Класс: 9
Ключевые слова: математика , ОГЭ
- 1. Углы
- 2. Медиана, биссектриса, высота
- 3. Треугольник
- 3. Четырехугольники
- 4. Окружность
- Геометрия. Урок 3. Треугольники
- Определение треугольника
- Виды треугольников
- Отрезки в треугольнике
- Площадь треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Теорема Пифагора
- Примеры решений заданий из ОГЭ
- Памятка-формулы площадей фигур для подготовки к ОГЭ по математике
- Просмотр содержимого документа «Памятка-формулы площадей фигур для подготовки к ОГЭ по математике»
- 📹 Видео
1. Углы
Вертикальные углы равны (на рис. 1 и 3; 6 и 8 и др.).
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 4 и 6; 1 и 7).
Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180˚ (на рис. 4 и 7; 1 и 6).
Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 3 и 7; 1 и 5 и др.).
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.
2. Медиана, биссектриса, высота
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
Высота треугольника – перпендикуляр опущенный из вершины угла на противоположную сторону.
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
В любом треугольники все биссектрисы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке.
3. Треугольник
Сумма углов в любом треугольнике 180˚.
Средняя линия треугольника – прямая проходящая через середины двух сторон. Средняя линия параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны.
Виды треугольников: тупоугольный (один угол тупой), прямоугольный (один угол прямой 90˚), остроугольный (все углы острые, меньше 90˚).
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны две стороны.
Свойства равнобедренного треугольника:
- в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
- в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. (все углы по 60 градусов)
Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.
Три признака равенства треугольников
I признак по двум сторонам и углу между ними
II признак (по стороне и прилежащим углам)
III признак (по трем сторонам)
Признаки подобия треугольников
I признак по двум равным углам
II признак по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
III признак по трем пропорциональным сторонам
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.
Объемы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе.
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.
Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой. (самая большая сторона это гипотенуза, две др катеты).
Свойства прямоугольного треугольника
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Катет, лежащий против угла в 30˚, равен половине гипотенузы.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c².
Пифагоровы тройки:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
- По двум катетам.
- По гипотенузе и катету.
- По катету и прилежащему острому углу.
- По катету и противолежащему острому углу.
- По гипотенузе и острому углу.
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
- По острому углу.
- По пропорциональности двух катетов.
- По пропорциональности катета и гипотенузы.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному.
Высота прямоугольного треугольника: h=ab/c или h = (где АВ гипотенуза, СЕ высота опущенная на гипотенузу).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: m=c/2 (R=с/2=mc).
3. Четырехугольники
Сумма углов в любом четырехугольнике 360˚.
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка.
Квадрат.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями: .
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны.
У равнобокой трапеции: диагонали равны; углы при основании равны; сумма противолежащих углов равна 180.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: d² = ab+c².
Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
4. Окружность
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности называется радиусом (r) окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Касательная и радиус проведенный в точку касания пересекаются под прямым углом.
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Центральный угол окружности – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен дуге на которую он опирается.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90˚.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны.
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
5. Формулы площадей
Видео:Все типы 15 задания ОГЭ 2022 математика | Геометрия на ОГЭСкачать
Геометрия. Урок 3. Треугольники
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение треугольника
- Виды треугольников
- Отрезки в треугольнике
Видео:ОГЭ за одну минуту. Задание 15 (найти угол треугольника).Скачать
Определение треугольника
Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.
Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .
Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .
Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .
Видео:Хитрости в решении геометрических задач в ОГЭ по математике | Математика TutorOnlineСкачать
Виды треугольников
Треугольник остроугольный , если все три угла в треугольнике острые.
Треугольник прямоугольный , если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .
Треугольник тупоугольный , если у него один из углов тупой.
Основные свойства треугольника:
- Против большей стороны лежит больший угол.
- Против равных сторон лежат равные углы.
- Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
- Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B .
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Отрезки в треугольнике
Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.
Свойства биссектрис треугольника:
- Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Свойства медиан треугольника:
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.
Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.
Видео:Вся геометрия 7–9 класс с нуля | ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать
Площадь треугольника
Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:
- Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Видео:Прямоугольный треугольник на ЕГЭ 2025 по профильной математикеСкачать
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.
Свойства равноберенного треугольника:
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают.
Видео:ФОРМУЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ЧАСТЬ I 😉 #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
Равносторонний треугольник
Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4
Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2
Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать
Прямоугольный треугольник
Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .
Свойства прямоугольного треугольника:
- Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
- Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
- Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° .
Видео:15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:
Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками
Видео:ОГЭ 2023 площадь треугольника #огэ #огэ2023 #математика #огэматематика #егэСкачать
Памятка-формулы площадей фигур для подготовки к ОГЭ по математике
В данном документе представлен теоеретическией материал для подготовкик ОГЭ по математике — задание из части «Геометрия»
Просмотр содержимого документа
«Памятка-формулы площадей фигур для подготовки к ОГЭ по математике»
Площади геометрических фигур
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними
Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения полупериметра этого треугольника и разностей полупериметра и всех его сторон
Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу противолежащего угла
Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к удвоенному произведению синусов двух других углов
Площадь треугольника равна произведению квадрата его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения его основания на корень квадратный из разности квадратов боковой стороны и половины основания
Площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата стороны этого треугольника и квадратного корня из трёх
Площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата его высоты к квадратному корню из трёх
Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам, описанной около него окружности
Площадь треугольника равна удвоенному произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех его углов
Площадь треугольника (многоугольника) равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот треугольник (многоугольник)
Площадь треугольника равна произведению квадрата радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника
Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон
Площадь квадрата равна квадрату его стороны
Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними
Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус одного из его углов
Площадь ромба (как и дельтоида) равна половине произведения его диагоналей
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту
Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними
Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и всех его сторон
Площадь круга равна произведению числа «пи» на квадрат радиуса
Площадь круга равна четверти произведения числа «пи» на квадрат диаметра
формулы для случаев градусной и радианной мер центральных углов
Площадь кругового сектора равна произведению площади единичного сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на меру центрального угла, соответствующего данному сектору
Площадь кругового кольца равна произведению числа «пи» на разность квадратов внешнего и внутреннего радиусов
Площадь кругового кольца равна четверти произведения числа «пи» на разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров
Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа «пи», среднего радиуса кольца и его ширины
📹 Видео
ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать
ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать
ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Равные треугольники #огэ #огэматематика #математикаСкачать