Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
- Условия коллинеарности векторов
- Примеры задач на коллинеарность векторов
- Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
- Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
- Коллинеарные векторы
- Условия коллинеарности векторов
- Примеры задач
- Как найти вектор коллинеарный вектору
- Формула
- Примеры нахождения коллинеарного вектора
- Остались вопросы?
- Все еще сложно?
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| 3 | = | 2 | . |
| 9 | n |
Решим это уравнение:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
| 3 | = | 2 |
| 9 | n |
| 3 | = | m |
| 9 | 12 |
Решим эти уравнения:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
| m = | 3 · 12 | = 4 |
| 9 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Коллинеарные векторы
В данной публикации мы рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными и перечислим условия, при которых они являются таковыми. Также разберем примеры решения задач по этой теме.
Условия коллинеарности векторов
Векторы, лежащие на одной или нескольких параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора коллинеарны, если выполняется одно из условий ниже:
1. Существует такое число n, при котором .
2. Отношения координат векторов равны. Но данное условие не может применяться, если одна из координат равняется нулю.
3. Векторное произведение равно нулевому вектору (применимо только для трехмерных задач).
Примеры задач
Задание 1
Даны векторы , и . Определим, есть ли среди них коллинеарные.
Решение:
У заданных векторов нет нулевых координат, значит мы можем применить второе условие коллинеарности.
Следовательно, коллинеарными являются только векторы a и c .
Задание 2
Выясним, при каком значении n векторы и коллинеарны.
Решение:
Т.к. среди координат нет нулей, согласно второму условию мы можем составить их соотношение, чтобы рассчитать недостающий элемент.
Как найти вектор коллинеарный вектору
Формула
Примеры нахождения коллинеарного вектора
Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение $m$:
По пропорции имеем:
$$2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac=1,5$$
А тогда значения неизвестных параметров $m$ и $n$ находим из равенств
$$frac=2 Rightarrow m=6$$ $$frac=2 Rightarrow n=frac=0,5$$
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Поможем выполнить
любую работу
Все еще сложно?
Наши эксперты помогут разобраться
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?