Когда угол между векторами тупой

Скалярное произведение векторов

Когда угол между векторами тупой

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Когда угол между векторами тупой

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

Когда угол между векторами тупой

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Когда угол между векторами тупой

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Когда угол между векторами тупой

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα

Когда угол между векторами тупой

  • Алгебраическая интерпретация.
  • Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

    • Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0. Когда угол между векторами тупой
    • Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα

    Видео:9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

    9 класс, 17 урок, Угол между векторами

    Скалярное произведение в координатах

    Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

    Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

    То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

    А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

    Докажем это определение:



      Сначала докажем равенства
      Когда угол между векторами тупой

    для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

    Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

    Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)

    Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
    Когда угол между векторами тупой

    Когда угол между векторами тупой

    то последнее равенство можно переписать так:

    Когда угол между векторами тупой

    а по первому определению скалярного произведения имеем

    Когда угол между векторами тупой

    Когда угол между векторами тупой

  • Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
    Когда угол между векторами тупой
  • Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
  • Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.
  • Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

    Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

    Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

    Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

    В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

    a * b = ax * bx + ay * by

    Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

    В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

    a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

    Формула скалярного произведения n-мерных векторов

    В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

    a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + . + an * bn

    Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

    Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

    Свойства скалярного произведения

    Свойства скалярного произведения векторов:



      Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

    →0 * →0 = 0

    Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

    →a * →a = →∣∣a∣∣2

    Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

    →a * →b = →b * →a

    Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

    (→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c

    Сочетательный закон для скалярного произведения:

    (k * →a) * →b = k * (→a * →b)

    Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

    a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b

    Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

    Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

    По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

    Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

    Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

    Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

    Когда угол между векторами тупой

    Когда угол между векторами тупой

    Когда угол между векторами тупой

    Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

    Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

    Примеры вычислений скалярного произведения

    Пример 1.

    Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

    У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

    (→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

    Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

    Пример 2.

    Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

    Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

    В данном случае:

    →a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

    Пример 3.

    Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

    Когда угол между векторами тупой

    По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

    Когда угол между векторами тупой

    Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

    Когда угол между векторами тупой

    В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

    Когда угол между векторами тупой

    Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

    Когда угол между векторами тупой

    Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

    Когда угол между векторами тупой

    Пример 4.

    В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

    Когда угол между векторами тупой



      Введем систему координат.
      Когда угол между векторами тупой

    Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

    Когда угол между векторами тупой

  • Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).
  • Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:
    Когда угол между векторами тупой
  • Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:
    Когда угол между векторами тупой
  • Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:
    Когда угол между векторами тупой
  • Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:
    Когда угол между векторами тупой
  • Пример 5.

    а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

    б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

    а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

    Когда угол между векторами тупой

    б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

    Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

    Обратите внимание на два существенных момента:

    • В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
    • В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

    Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

    Пример 6.

    Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

    По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

    Когда угол между векторами тупой

    Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

    Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

    Когда угол между векторами тупой

    Вычислим скалярное произведение:

    Когда угол между векторами тупой

    Вычислим длины векторов:

    Когда угол между векторами тупой

    Найдем косинус угла:

    Когда угол между векторами тупой

    Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

    Когда угол между векторами тупой

    Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

    Найдём сам угол:

    Когда угол между векторами тупой

    Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

    Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

    Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

    А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

    Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

    Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

    Угол между векторами

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Когда угол между векторами тупой

    На этом занятии мы поговорим об угле между векторами. Для начала дадим определение упомянутому понятию и используем его при обозначении скалярного произведения векторов. После рассмотрим примеры построения ненулевых векторов и вычисления угла между ними. Научимся находить скалярное произведение векторов.

    Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

    Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

    Разложение вектора по базису. 9 класс.

    Нахождение угла между векторами

    Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

    Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

    Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

    Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

    Когда угол между векторами тупой

    Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

    a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

    Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

    Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

    Видео:№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать

    №1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС

    Нахождение угла между векторами

    Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

    Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

    Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

    cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

    Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

    Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

    Решение

    Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

    Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

    Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

    Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

    Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

    cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

    А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

    Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

    Решение

    1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

    cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

    1. Также можно определить угол по формуле:

    cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

    но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

    Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

    Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

    Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

    Решение

    Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

    Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

    Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

    Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

    A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

    b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

    и отсюда выведем формулу косинуса угла:

    cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

    Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

    Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

    📽️ Видео

    10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

    10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

    100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

    100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

    11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

    11 класс, 5 урок, Угол между векторами

    Все о векторах за 60 минут | Математика ОГЭ | Молодой РепетиторСкачать

    Все о векторах за 60 минут | Математика ОГЭ | Молодой Репетитор

    найти угол между единичными векторамиСкачать

    найти угол между единичными векторами

    Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

    Косинус угла между векторами.  Коллинеарность векторов

    Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)Скачать

    Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)

    Угол между векторамиСкачать

    Угол между векторами

    Угол между векторамиСкачать

    Угол между векторами

    Угол между векторами.Скачать

    Угол между векторами.
    Поделиться или сохранить к себе: