Координаты одного и того же вектора в разных базисах (6 видео)

Связь между базисами линейного пространства

Пусть в линейном пространстве Х_п заданы базисы Разложим векторы базиса е’ по базису е:

называют матрицей перехода от базиса е к базису е’. Заметим, что столбцами матрицы Т являются столбцы координат соответствующих векторов базиса е! в базисе е.

Соотношения (4.15) устанавливают связь между базисами е и е’. Эти соотношения удобно записать в матричной форме

Точно так же векторы базиса е можно разложить по базису е’, и тогда придем к соотношению

где Т’ — матрица перехода от базиса е’ к базису е. Столбцами матрицы Т’ служат координатные столбцы соответствующих векторов базиса е в базисе е‘.

Из соотношений е = е’ Т’ и е’ = е Т следуют выражения

из которых вытекают соотношения

Из этих соотношений в силу линейной независимости векторов базисов еие’ получаем: ТТ’ = Т’ Т = Е. Следовательно, Т’ = Т

Таким образом, матрица перехода от одного базиса п-мерного линейного пространства к другому является невырожденной матрицей n-го порядка с элементами из основного поля Р. Верно и противоположное утверждение, т.е. верна следующая теорема.

Теорема ^.10. Любая невырожденная квадратная матрица п-го порядка с элементами из поля Р служит матрицей перехода от данного базиса п-мерного линейного пространства X над полем Р к некоторому другому базису в X.

> Пусть даны базис е = (ei,e2, . е_п) линейного пространства X и невырожденная квадратная матрица

n-го порядка с элементами из поля Р. В пространстве X выберем упорядоченную систему векторов е’ = (е[, е’₂,е’_п), для которых столбцы матрицы Т являются координатными столбцами в базисе е.

Система векторов е’ состоит из п векторов и является линейно независимой, так как у невырожденной матрицы Т столбцы линейно независимы. Поэтому эта система — базис в линейном пространстве X, причем в силу выбора векторов системы выполняется равенство е’ = еТ. Это означает, что матрица Т представляет собой матрицу перехода от базиса е к базису е!. ?

Из доказанной теоремы вытекает, что в n-мерном лиейном пространстве X над полем Р существует столько различных базисов, сколько существует различных невырожденных квадратных матриц n-го порядка с элементами из поля Р. При этом учтено, что различны базисы, состоящие из одних векторов, но по-разному упорядоченных.

Практическое правило. Для построения матрицы Т перехода от базиса е к базису е! нужно для каждого вектора е’ базиса е! найти координаты в базисе е и из них, как из столбцов, построить матрицу Т.

Если векторы базисов е и е! заданы координатами в некотором базисе е°, то для отыскания координат вектора е’ в базисе е следует составить векторное равенство

от него перейти к покоординатным равенствам и из полученной системы уравнений найти искомый столбец координат (ац, «2, . а_п) Т вектора е’ в базисе е.

При отыскании матрицы Т можно также пользоваться формулой

где Т — матрица перехода от базиса е° к базису е, Т — матрица перехода от базиса е° к базису е!.

Чтобы доказать формулу (4.19), замечаем, что выполняются соотношения

Из этих соотношений получаем: е’ = е° Т2 = (еТ₁ _1 )Т2 = е(Т₁ _1 Т2), откуда следует, что Т^ 1 Т2 — матрица перехода от базиса е к базису е!, т.е. верно равенство (4.19).

Пример 4.9. Найти матрицу перехода от базиса е = (ei,62) к базису е’ = (ефе^), где [е[]_е = (2,1) т , [е’₂]_е = (3,2) т .

Решение. Здесь векторы нового базиса заданы координатами в старом базисе. Поэтому сразу можно составить искомую матрицу Т из координатных столбцов векторов е[ и е’₂:

Пример 4.10. Найти матрицу’ перехода от базиса е = (ei,62, ез) к базису е’ = (еф е’₂,е’₃), где векторы заданы своими координатами в некотором базисе: е = (1,1,1) т , 62 = (1,2,3) т , ез = (1,0,1) т , е = (-1,0,1) т , е’₂ = (1,3, 3) т , е’₃ = (1,-1,-1) т .

Решение. Составим векторное равенство

При j = 1 это равенство принимает вид:

Это равенство приводит к системе

из которой находим: а. = —2, од = 1, аз = 0. Следовательно, е[ = —2 е +б2- Аналогично при j = 2 и j = 3 получаем е(> = 61+62 — 63,63 = ei — 62 + ез. Из коэффициентов полученных разложений записываем матрицу перехода

Можно также этот ответ получить по формуле (4.19). Дли этого, пользуясь координатами векторов, записываем матрицы перехода

Пример 4.11. В линейном пространстве Р^х] многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами даны два базиса: е = (е!,е2,ез), где е = 1, ег = х, ез = х 2 , и е’ = (e’_l5 е’₂, е’₃), где е[ = 1, е’₂ — х — 1, е’₃ — (х — I) 2 . Найти матрицу перехода Т от базиса е к базису е’.

Содержание

Связь координат вектора в разных базисах
Координаты и преобразования координат в линейном пространстве
Координаты векторов в данном базисе линейного пространства
Линейные операции в координатной форме
Преобразование координат вектора при замене базиса
Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому
📺 Видео

Видео:Матрица переходаСкачать

Связь координат вектора в разных базисах

Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е₁, е₂,… , е_n ) и е 1 = (е₁ 1 , е₂ 1 ,… , е_n 1 ). Пусть

Координаты одного и того же вектора в разных базисах

(23)

Если ввести матрицу Т =

то систему (23) можно записать в матричном виде е 1 = е×Т (24).

Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е 1 . Так как векторы е₁ 1 , е₂ 1 ,… , е_n 1 линейно независимы, то матрица Т невырожденная.

Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (a₁, a₂, … , a_n) Т , а в базисе е 1 его координаты х 1 = (b₁, b₂,…, b_n) Т , то а = е×х и а = е 1 ×х 1 . отсюда е×х = е 1 ×х 1 . Используя формулу (24), получим е×х = (е×Т)×х 1 = е× (Т×х 1 ). Отсюда х = Т×х 1 (25). Формула (25) даёт связь координат одного и того же вектора в разных базисах. Её называют формулой преобразования координат.

Пример. Пусть е = (е₁, е₂, е₃ , е₄ ) – базис в пространстве L₄. Пусть е₁ 1 = 2е₁ – 3е₃ , е₂ 1 = е₂ + е₄ , е₃ 1 = 4е₁ + е₂ – е₄ , е₄ 1 = е₂ + 3е₃ – е₄ ; е₁ 11 = е₁ + е₂ , е₂ 11 = е₁ – е₃ , е₃ 11 = е₃ + е₄ , е₄ 11 = е₃ – е₄ . Покажите, что е 1 = (е₁ 1 , е₂ 1 ,… , е_n 1 ) и е 11 = (е₁ 11 , е₂ 11 ,… , е_n 11 )являются базисами в L.. Вектор а в базисе е 1 имеет координаты (1, 4, –2, 5). Найдите координаты этого вектора в базисе е 11 .

Решение. Составим определители матриц перехода Т₁и Т₂ от базиса е к е 1 и е 11 соответственно.

|Т₁|=

|Т₂| =

|Т₁|=

=–12

|Т₂| = = 2. Так как матрицы Т₁ иТ₂ невырожденные, то е 1 и е 11 – базисы.

Найдём Т₂ -1 . Для этого вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы Т₂.

А₁₁= 0, А₁₂ = – = 1, А₁₃ = = 1, А₁₄ = – = 1, А₂₁ = – , А₂₂ = = –2, А₂₃ = – = –1, А₂₄ = = –1, А₃₁ = = 0, А₃₂ = – = 0, А₃₃ = = 1, А₃₄ = – = –1, А₄₁ = – = 0, А₄₂ = = 0. А₄₃ = – = 1, А₄₄ = = –1. Используя найденные алгебраические дополнения, получим Т₂ -1 = . Следовательно, = = . Итак, в базисе е 11 данный вектор имеет координаты ( –10; 0; –17).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

Это означает, что скобки б · , · с обладают свойством линейности по второму аргументу.

2.Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь координат вектора в разных базисах.

:Xn → Xn — линейный оператор. Зададим в Xn два базиса: «старый» базис e = (e1, e2, … , en) и «новый» базис f = (f1, f2, … , fn) .

index_entry(«000») Матрицей перехода от базиса e к базису f называется матрица C = (cik) (i,k = 1, … ,n) , столбцами которой являются координатные столбцы векторов f1, f2, … ,fn в базисе e , т. е.

или в матричной форме:

где C — матрица перехода

Замечание. В силу линейной независимости базисных векторов матрица C — невырожденная ( det C ≠ 0 ). Следовательно, C имеет обратную матрицу C − 1 .

Теорема 1. Преобразование координат вектора при переходе от «старого» базиса e к «новому» базису f определяется формулой:

Доказательство. Обозначим координатные столбцы произвольного вектора
x О Xn в «старом» базисе e и в «новом» базисе f

Произвольный вектор x в базисе e имеет вид:

В базисе f тот же вектор имеет вид:

и в силу формулы (1)

Сравнивая формулы (3) и (4), получаем

Умножая это равенство слева на C −1 , получаем формулу (2), которую требовалось доказать.

Пусть линейный оператор

: Xn → Xn в базисе e имеет матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .

Теорема. index_entry(«000») Преобразование матрицы оператора

при переходе от «старого» базиса e к «новому» базису f определяется формулой:

Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y =

x . Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe и Ye — в «старом» базисе e ; Xf и Yf — в «новом» базисе f .

Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем

Сравнивая с выражением Yf = Af · Xf , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.

3.Подпространства линейного пространства. Теорема о размерностях суммы и пересечения подпространств.

Подпространство линейного пространства

Множество называется подпространством линейного пространства V, если:

Определение. Пусть – линейные подпространства в L. Их суммой называется множество

Легко убедиться, что сумма также является линейным подпространством и что эта операция сложения ассоциативна и коммутативна, так же как и операция пересечения линейных подпространств. Другое описание суммы L1 + . + Ln состоит в том, что это наименьшее подпространство в L, содержащее все Li.

Следующая теорема связывает размерности суммы двух подпространств и их пересечения:

3. Теорема. Если конечномерны, то и L1 + L2 конечномерны и

dim() + dim(L1 + L2) = dim L1 + dim L2.

Доказательство. L1 + L2 является линейной оболочкой объединения базисов L1 и L2 и потому конечномерно; содержится в конечномерных пространствах L1 и L2.Положим m = dim , n = dim L1, p = dim L2. Выберем базис пространства , его можно дополнить до базисов пространств L1 и L2: пусть это будет и . Назовем такую пару базисов в L1 и L2 согласованной.

Пусть в линейном пространстве Х_п заданы базисы Разложим векторы базиса е’ по базису е:

Точно так же векторы базиса е можно разложить по базису е’, и тогда придем к соотношению

Из соотношений е = е’ Т’ и е’ = е Т следуют выражения

из которых вытекают соотношения

> Пусть даны базис е = (ei,e2, . е_п) линейного пространства X и невырожденная квадратная матрица

При отыскании матрицы Т можно также пользоваться формулой

где Т — матрица перехода от базиса е° к базису е, Т — матрица перехода от базиса е° к базису е!.

Чтобы доказать формулу (4.19), замечаем, что выполняются соотношения

Пример 4.9. Найти матрицу перехода от базиса е = (ei,62) к базису е’ = (ефе^), где [е[]_е = (2,1) т , [е’₂]_е = (3,2) т .

Решение. Составим векторное равенство

При j = 1 это равенство принимает вид:

Это равенство приводит к системе

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты и преобразования координат в линейном пространстве

Видео:Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Координаты векторов в данном базисе линейного пространства

Пусть — базис линейного пространства . Каждый вектор можно разложить по базису (см. теорему 8.1), т.е. представить в виде , причем коэффициенты в разложении определяются однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора в базисе (или относительно базиса ). Координаты вектора — это упорядоченный на бор чисел, который представляется в виде матрицы-столбца и называется координатным столбцом вектора (в данном базисе). Вектор и его координатный столбец обозначаются одной и той же буквой полужирной или светлой соответственно.

Если базис (как упорядоченный набор векторов) представить в виде символической матрицы-строки , то разложение вектора по базису можно записать следующим образом:

Здесь умножение символической матрицы-строки на числовую матрицу-столбец производится по правилам умножения матриц.

При необходимости, если речь идет о разных базисах, у координатного столбца указывается обозначение базиса, относительно которого получены координаты, например, — координатный столбец вектора в базисе .

Из теоремы 8.1 следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты (в одном и том же базисе), и наоборот, если координаты векторов (в одном и том же базисе) соответственно равны, то равны и сами векторы .

Видео:Матрица перехода от одного базиса к другомуСкачать

Линейные операции в координатной форме

Пусть — базис линейного пространства , векторы и имеют в этом базисе координаты и соответственно, т.е.

Складывая эти равенства, получаем .

т.е. при сложении векторов их координаты складываются .

Умножая второе равенство в (8.7) на число , получаем

т.е. при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число .

Другими словами, сумма векторов имеет координаты , а произведение имеет координаты . Разумеется, что все координаты получены в одном базисе .

1. Нетрудно показать, что координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов этих векторов.

2. Если система векторов линейно зависима (линейно независима), то их координатные столбцы, полученные относительно одного базиса, образуют линейно зависимую (соответственно, линейно независимую) систему. Это следует из равносильности равенств и . Например, если в этих равенствах не все коэффициенты равны нулю, т.е. система векторов и система их координатных столбцов линейно зависимы одновременно.

3. Все свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов переносятся без изменений на их координатные столбцы, полученные в одном и том же базисе. И наоборот, свойства для матриц-столбцов, переносятся на векторы, если матрицы-столбцы считать их координатными столбцами.

4. Выбрав в n-мерном вещественном линейном пространстве некоторый базис, можно установить взаимно однозначное соответствие: каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец (в вы бранном базисе), и наоборот, каждому координатному столбцу поставить в соответствие вектор. Другими словами, любой фиксированный базис n-мерного вещественного линейного пространства позволяет установить взаимно однозначное соответствие между всеми векторами вещественно го пространства и всеми столбцами n-мерного арифметического пространства . Это соответствие обозначается . Для n-мерного комплексного линейного пространства аналогичное взаимно однозначное соответствие устанавливается с пространством .

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Преобразование координат вектора при замене базиса

Пусть заданы два базиса пространства и . Базис будем условно называть «старым», а базис — «новым». Пусть известны разложения каждого вектора нового базиса по старому базису:

Записывая по столбцам координаты векторов в базисе , составляем матрицу:

Квадратная матрица , составленная из координатных столбцов векторов нового базиса в старом базисе , называется матрицей перехода от старого базиса к новому. При помощи матрицы перехода (8.9) формулы (8.8) можно записать в виде:

Умножение символической матрицы-строки на матрицу перехода в (8.10) производится по правилам умножения матриц.

Пусть в базисе вектор имеет координаты , а в базисе — координаты , т.е.

Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (8.10), получаем — два разложения вектора в одном и том же базисе . Коэффициенты этих разложений должны совпадать (по теореме 8.1), так как это координаты одного и того же вектора в одном базисе. Поэтому

Формула (8.11) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в старом базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе .

Пример 8.3. В пространстве многочленов степени не выше второй даны две системы многочленов:

Доказать, что каждая система является базисом пространства . Найти матрицу перехода от базиса к базису . Определить координаты квадратного трехчлена относительно базисов и .

Решение. Система многочленов является стандартным базисом пространства . Докажем, что система является базисом. По ступим следующим образом. Найдем координатные столбцы этих многочленов в стандартном базисе. Раскладывая по базису , получаем

Составим из этих столбцов матрицу . Ранг этой матрицы равен 3, так как . Следовательно, столбцы линейно независимы, тогда и многочлены линейно независимы (см. пункт 2 замечаний 8.5). Итак, многочлены являются базисом пространства , а матрица — искомая матрица перехода от базиса к базису . Осталось найти координаты многочлена в этих базисах. Раскладывая по базисам, находим

Проверим результат, вычисляя по формуле (8.11):

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Свойства матрицы перехода от одного базиса к другому

1. Пусть имеются три базиса пространства и известны матрицы перехода: от базиса к базису ; от к ; от к . Тогда

Действительно, запишем связь (8.10) для данных базисов:

Подставляя первое выражение во второе равенство, получаем . Сравнивая с третьим равенством, приходим к (8.12).

2. Если — матрица перехода от базиса к базису , то матрица обратима и обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису . Координаты вектора в базисах и связаны формулами:

В самом деле, пусть — матрица перехода от базиса к базису . Учитывая, что матрица перехода от базиса к базису — единичная, применяем свойство 1 к трем базисам . Для трех базисов аналогично получаем: . Следовательно, .

3. Всякая обратимая квадратная матрица n-го порядка может служить матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства к другому базису.

Пример 8.4. В двумерном арифметическом пространстве даны два базиса: и . Найти матрицу перехода от базиса к базису и координаты вектора в каждом из базисов.

Решение. Рассмотрим стандартный базис пространства . Находим координаты векторов в стандартном базисе. Раскладываем вектор

В стандартном базисе пространства координатный столбец совпадает с вектором . Для других векторов аналогично получаем . Из координатных столбцов составим матрицы перехода (8.9) от стандартного базиса к данным базисам и

По свойству 1 матриц перехода имеем . .По свойству 2: . Поэтому

В стандартном базисе пространства координатный столбец совпадает с вектором . Найдем координаты этого вектора в базисе (по свойству 2 матрицы перехода):

В самом деле, справедливо разложение

Найдем координаты вектора в базисе двумя способами

Полученный результат подтверждает разложение: