Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Взаимное расположение прямых в пространстве. Свойства параллельных прямых. Признаки скрещивающихся прямых

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т. е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

(a || b) (прямая а параллельна прямой b)

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

(Min b, aparallel b)

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

отрезок (CD || AB)

Свойства параллельных прямых

  1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(a capalpha=M, bparallel a Rightarrow bcap alpha)
  1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
(aparallel c, bparallel c Rightarrow aparallel b)

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

(asubsetalpha, bcap alpha=K, \ Knotin a Rightarrow a и b — скрещивающиеся прямые)

Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых (a и b) .

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Найдите параллельные прямые.

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Определите взаимное расположение прямых (a и b) .

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные высказывания.

1) Прямые СD и MN скрещивающиеся.

2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости.

3) Прямые СD и MN пересекаются.

4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся.

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

Две прямые в пространстве называются параллельными, если

Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда

Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

Две прямые пересекаются. Что это значит?

Две прямые называются скрещивающимися, если

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Признак скрещивающихся прямых.
Угол между скрещивающимися прямыми

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиВзаимное расположение двух прямых в пространстве
Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиПризнак скрещивающихся прямых
Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиУгол между скрещивающимися прямыми

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.

ФигураРисунокОпределение
Две пересекающиеся прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиДве прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.
Две параллельные прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиДве прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две скрещивающиеся прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиДве прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.
Две пересекающиеся прямые
Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.

Две параллельные прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Две скрещивающиеся прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.

ФигураРисунокТип утверждения и формулировка
Две различные точкиКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиАксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямойКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиАксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Две пересекающиеся прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиТеорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Две параллельные прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскостиТеорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Две различные точки
Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.

Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямойКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.

Две пересекающиеся прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Две параллельные прямыеКаким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Доказательство . Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».

Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Угол между скрещивающимися прямыми

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a’ параллельна прямой a , прямая b’ параллельна прямой b. Прямые a’ и b’ пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Для того, чтобы найти угол между прямыми AB1 и BC1 , проведем в кубе диагональ боковой грани AD1 и диагональ верхнего основания D1B1 (рис. 4).

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Замечание . Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости».

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Чертежик

Метки

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Взаимное расположение прямых линий

Взаимное расположение прямых линий может быть представлено следующим образом: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться.

1. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Проекции параллельных прямых на любую плоскость проекций (не перпендикулярную данным прямым) — параллельны.

  1. Пересекающимисяназываются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Прямые пересекаются, если их одноименные проекции также пересекаются, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.

  1. Скрещивающимисяназываются две прямые не лежащие в одной плоскости.Каким может быть расположение двух прямых если обе они параллельны одной плоскости

Прямые скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны между собой, а точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи.

Примеры выполненных чертежей смотрите в этом разделе .

🔥 Видео

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостейСкачать

Лекция 5. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. Практическая часть.  10 класс.

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

Геометрия. 10 класс. Взаимное расположение плоскостей. Параллельность плоскостей /20.10.2020/Скачать

Геометрия. 10 класс. Взаимное расположение плоскостей. Параллельность плоскостей /20.10.2020/

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | Умскул
Поделиться или сохранить к себе: