема 3. Среди всех замкнутых линий, данной длины, окружность охватывает наибольшую площадь площадью

11 Мы сделали выводы 1.Что из всех четырехугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. 2. Из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью 3. Квадрат имеет большую площадь, чем равносторонний треугольник равного периметра. 4. Но если сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т.д. равного периметра, то здесь его первенство прекращается: правильный пятиугольник обладает большей площадью, правильный шестиугольник – еще большей и т.д. 5. Среди всех замкнутых линий, данной длины, окружность охватывает наибольшую площадь

12 Задачи, которые мы рассматривали, рассматривают вопрос со стороны как бы экономической: при данной затрате сил (например, при прохождении 40-верстного пути), как достигнуть наивыгоднейшего результата (охватить наибольший участок)? В математике вопросы подобного рода носят название Задачи на максимум и минимум Они могут быть весьма разнообразны по сюжетам и степени трудности. Многие разрешаются лишь приемами высшей математики, но … есть и такие задачи, для решения которых достаточно самых элементарных сведений: любопытное свойство произведения равных множителей

13 Произведение множителей, имеющих постоянную сумму Теорема. Произведение достигает наибольшей величины, когда множители равны между собой Это произведение больше!

14 Мы рассмотрели и решили следующие задачи

15 1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 2. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? 3. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 4. Площадь прямоугольника составляет Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? 5. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?. Задачи 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение.

16 А на последок… При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон !

17 Это всё, что мы хотели ВАМ сегодня рассказать ! Дальше есть решения задач. Можно посмотреть

19 Задача 1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Доказательство. периметр квадрата и периметр прямоугольника (дано, что эти периметры равны). 1) периметр квадрата => сторона квадрата => его площадь; 2) Чтобы из квадрата сделать прямоугольник, мы одну из сторону квадрата увеличим на, и она станет тогда для сохранения периметра, другую сторону должны уменьшить на и она станет 3) Площадь прямоугольника а) Пусть сторона квадрата => его площадь; 2) Чтобы из квадрата сделать прямоугольник, мы одну из сторону квадрата увеличим на, и она станет тогда для сохранения периметра, другую сторону должны уменьшить на и она станет 3) Площадь прямоугольника а) Пусть»>

20 Задача 1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Доказательство. 3) Сравним площади квадрата и прямоугольника: т.к. б) Пусть периметр ромба => сторона ромба => т.к. сторона ромба => т.к.»>

21 Задача 1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Доказательство. в) Из всех прямоугольников наибольшую площадь имеет квадрат. Значит, в окружность вписан квадрат, и тогда его сторона находится из уравнения => Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны где — радиус данной окружности. Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны где — радиус данной окружности.»>

22 Из всех прямоугольников с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь (по теореме 1). Значит, прямоугольник должен быть квадратом. Задача Решение. Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 14 см и 14 см. 2. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? Из всех прямоугольников с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь ( по теореме 1). Значит, прямоугольник должен быть квадратом. 3. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Решение. По теореме 1 участок должен быть квадратом. Ответ: стороны участка 50 м и 50 м.

23 Из всех прямоугольников с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь (по теореме 1). Значит, прямоугольник должен быть квадратом. Задача Решение. Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 4 см и 4 см. По теореме 2 участок должен быть квадратом. 4. Площадь прямоугольника составляет 16. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? 5.Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»? Решение. По теореме 2 площадка должна быть квадратной формы. Ответ: размеры площадки 50 м и 50 м.

24 Задача Решение. 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение. По неравенству треугольника — наименьшее расстояние между двумя точками

25 Задача Решение. 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение. по неравенству треугольника — наименьшее расстояние

26 Задача Решение. 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение. 1) Соединим данные точки отрезком а) 2) Построенный отрезок пересекает прямую (т.к. по условию точки лежат в разных полуплоскостях, относительно прямой ) в точке, которую и обозначим за. 3) Тогда сумма будет равна длине отрезка (т.к. эти три точки принадлежат одной прямой). 4) Докажем, что длина отрезка наименьшее расстояние между двумя точками. Предположим, что это неверно и на прямой есть другая точка такая, что Но полученное неравенство противоречит неравенству треугольника Ответ: точка — это точка пересечения с

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Исследовательская работа: «Задача Дидоны».

Видео:Что важнее площадь или периметр?Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Исследовательская работа: «Задача Дидоны».

Автор: Тымчик Никита 8 класс, МОУ ИРМО Ширяевская СОШ

Руководитель: Ковалева В.Г.

Актуальность: Выбранную мною тему считаю актуальной, потому что экстремальные задачи не только очень важны в математике и ее приложениях, но и красивы. Одна из таких задач – задача Дидоны, которая имеет несколько различных формулировок. Вот одна из них: среди замкнутых кривых заданной длины, найти ту, которая ограничивает фигуру наибольшей площади. Эта задача имеет различные решения. Чтобы ответить на эти вопросы я стал изучать изопериметрическую задачу. Изопериметрическая задача – одна из основных задач вариационного исчисления, заключающаяся в следующем: среди всех кривых данной длины найти ту, для которой некоторая величина, зависящая от кривой имеет максимальное или минимальное значение.

Мои наблюдения показали, что кот в холодную ночь сворачивается в клубочек, дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны. Почему это происходит?

Объект исследования : изопериметрическая проблема.

Предмет исследования: приемы решений изопериметрической проблемы .

Цель исследования : Выявить свойства площади окружности и найти практическое применение этих свойств.

Показать, что в математике, как и во всякой другой науке, достаточно своих неразгаданных тайн.

Выявить и обосновать математические средства для решения этой проблемы.

Задачи: 1) выявить математические средства для решения проблемы

2) решить задачи и доказать некоторые теоремы для решения проблемы .

3) Изучить литературу и провести анализ данных.

4)Установить, какая геометрическая фигура имеет наибольшую площадь при одинаковом периметре.

Гипотеза: Вероятно, что круг в математике занимает особое место среди плоских геометрических фигур.

Виды геометрических фигур, имеющих одинаковый периметр.

2. Основная часть.

Задача царицы Дидоны.

Столько купили земли и дали ей имя Бирса,

Сколько могли окружить бычьей шкурой.

Как проникнуть в историю математики, познать ее удивительные тайны? Предлагаю совершить небольшой экскурс во времени, обратившись к старинной задаче.

Представленная мною задача проведет через разные века и страны, невольно соприкоснувшись с древней историей давно ушедших цивилизаций. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес продиктован потребностями жизни. Жизнь связана с гармонией и противоположностью.

Но существует закономерность, по которой происходят все события. Увлекаясь математикой, я заинтересовался окружностью.

Мы часто слышим, что математика берет свои корни из глубокой древности, и возникла она из практической потребности людей. По поводу древности математики никто спорить не будет, а вот о том, что побудило людей ею заниматься, существует и другое мнение. Согласно ему, математика, также как и поэзия, живопись, музыка, театр и вообще – искусство, была вызвана к жизни духовными потребностями человека, его, быть, может, не до конца осознанным ещё стремлением к познанию и красоте.

Окружность удивительно гармоническая фигура. Все ее точки находятся на одном расстоянии от центра. Окружность — замкнутая линия. Имеет длину. Круг — плоская фигура — ее характеризует площадь. Если взять нить, связать с кольцо, положить на плоскость и сделать различные фигуры: треугольник, квадрат и окружность, то наибольшей среди площадей будет площадь круга. Одна из знаменитых задач, это задача о квадратуре круга. Можно ли с помощью циркуля и линейки, построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Лишь 1882году немецкий математик Ф. Линдерман, доказал, что эта задача неразрешима с помощью циркуля и линейки.

Почему крышки канализационного люка круглые, а не квадратные или треугольные. Квадратная крышка может провалиться в люк, чего никогда не случиться с круглой крышкой.

2. Задача Дидоны .

Всё моё, моё!» — говорит жадный человек, собирая свои руки в круг, показывая, как много добра он может ими захватить. При этом, не подозревая, что демонстрирует решение одной из самых древних задач математики — изопериметрической задачи.

Изопериметрическая задача. Среди всех замкнутых линий данной длины найти ту, которая охватывает наибольшую площадь.

Ответ известен всем — это окружность, а фигура — круг. В чём же тогда задача? Задача в том, чтобы это доказать. И тут математика сталкивается с неожиданными трудностями, подтверждая известное правило: «чем очевиднее утверждение, тем труднее его доказать».

Судьба изопериметрической задачи воистину удивительна! Ответ был известен человечеству почти 3000 лет и ни у кого не вызывал сомнений, но строго доказать его удалось лишь в конце XIX века.

История изопериметрической задачи началась в IX веке до н. э., когда, как написал в своей поэме «Энеида» древнеримский поэт Вергилий

Ф

иникийская царица Дидона, спасаясь от своего брата — тирана Пигмалиона отплыла из родного города Тира с небольшим отрядом своих сторонников. Это было, если верить легенде, около 825 года до нашей эры. Долго они плыли, и наконец, пристали к берегам Африки. Жили в тех местах нубийцы. Пришельцы им были не нужны. Но Дидоне некуда было деваться, и она стала просить царя Ярба продать ей немного земли. Желая отделаться от Дидоны Ярб запросил баснословную цену, за клочок земли, который можно покрыть бычьей шкурой. К его удивлению гостья приняла его предложение, расплатилась и принялась отмерять землю. Она разрезала шкуру на ремни так, чтобы получилось кольцо. Окружила солидный клочок земли и город Карфаген. Ярб был в ярости! Его никогда так не дурачили. Но он был честным человеком и сдержал слово. Земля осталась за Дидоной. Так это было или не так, судить сложно, но Карфагенская цитадель до сих пор называется БИРСА — что означает бычья шкура. В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Финикию, после многих приключений оказалась в Северной Африке. Король нумидийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря» не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Хитрая Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие полоски, связала из них очень длинную верёвку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфоген.

Участок земли, какой формы окружила Дедина верёвкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?

И ТАК ЗАДАЧА ДИДОНЫ ТАКОВА :

Какую наибольшую площадь можно накрыть веревкой определенной длины? Такой геометрической фигурой оказался круг. Ответ на задачу знали еще древние, но доказать, что среди фигур равного периметра круг имеет наибольшую площадь смог в 18 веке великий Леонард Эйлер.

Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающая максимальную площадь. Эту задачу и называют задачей Дидоны или классической изопериметрической задачей. (Изопериметрические фигуры – это фигуры, имеющие одинаковый периметр.)

Следуя духу этой легенды, задача Дидоны формулируется следующим образом: найти фигуру с максимальной площадью при фиксированном периметре (в случае с царицей длина периметра равнялась длине веревки, связанной из воловьих ремешков). Оказывается, ответ на этот вопрос интуитивно понятен — максимальной площадью среди всех таких фигур обладает круг.

Задача царицы Дидона

Задачи, в которых требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, принято называть задачами “на экстремум” (от лат. слова extremum – “крайний”) или задачами “на максимум и минимум” (от латинских maximum и minimum –соответственно “наибольшее” и “наименьшее”). Такие задачи очень часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной практической деятельности людей. Из всех геометрических задач на экстремум считается самой простой и самой древней: “Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?”. Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в VI книге “Начал” Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство основано на сравнении площадей. Площадь прямоугольника равна , а площадь квадрата и , если . Таким образом, получили, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники заданного периметра). Именно так понимают в математике решения задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.
Геометрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, называются изопериметрическими. Такие задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.). Например, Зенодор утверждал, что:
1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;
2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;
3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.
Строгое доказательство третьего утверждения Зенодора было доказано только в XVIII веке знаменитым математиком Л. Эйлером.
Изопериметрические задачи известны также под названием “задачи Дидоны” по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы.

3. Практическая часть.

Эту задачу можно решить при помощи мыльной пленки. Возьмем проволочное кольцо, окунем в мыльный раствор и осторожно положим на его поверхность нить, связанную кольцом и не забудем ее сначала смочить. Нить лежит петлей неправильной формы. А теперь проколем пленку внутри петли. Мыльная пленка, стремясь занять меньшую поверхность, мгновенно растянет петлю в правильную окружность.

Этот же эксперимент можно повторить с листом бумаги. Возьмем лист, прорежем в нем дыру, чтобы через нее смочь пролезть. Конечно не зная секрета, это сделать нельзя. Попробуем так: сложим лист вдвое, разрежем по перегибу не доходя, до краёв, растянем и получится то, что хотели. А теперь пролезем в дыру. Можно ли в листе бумаги размером с обычную страницу из тетради проделать такое отверстие, чтобы сквозь него мог пройти человек? Если лист бумаги разрезать так, что при растяжении данной модели в результате можно получить окружность.

2. Я провел эксперимент среди учащихся младших классов. Выдал каждому учащемуся по кусочку медной проволоки длиной 24 см. В их руках ПЕРИМЕТР (веревка из шкуры быка, длина забора, изгороди). Они должны с помощью проволоки получить замкнутую фигуру наибольшей ПЛОЩАДИ (пусть это будет прямоугольник) и измерить эту площадь с помощью клетчатого тетрадного листа – посчитать клеточки, В будущем это поможет им для подготовке к ЕГЭ.

Опытным путем получаем фигуру близкую к квадрату. Теперь проверим это с помощью расчетов. Задал вопрос: Какими могут быть стороны прямоугольника, периметр которого 24 см? На доске выписываются поступающие предложения, а затем находится площадь.

Длина и ширина площадь

5 см и 7см 35 см 2

8 см и 4 см 32см 2

3 см и 9 см 27см 2

11см и 1см 11см 2

6см и 6см 36см 2

10 см и 2 см 20см 2

Итак, наибольшей площадью из всех прямоугольников данного периметра обладает квадрат. Наше исследование не является доказательством. Это гипотеза верна и будет доказана на уроках математики в старших классах. Стоит заметить, что из всех плоских фигур наибольшей площадью при заданном периметре обладает круг, но это уже достаточно сложная задача для данных учащихся.

Эксперимент 1. Диаграмма 1. Площади фигур равного периметра (40 см).

Из перечисленных фигур, имеющих равный периметр, наибольшую площадь имеет круг.

Нить, охватывающая наибольшую площадь, надо положить так, чтобы получилась окружность.

Эксперимент 2 Диаграмма 2. Периметры фигур равной площади (1 см2)

Результаты эксперимента занесены в диаграмму 2.

Диаграмма 1. Периметры фигур равной площади (1 см 2 ).

Задача 1. Среди треугольников, у которых задана одна из сторон и сумма двух других, найдите треугольник с наибольшей площадью.

Пусть AC =2а, AB + BC =2 b ( b > а).

Пусть: AB = b +х => BC =2 b — AB =2 b — b — x =b-х (рис.2)

По формуле Герона имеем:

S 2 = (а + b ) ( b — а) (а + х) (а — х) = ( b 2 – a 2 ) ( a 2 – x 2 )

S _наиб будет при х = 0, т.е. когда треугольник является равнобедренным.

если задана сумма двух величин (2 b ), а нужный результат, по всей видимости, достигается при их равенстве, то очень часто удобно, оказывается, обозначить эти величины именно так: b + х, b — х.

Задача 2. Докажите, что среди треугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет правильный.

Доказательство. Рассмотрим треугольник наибольшей площади с заданным периметром. Предположим, что этот треугольник не является равносторонним. Докажем, что тогда найдется треугольник с тем же периметром и большей площадью.

Пусть ВС=а, АС= b , АВ=с , где (а ≠ b) (рис. 3).

Треугольник со сторонами (a + b)/2, (а + b )/2, с имеет большую площадь при Р = а + b + с. => противоречие, т.ч.д.

Задача 3. Найти многоугольник с данным числом сторон и данным периметром, имеющий наибольшую площадь.

U … WXYZ — вписанный многоугольник (рис.).

Допустим, вершины U ,…, W , Y и Z , фиксированы, за исключением X .

Δ WXY , WY — основа­ние, WX + XY — сумма двух других сторон – известны.

Т.к. S _{U … WXYZ} – наибольшая => S _{Δ WXY} – наибольшая => Δ WXY — равнобедренный. => WX =ХУ ( две смежные стороны иско­мого многоугольника равны).

=> (в силу симметрии условий и схемы частного изменения) любые две смежные стороны равны. Все стороны равны: искомый многоугольник является равносторонним.

Искомый многоугольник, вписанный в круг, а также равносто­ронний, является правильным: Из всех многоугольни­ков с данным числом сторон и данным периметром наибольшую площадь имеет правильный многоугольник.

Вывод: Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, охватывающую максимальную площадь, ограничивает окружность.

Что же такое математика? Математика это красота, вдохновение творцов, восхищение тех, кто способен оценить их достижение. Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие ученые видели ее задачу в содействии объяснению законов природы. Галилею принадлежат замечательные слова «Великая книга Природы написана языком математики».

Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера, Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, одним из основных стимулов, для которых было постичь законы движения тел. они говорили, что математика – это часть физики. Математика так же служит базой для инженерных наук. Все крупные технические достижения – от строительства зданий, мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полетов – были невозможны без математики. Потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах происходит новая техническая и информационная революция. Наше время – период невиданного расцвета математики. Достижения ХХ века, по меньшей мере, сопоставимы с результатами предшествующего периода ее развития – от Фалеса до начала ХХ столетия. А число ее не раскрытых тайн неисчерпаемо.

Людей, для которых знание математики является профессиональной потребностью, с каждым годом становится все больше. Хочется отметить и еще одну особую роль математики как дисциплины развивающей интеллектуальные и творческие способности человека. Лучшего средства для их совершенствования пока не найдено.

Обобщение и вывод:

Немного зная физику поверхностного натяжения, можно научиться изопериметрической теореме у мыльного пузыря. Будучи сжаты окружающей средой, они стремятся в силу сцепления образовать при неизменном объеме более толстую поверхностную пленку, или потому, что они разрешили вопрос о том, какое тело при данном объеме имеет наименьшую поверхность. То же можно сказать про кота, который в холодную ночь сворачивается в клубочек и таким образом делает своё тело насколько возможно шарообразным. Пытаясь сохранить тепло, он уменьшает свою поверхность. Таким образом, он решает задачу о теле, с данным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возможно более шарообразным.

Установлено: какая геометрическая фигура имеет наибольшую площадь при одинаковом периметре. Такой геометрической задачей является круг.

Задача Дидоны и других

Дочь тирского царя Дидона
Бежала от отца, спасаясь,
И после многих приключений
На берег Африки явилась.

Она была авантюристкой,
В крови бурлили папы гены.
Дала основу Карфагену.
Потом была его царицей.

Но начала она с покупки!
Она купила у туземцев
У моря лишь участок суши,
«Воловьей шкурой окружённый»!

Воловью шкуру распустила
На тонко узкие полоски,
Из них длиннющую верёвку
Она связала, изловчилась.

И тут пред ней задача встала:
Какой же формы тот участок,
Наибольшей площади участок,
«Воловьей шкурой окружённый»?

Дидона как-то догадалась:
Участок будет полукругом!
Прижатым к морю полукругом,

Застроенным сплошь Карфагеном!

Россия, в сущности, часть суши
У берега морей полярных!
Имела форму полукруга:
Такой Россию видел Сталин.

Теперь сложнейшая задача –
Весь полукруг заполнить жизнью,
А не его участок малый,
Удел растленья и разврата!

📺 Видео

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Площадь квадрата. Как найти площадь квадрата?Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

Как найти площадь и периметр прямоугольника?Скачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

🆗 КАК РАССЧИТАТЬ | ПЛОЩАДЬ СТЕН❓Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Как различать периметр и площадь?Скачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Задачи на нахождение площади, периметра, стороны четырехугольника 4 классСкачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать