Каноническое разложение случайного вектора

Внедрение на промышленных предприятиях автоматизированных систем контроля и управления энергопотреблением АСУЭ /157,286,303/ позволяет накапливать массивы статистических данных о режимах энергопотребления, выпуске продукции и др. и решать на их основе с применением современных математических методов ряд задач: моделирование, прогнозирование и планирование энергопотребления; анализ енергобалансов предприятия, его подразделений и энергоемких технологических агрегатов; анализ производственной и экономической деятельности энергетического хозяйства предприятия и его подразделений; диагностика оборудования в системе энергоснабжения.

Необходимость анализа совокупности показателей производственной деятельности предприятия, включающих технологические параметры, потребление енергоресурсов, исходного сырья и выпуска продукции, требует применения многомерных математических моделей, которые позволяют находить неявные взаимосвязи и закономерности, объективно существующие между показателями. В последнее время при разработке многофакторных моделей энергопотребления все большее распространение получают методы многомерного статистического анализа, в частности представление исследуемого процесса или параметров моделируемого объекта в форме ортогональных разложений /19,20,118,247,300,301,304/.

В теории случайных функций ортогональные разложения наиболее полно изучены в работах Пугачева B.C. /338/, Вентцель Е.С., /66, 67/, Тихонова В.И. /376/, Фукунаги К. /391/, в которых полагается, что случайный процесс Y(t) имеет нулевое математическое ожидание, непрерывную корреляционную функцию K(t t ) и является интегрируе 1 2 мым в квадрате на интервале [0,Т]. Разложение случайного процесса V(t) в ряд (4.1), в котором функции f (t) являются собственными функциями интегрального уравнения Фредгольма называется интегральным каноническим разложением /66,67,338,376/, интегральным разложением Карунена-Лоэва или обобщенным разложением Фурье /376,391/.

Сложные технические системы могут быть всесторонне охарактеризованы при помощи большого набора параметров (признаков) v , v ,

При описании системы мгомерной моделью строятся математические модели на основе методов многомерного статистического анализа, в которых набор случайных параметров представляется в виде координат (компонент) случайного вектора V = iv ,v . v >. Для X 45 Ті таких задач являются актуальными проблемы коррелированности пара метров v ,v v и снижения размерности пространства парамет X 2 п 114 ров L , т.е. представление многомерного случайного вектора V = Cv ,v . v через случайный вектор Р = it ,f . f > меньшей 1 2 n 1 2 m размерности га п. Данная задача может решаться с помощью канони ческого разложения многомерного случайного вектора /66,67,337/. Случайный вектор v с коррелированными в общем случае координатами v ,v . v и корреляционной функцией К выражается через слу чайный вектор і с некоррелированными координатами f ,1 f 12 n следующим образом /63,66,337,338,379,391/: v = Mv + I U F , (4.3) І = І где М — вектор математического ожидания компонет вектора v; U — координатные векторы канонического разложения, Равенство (4.3) является точным при m = п и выполняется с вероятостью 1 при m п /337/. Корреляционная матрица случайного вектора f является диагональной. Следовательно, преобразование (4-3) позволяет перейти от вектора v с симметричной корреляционной матрицей К к вектору Р с диагональной корреляционной матрицей К . Так как приведение симметричной матрицы К к диагональной форме не является однозначным, то из этого следует, что для любого случайного вектора v с конечным моментом второго порядка существует бесконечное множество канонических разложений /337/.

Широкое распространение получили методы, в которых в качестве координатных вектоов U используются гармонические функции /338,328,329,388,411/ В работах /274,368/ при моделировании режимов работы коммунально-бытовых нагрузок кроме гармонических функций используются функции, получаемые с помощью процедур ортогона-лизации Хайеса /356/. В методах расчета потерь электроэнергии в электрических сетях, предложенных в /277/, ортогональные разложения нагрузок в узлах сети выполняются по процедурам ортогонализа-ции Грамма-Шмидта /215/.

Видео:Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Моделирование процессов и систем (стр. 6 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8

Используя найденные определители матрицы, получим:

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

6.5. Определение матрицы M среднего времени перехода

Матрица М среднего времени перехода к некоторому состоянию из других состояний определяется соотношением:

Здесь I – единичная матрица; π – матрица перехода; Т – матрица финальных вероятностей; E – единичная матрица (все элементы матрицы E равны единице); Zdg – матрица, получающаяся из матрицы Z обнулением вне диагональных элементов; D – диагональная матрица с элементами, равными обратным значениям элементов диагонали матрицы финальных вероятностей T.

Задача 6.3. Система может находиться в одном из трех состояний

Процесс в системе описывается цепью Маркова. Матрица перехода имеет вид:

Определить матрицу M.

Решение. Найдем первоначально матрицу финальных вероятностей

Решая систему алгебраических уравнений (6.17), получим:

Определим π − T , получим:

Определим матрицу I. Получим:

Определим матрицу Z. Получим:

– определитель матрицы .

Матрица Z примет вид:

Определим матрицы I − Z, E * Z dg. Получим:

Опередим матрицу D. Получим:

Определим матрицу M. Получим:

Каждый элемент полученной матрицы M характеризует среднее время

перехода из одного в другое соответствующее состояние. Так, время

перехода из первого в первое состояние в среднем равно 3,126 шага, из

первого во второе 2,695 шага, из первого в третье 3,001 шага и т. д.

Видео:Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

7. Каноническое разложение случайного процесса

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

7.1. Теоретические сведения

Пусть случайный процесс X (t) представлен в виде:

неслучайные функции времени; Vi – случайные величины, причем:

M [Vi ] = 0; M [Vi*V j ] = 0, если i ≠ j

Здесь Di – дисперсия случайной величины Vi , m – количество неслучайных функций в каноническом разложении.

Соотношение (7.1) называется каноническим разложением случайного процесса X (t) .

Соотношению (7.1) соответствует корреляционная функция вида:

Соотношение (7.2) называется каноническим разложением корреляционной функции K x (t1 , t 2 ). Из (7.2) определим дисперсию Dx (t ) случайного процесса X (t) . Имеем:

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

7.2. Каноническое разложение случайного процесса в задачах

Задача 7.1. Пусть случайная функция X (t ) задана каноническим разложением:

X (t) = 3t + X1 ⋅ cos ωt + X 2 ⋅ sin ωt + X 3 ⋅ cos 2ωt + X 4 ⋅ sin 2ωt.

Случайные величины X 1 , X 2 , X 3 , X 4 имеют следующие математические ожидания и дисперсии:

m x1= m x 2 = m x 3 = m x 4 = 0; D x1 = D x 2 = 1; D x 3 = D x 4 = 3.

Определить m x (t), K x (t1 , t 2), Dx (t).

Решение. Прежде всего найдем m x (t ), получим:

Определим K x (t1 , t 2 ). Будем иметь:

K x (t1 , t 2 ) = cos ωt1 ⋅ cos ωt2 + sin ωt1 ⋅ sin ωt 2 +

+ 3 cos 2ωt1 ⋅ cos 2ωt2 + 3 sin 2ωt1 sin 2ωt 2 =

= cos ω(t1 – t2 ) + 3 cos 2ω(t1 – t2 ).

Определим D x (t), получим:

Dx (t ) = K x (t, t) = 4.

Задача 7.2. Пусть случайная функция X (t) задана каноническим разложением вида:

X (t) = 2t + X 1 ⋅ sin t + X 2 ⋅ cos t.

Случайные величины X 1 , X 2 имеют следующие математические ожидания

m x1 = m x 2 = 0; D x1 = D x 2 = 3 .

Найти каноническое разложение случайной функции Y (t) вида:

Y (t ) = t ⋅ X (t) – t2 .

Определить m y (t ), K y (t1 , t 2 ), D y (t ).

Решение. Найдем каноническое разложение Y (t) . Будем иметь:

Y (t) = t 2 + X 1t ⋅ sin t + X 2t ⋅ cos t.

Определим m y (t). Получим: m y (t ) = t 2 . Найдем K y (t1 , t 2 ), получим:

K y (t1 , t 2 ) = 3t 1t 2 sin t 1 ⋅ sin t 2 + 3t 1t 2 cos t 1 ⋅ cos t 2 = = 3t 1t 2 cos(t 1 − t 2).

Определим D y (t), будем иметь:

D y (t) = K y (t, t ) = 3t 2 .

Видео:10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

8. Идентификация динамических объектов

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

8.1. Общие положения идентификации математических моделей

Идентификация динамических объектов в общем случае состоит в определении структуры и параметров объектов по наблюдаемым данным – входному воздействию и выходным величинам.

В таком случае объект (элемент системы, объект управления, элемент технологического процесса и т. п.) представляет собой «черный ящик». Исследователю необходимо, подвергая объект внешним воздействиям и анализируя его реакцию, получить математическую модель (описание его структуры и параметров), то есть превратить «черный ящик» в «белый ящик», добиться его «информационной прозрачности». Графически процесс идентификации иллюстрирует рис. 8.1.

Важным моментом этого процесса является выбор точек приложения внешних воздействий и сбор информации о реакциях объекта, то есть размещение задающих устройств, датчиков.

Решается при идентификации объектов и более простая задача — задача идентификации параметров, когда заранее известна структура системы и ее математическая модель, но не известны все ее параметры. В этом случае говорят о переходе от «серого ящика» к «белому ящику». Графически процесс идентификации параметров иллюстрирует рис. 8.2.

Задача идентификации параметров может либо входить компонентом в общую задачу идентификации объекта, либо решаться самостоятельно.

Рассмотрим на обобщенной структуре основы подхода к решению задач идентификации. Обобщенная структура процесса идентификации показана на рис. 8.3.

Видео:Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величинСкачать

8.2. Обобщенная процедура идентификации

Идентификация объекта предполагает выполнение следующих этапов:

· Выбор для определенного класса объекта настраиваемой модели.

· Выбрать критерий качества идентификации, характеризующий отличие модели и объекта.

· Выбрать алгоритм идентификации (механизм настройки модели), обеспечивающий сходимость процесса идентификации, минимум критерия качества идентификации.

Методы идентификации принято разделять на две группы:

· активная идентификация – идентификация вне контура управления,

· пассивная идентификация – идентификация в контуре управления.

В случае активной идентификации объект исследования выводится из условий нормальной окружающей среды (нормального режима эксплуатации). Исследования проводятся в специализированных лабораторных условиях, как это показано на рис. 8.3. На входы объекта (рабочие и дополнительные) подаются тестовые сигналы специального вида. Это могут быть:

· ступенчатые или импульсные временные сигналы;

· случайные воздействия с заданными параметрами.

Активную идентификацию используют при разработке новых технологий применительно к действующим промышленным объектам, в изучении новых явлений, в первоначальной разработке математической модели.

При пассивной идентификации объект функционирует в контуре управления, находится в процессе нормальной эксплуатации. На его входы поступают только естественные сигналы управления. Пассивную идентификацию используют для уточнения математической модели, для слежения за изменениями в объекте. Информация оперативно используется в системе управления объектом, процесс такой идентификации иллюстрируется рис. 8.4.

Кроме перечисленных методов реализуются и системы идентификации смешанного типа, когда объект не выводится из нормального режима эксплуатации, но к управляющим сигналам добавляются тестовые воздействия, позволяющие идентифицировать объект, не ухудшая качества основного процесса управления.

Рассмотрим активную идентификацию более подробно. Активная идентификация объектов управления может производиться как во временной области, так и в частотной области. При этом в каждой области используют собственные алгоритмы и методы идентификации.

При активной идентификации в большинстве случаев используют полученные в результате экспериментов характеристики:

· частотные характеристики (АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ и др.);

· временные характеристики (переходные, весовые и др.).

Рассмотрим в качестве примера один из подходов решения задачи идентификации структуры и параметров объекта в частотной области. Ограничим рассмотрение объектом с одним входом и одним выходом.

Известно, что если имеется математическая модель такого объекта в виде передаточной функции:

то это соответствует наличию полной информации о структуре и параметрах объекта, т. е. о всех его характеристиках.

Преобразуем передаточную функцию (8.1) к полюсно — нулевому представлению в форме Боде

где k – коэффициент усиления k = b0/a0 , а , – соответственно нули и полюсы передаточной функции.

Если среди корней , встречаются комплексно сопряженные пары корней, то разложение (8.2) необходимо дополнить сомножителями следующего типа:

.

Предполагая для простоты изложения отсутствие комплексно — сопряженных корней, можно преобразовать (8.2) к следующему виду:

По выражению передаточной функции в форме (8.3) получим частотную передаточную функцию объекта:

,

Что позволяет получить характерные функции:

С другой стороны, известно, что ЛАЧХ и ЛФЧХ динамических звеньев с передаточными функциями вида:

имеют вид, показанный на рис. 8.6, так как звенья являются соответственно форсирующими и апериодическими динамическими звеньями первого порядка.

Исходя из изложенного материала, можно предложить следующую процедуру активной идентификации структуры и параметров линейной системы с одним входом и одним выходом:

В процессе эксперимента с объекта снимается частотная характеристика в виде ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Полученная экспериментально ЛАЧХ аппроксимируется кусочно-линейной кривой – набором отрезков (асимптот) с целочисленным наклоном кратным 20 дБ / дек

По наклону асимптот и частотам сопряжения асимптот определяется передаточная функция объекта в виде произведения передаточных функций соответствующих асимптотам элементарных динамических звеньев (апериодических и форсирующих).

При наличии в полученной ЛАЧХ и ЛФЧХ признаков звеньев второго порядка, то есть асимптот с наклоном кратным 40 дБ / дек, необходимо ввести такие звенья в модель, например, колебательное звено.

Колебательное звено с передаточной функцией

имеет ЛАЧХ и ЛФЧХ, показанные на рис. 8.7.

Форсирующее звено второго порядка с передаточной функцией

,

имеет ЛАЧХ (ЛФЧХ) симметричные показанным на рис. 8.7 характеристикам колебательного звена относительно оси частот.

Пример. По экспериментально полученной ЛАЧХ объекта определить его передаточную функцию.

Решение. Аппроксимируем экспериментальную ЛАЧХ набором асимптот, как это показано на рис. 8.8.

Рассмотрим теперь участки аппроксимированной ЛАЧХ, на которых наклон не изменяется:

.

На этом интервале по виду асимптоты ЛАЧХ соответствует ЛАЧХ идеального интегрирующего звена с передаточной функцией вида:

.

Этому звену соответствует следующее выражение логарифмической амплитудной характеристики:

.

Используем последнее выражение для определения k, подставим значение характеристики при частоте w = 0.1:

Рассмотрим интервал частот:

.

На этом интервале частот наклон асимптоты возрос на 20 дБ/дек и составил 40 дБ/дек, что соответствует добавлению апериодического звена первого порядка с передаточной функцией :

где постоянная времени определяется по точке сопряжения асимптот:

Рассмотрим интервал частот:

.

На этом интервале наклон асимптоты уменьшился на 20 дБ/дек, что соответствует добавлению форсирующего звена первого порядка с передаточной функцией:

где постоянная времени определяется по точке сопряжения асимптот:

.

Рассмотрим интервал частот:

.

На этом интервале наклон асимптоты возрос на 20 дБ/дек, что соответствует добавлению апериодического звена первого порядка с передаточной функцией –

,

где постоянная времени определяется по точке сопряжения асимптот –

.

Перемножая полученные передаточные функции, получим передаточную функцию объекта:

Что и требовалось найти.

Видео:#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

9. Задачи детерминированного линейного оптимального управления

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

9.1. Теоретические сведения

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается в первом приближении уравнением [5]

Здесь А и В – заданные матрицы чисел размеров n×n и n×m соответственно; x(t) – вектор состояния, вектор фазовых координат размерности n×1; u(t) – вектор управления размерности m×1.

Рассмотрим также критерий качества управления:

где R1 и R2 – положительно определенные симметрические матрицы размеров n×n и m×m соответственно. Тогда задача определения

при котором критерий минимален, называется задачей детерминированного линейного оптимального управления для регулятора с постоянными параметрами.

Закон управления определяется соотношением:

Установившееся решение Р является решением алгебраического уравнения Риккати:

Р является неотрицательно определенной матрицей.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

9.2. Решение задач управления с применением уравнения Риккати

Задача 9.1. Задача стабилизации угловой скорости.

Объект состоит из двигателя постоянного тока, управляемого входным напряжением μ(t) с угловой скоростью вала ξ(t). Система описывается скалярным дифференциальным уравнением состояния

Критерий оптимальности имеет вид:

В обозначениях (9.1) – (9.5) имеем

x(t) = ξ(t); u(t) = μ(t) ; A = -α; B =; R1 = 1; R2 = ρ. (9.8)

Подставляя (9.8) в (9.5), получим:

Из (9.9) определим Р. Будем иметь:

Определим матрицу F из (9.4). Получим:

Подставим (9.13), (9.12) в (9.6). Будем иметь:

Видео:Разложение вектора по 2 неколлинеарным векторам - bezbotvyСкачать

Каноническое разложение случайной функции

Рассмотрим случайную функцию X(t), заданную разложением

где коэффициенты V_v V₂, . V_m представляют собой систему случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю и с корреляционной матрицей ||^,||.

Найдем корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X(t).

где

В формуле (16.2.4) индекс суммирования обозначен буквойJ, чтобы подчеркнуть его независимость от индекса суммирования / в формуле

Перемножая выражения (16.2.3) и (16.2.4) и применяя к произведению операцию математического ожидания, получим:

где суммирование распространяется на все пары значений /, j — как равные, так и неравные. В случае, когда / =j,

где D, — дисперсия случайной величины V,. В случае, когда / ф- j,

где Ку — корреляционный момент случайных величин V/, Vj.

Подставляя эти значения в формулу (16.2.5), получим выражение для корреляционной функции случайной функции X(t), заданной разложением (16.2.1):

Полагая в выражении (16.2.6) t’= t, получим дисперсию случайной функции X(t)

Очевидно, выражения (16.2.6) и (16.2.7) приобретают особенно простой вид, когда все коэффициенты V] разложения (16.2.1) некорре- лированы, т.е. K_tJ = 0 при / ф- j. В этом случае разложение случайной функции называется «каноническим».

Таким образом, каноническим разложением случайной функции X(t) называется ее представление в виде:

гдет_х(?) — математическое ожидание случайной функции; ф! (7)-. фд (0, •••> . Ф„,(?) — координатные функции; V_v V₂, . V_m — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю.

Если задано каноническое разложение случайной функции, то ее корреляционная функция K_x(t, /’) выражается весьма просто. Полагая в формуле (16.2.6) Kj = 0 при / ф j, получим:

Выражение (16.2.9) называется каноническим разложением корреляционной функции.

Полагая в формуле (16.2.9) t’ = t, получим дисперсию случайной функции

Таким образом, зная каноническое разложение случайной функции X(t), можно сразу найти каноническое разложение ее корреляционной функции. Можно доказать, что обратное положение тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разложение корреляционной функции (16.2.9), то для случайной функции X(t) справедливо каноническое разложение вида (16.2.8) с координатными функциями ф,(/) и коэффициентами V,- с дисперсиями Ц. Мы примем это положение без специального доказательства [1] .

Число членов канонического разложения случайной функции может быть не только конечным, но и бесконечным. Примеры канонических разложений с бесконечным числом членов встретятся нам в главе 17. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом.

Канонические разложения применяются не только для действительных, но и для комплексных случайных функций. Рассмотрим обобщение понятия канонического разложения на случай комплексной случайной функции.

Элементарной комплексной случайной функцией называется функция вида:

где как случайная величина V, так и функция (t) = V ф(?) и вынося неслучайные величины ф(/) и 2 ]есть не что иное, как дисперсия комплексной случайной величины V:

следовательно,

Каноническим разложением комплексной случайной функции называется ее представление в виде:

где V_v V₂, . V_m — некоррелированные комплексные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю; (7), Фi(t), • ••,

Ф_т(/) — комплексные неслучайные функции.

Если комплексная случайная функция представлена каноническим разложением (16.2.14), т.е. корреляционная функция выражается формулой

где D) — дисперсия величины V<.

Формула (16.2.15) непосредственно следует из выражения (16.2.13) для корреляционной функции элементарной комплексной случайной функции.

Выражение (16.2.15) называется каноническим разложением корреляционной функции комплексной случайной функции.

Полагая в (16.2.15) t’ = t, получим выражение для дисперсии комплексной случайной функции, заданной разложением (16.2.14):

💡 Видео

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА по трем векторамСкачать

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ неколлинеарным ВЕКТОРАМ 9 классСкачать

Корреляция и ковариация двумерной случайной величиныСкачать

Непрерыный случайный вектор и его характеристикиСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам | Геометрия 7-9 класс #85 | ИнфоурокСкачать