Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Показать, что векторы Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовв этом базисе:

Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов

Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов

Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75 /182-1 46 /911 9 /13
-13 /141 2 /7-1
5 /1821 3 /91-1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов
Решим полученную систему уравнений.

Видео:Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 — x 2 ) , . . . , ( x

n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3

1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5

1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x

1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x

2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Индивидуальное задание №7 «Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа»

Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №7

«МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. СВЯЗЬ КООРДИНАТ ВЕКТОРА И ЕГО ОБРАЗА»

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

1. В линейном пространстве A3 задано линейное преобразование φ такое, что для x=(x1, x2, x3): φx=(x2+x3, 2×1+x3, 3×1–x2+x3). Доказать, что φ – линейное преобразование. Найти его матрицы в базисах:

2. Векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) линейным преобразованием φ преобразуются соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2). Найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором указаны координаты всех векторов.

3. Дана матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовлинейного преобразования в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=2e1–e2+3e3.

1. Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка на матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовсправа есть линейное преобразование. Найти его матрицу в базисе Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов.

2. Пусть φ:L→L, dim L=2 – линейное преобразование, имеющее в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, а линейное преобразование η:L→L в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицы линейных преобразований φ+η, φ∙η в базисе g1, g2.

3. Матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовявляется матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=4e1–3e2+e3.

1. Дано преобразование φ линейного пространства A3, которое вектор x=(x1, x2, x3) переводит в вектор φx=(x1+x2+x3, 2×2, 3×1–x3). Доказать, что оно линейное, и найти его матрицы в базисах:

2. Дана матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовлинейного преобразования φ пространства многочленов степени не выше 2 в базисе x2, x, 1. Найти образ вектора f(x)=x2–4x+3.

3. Преобразование φ в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, а преобразование ψ в базисе b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицу φ∙ψ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

1. Преобразование φ пространства многочленов степени не более 3 определяется следующим образом φ(ax3+bx2+cx+d)=ax3+bx2+cx. Доказать, что оно линейно и найти его матрицы в базисах

2. Дана матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовлинейного преобразования φ арифметического трехмерного пространства A3 в базисе a1=(2,3,0), a2=(1,1,1), a3=(0,1,1). Найти: 1) образ вектора b=4a1+8a2–a3; 2) матрицу преобразования φ в базисе e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

3. Линейное преобразование φ в базисе e1, e2 имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицу преобразования φ в базисе a1=2e1+e2, a2=3e1+e2.

1. В пространстве многочленов степени не выше 3 дано преобразование, которое всякий многочлен a0+a1x+a2x2+a3x3 отображает в многочлен a0+a1x+a2x2. Доказать, что преобразование φ линейное и найти его матрицы в базисах:

2). 1+x, 2–x–x2, x2–1, 3×3.

2. Линейное преобразование φ в базисе a1=(1,2), a2=(2,3) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Линейное преобразование ψ в базисе b1=(3,1), b2=(4,2) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицу преобразования φ•ψ в базисе a1, a2.

3. Дана матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовлинейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3 и a=4e1+e2–e3.

1. В пространстве многочленов степени не выше 2 задано преобразование φ такое, что φ(f(x))=f(x+1)–f(x). Доказать, что φ – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах:

2. Пусть φ:L→L линейное преобразование, в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) имеющее матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, а линейное преобразование η:L→L в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицы линейных преобразований φ–η, φ∙η в базисе u1, u2.

3. Дана матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовлинейного преобразования φ в базисе a1, a2, a3. Найти образы векторов a1, a2, a3, b=a1+2a3.

1. Найти матрицы линейного преобразования дифференцирования пространства многочленов степени не выше 2 в базисах

2). 1, x–1, Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов.

2. Найти матрицу линейного преобразования трехмерного пространства A3, переводящего векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2), в том базисе, в котором заданы векторы.

3. Дана матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовлинейного преобразования φ в базисе e1, e2. Найти матрицу преобразования φ в базисе a1=3e1–e2, a2=e1+e2.

1. Дан базис e1, e2, e3, e4 линейного пространства L, линейное преобразование φ:L→L такое, что φe1=e1+e2, φe2=e2+e3, φe3=e3+e4, φe4=e4+e1. Доказать, что векторы g1=φe1–φe2, g2=φe2–φe3, g3=φe1+φe3, g4=e4 образуют базис пространства L, и написать матрицу линейного преобразования φ в базисе g1, g2, g3, g4.

2. Пусть линейное преобразование φ в базисе a1=(0,1), a2=(1,1) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, линейное преобразование ψ в базисе b1=(1,3), b2=(2,4) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицу преобразования φ∙ψ в базисе a1, a2.

3. Матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовявляется матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=e1+3e2–5e3.

1. В линейном пространстве L даны базис e1, e2, e3 и линейное преобразование φ:L→L такое, что φe1=e1+e2, φe2=e1+e3, φe3=e3+e2. Доказать, что векторы g2=φe2, g3=φe3, g1=φe1 образуют базис в L, и написать матрицы линейного преобразования в базисах:

2. Составить матрицы линейного преобразования φ линейного пространства А3, переводящего векторы x1=(0,0,1), x2=(0,1,0), x3=(1,1,1) соответственно в векторы y1=(2,3,5), y2=(1,0,0), y3=(0,1,−1) в базисах:

3. Линейное преобразование φ в базисе e1, e2 имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти образы векторов e1, e2, a=3e1+5e2.

1. В линейном пространстве А3 задано линейное преобразование φ такое, что для вектора x=(x1, x2, x3) φx=(x2+x3, 2×1–x2, x1+x3). Доказать, что φ – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах

2. В пространстве многочленов степени не выше 3 даны два линейных преобразования

Найти матрицу линейного преобразования φ∙ψ в базисе x3, x2, x, 1.

3. Матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовявляется матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=3e1–2e2+e3.

1. Проверить, что транспонирование квадратных матриц второго порядка есть линейное преобразование. Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицу этого линейного преобразования в базисе Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов.

2. Линейное преобразование φ: L→L в базисе e1, e2 имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти его матрицу в базисе a1=e1+2e2, a2=2e2+3e3.

3. Линейное преобразование φ: L→L переводит векторы a1=(2,0,3), a2=(4,1,5), a3=(3,1,2) соответственно в векторы b1=(1,2,-1), b2=(4,5,-2), b3=(1,1,1). Найти матрицу этого преобразования в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

1. Доказать, что преобразование φ линейного пространства А3, переводящее вектор x=(x1, x2, x3) в вектор φx=(x1+x2, x2+3×3, 3×3), является линейным. Найти матрицы преобразования φ в базисах:

2. Матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовявляется матрицей линейного преобразования φ в базисе a1=(1,2), a2=(3,0). Матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовявляется матрицей линейного преобразования ψ в базисе e1=(1,0), e2=(0,1). Найти матрицы преобразований φ+ψ и φ∙ψ в базисе a1, a2.

3. Матрица Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторовявляется матрицей линейного преобразования φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, x=3e1+2e2+e3.

1. В пространстве многочленов степени не выше 2 дано преобразование φ такое, что φ(ax2+bx+c)=ax2+bx. Доказать, что φ – линейное преобразование, и найти его матрицы в базисах

2. Линейное преобразование φ в базисе a1=(3,1), a2=(4,2) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов, линейное преобразование ψ в базисе b1=(1,2), b2=(2,3) имеет матрицу Найти матрицу в тех базисах в которых даны координаты векторов. Найти матрицы операторов φ+ψ, φ∙ψ в базисе b1, b2.

3. Линейное преобразование φ переводит векторы a1=(1,2), a2=(2,-1) соответственно в векторы b1=(3,1), b2=(2,1). Найти матрицу линейного преобразования φ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

🎦 Видео

5 4 Координаты Преобразование координат при замене базисаСкачать

5 4  Координаты  Преобразование координат при замене базиса

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Базис линейного пространства. Матрица переходаСкачать

Базис линейного пространства. Матрица перехода

Матрица переходаСкачать

Матрица перехода

Матрица перехода от одного базиса к другомуСкачать

Матрица перехода от одного базиса к другому

Замена базиса. ТемаСкачать

Замена базиса. Тема

Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Семинар №4 "Замена базиса и системы координат"Скачать

Семинар №4 "Замена базиса и системы координат"

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Матрица перевода координат из одного базиса в другойСкачать

Матрица перевода координат из одного базиса в другой

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.
Поделиться или сохранить к себе: