Какие из следующих утверждений верны сумма двух противоположных углов вписанного четырехугольника

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырехугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Сумма углов четырехугольника

Свойства

1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
   ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
   
2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
   и этот четырехугольник является квадратом.
   ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
   ABCD — квадрат.
   
3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
   если около четырехугольника описана окружность.
   ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
   

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Свойства четырехугольника вписанного в окружность

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и ? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и ?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет . Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме . Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть . Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть — всегда! . Но , → .

• Волшебство прямо!
• Так что запомни крепко-накрепко:
• Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна
• и наоборот:
• Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна .

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть .

1. А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:
2. у всякого параллелограмма противоположные углы равны.
3. То есть .
4. У нас получилось, что
5. →

А что же углы и ? Ну, то же самое конечно.

• – вписанный → →
• — параллелограмм→ →
• Потрясающе, правда?
• Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны , то есть это прямоугольник!

И ещё при этом – центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника. Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция. Почему?

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять , но из-за параллельности прямых и .

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться: Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

На нашем рисунке –

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна .
2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

1. Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».
2. А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?
3. Сначала 1.

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

• Итак,
• — вписанный
• — вписанный
• Но посмотри: .
• Значит,
• .
• Получаем, что если – вписанный, то
• .

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет . (нужно так же рассмотреть и ).

1. Теперь и «наоборот», то есть 2.
2. Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких – то двух противоположных углов равна . Скажем, пусть
3. .

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка – снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке . Соединим и . Получился вписанный (!) четырехугольник .

• Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна , то есть , а по условию у нас .
• Получается, что должно бы быть так, что .
• Но это никак не может быть поскольку – внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке . Снова – вписанный четырехугольник , а по условию должно выполняться , но — внешний угол для и значит, , то есть опять никак не может быть так, что .

1. То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!
2. Доказали всю-всю теорему!
3. Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться .

• Но из свойств параллелограмма мы знаем, что .
• То есть
• И то же самое, естественно, касательно углов и .
• Вот и получился прямоугольник – все углы по .
• Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

а значит, – центр. Вот и всё.

Следствие 2

• Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.
• Докажем?

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда .

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

1. Итак:
2. Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и , равны), то такой четырехугольник – вписанный.
3. Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и .
4. Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:
5. « — вписанный» — и всё будет отлично!
6. Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

• Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна
• и наоборот:
• Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна , то такой четырехугольник вписанный.
• Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна .
• .
• Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
• Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

1. Стать учеником YouClever,
2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

Свойство вписанного четырехугольника — окружность

Цель деятельности учителя	Создать условия для рассмотрения свойства вписанного четырехугольника и показать его применение при решении задач
Термины и понятия	Описанная около четырехугольника окружность, вписанный четырехугольник
Планируемые результаты
Предметные умения	Универсальные учебные действия
Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания	Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач. Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности. Коммуникативные: формулируют, аргументируют и отстаивают свое мнение. Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач
Организация пространства
Формы работы	Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)
Образовательные ресурсы	• Учебник
I этап. Актуализация опорных знаний учащихся
Цель деятельности	Совместная деятельность
Проверить домашнее задание	(Ф) К доске вызвать двоих учеников и проверить выполнение домашнего задания. № 707. Решение:

В ∆АВС ∠A = ∠C = (180° — 120°) : 2 = 30°. Тогда ∪BC = 60° => ∠BOC = 60° => ∆ОВС — равносторонний => ОВ = ОС = r = 8 см => диаметр равен 16 см.

• Ответ: 16 см.
• № 711.
• Решение:
• Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров, а радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной около него окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы

II этап. Решение задач по готовым чертежамЦель деятельностиСовместная деятельностьПовторить изученный материал и подготовить учащихся к восприятию новой темы(Ф) Найти: ∠B.

1. Дано: АВ : ВС = 1 : 2; АС = 5√5.
2. Доказать: ABCD — прямоугольник.
3. Найти: АВ, ВС.

Дано: MN = NK = 4. Найти: OK. Дано: ∆АВС — равносторонний. OK = 3 Найти: АВ. Дано: ∆АВС – равносторонний. Найти: АВ. Найти: DC. Найти: углы четырехугольника ABCD. Найти: ∠C, ∠D.

• Найти: ∠A + ∠C.
• Ответы:

III этап. Изучение нового материалаЦель деятельностиСовместная деятельностьРассмотреть свойство вписанного четырехугольника(Ф). 1. Объяснить, что около четырехугольника не всегда можно описать окружность, на примерах ромба, параллелограмма, не являющихся квадратом и прямоугольником соответственно. 2. Для доказательства теоремы о свойстве вписанного четырехугольника учащимся можно предложить самостоятельно решить задачу с последующим обсуждением.

1. Задача: Докажите, что в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
2. 3. Для доказательства утверждения, обратного свойству вписанного четырехугольника, предложить задание:
3. Сформулируйте утверждение, обратное свойству вписанного четырехугольника, и выясните его истинность (можно по учебнику).
4. Теорема. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность

IV этап. Закрепление изученного материалаЦель деятельностиЗадания для самостоятельной работыСовершенствовать навыки решения задач(Ф) 1. Решить № 708 (а), 710. (И) 2. Выполнить самостоятельную работу. Вариант I Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки 5 см и 13 см. Найдите площадь этого треугольника. Вариант II Меньший из отрезков, на которые центр описанной окружности равнобедренного треугольника делит его высоту, равен 8 см, а основание треугольника равно 12 см. Найдите площадь этого треугольникаIV этап. Итоги урока. РефлексияДеятельность учителяДеятельность учащихся

• (Ф/И)
• — Оцените свою работу на уроке.
• — Какой этап урока оказался для вас наиболее сложным?

(И) Домашнее задание: № 708 (б), 709; № 729 (по желанию)

Теория и практика по четырехугольникам

• Основные формулы и свойства трапеции.
• Основные формулы и свойства параллелограмма.
• Основные формулы и свойства ромба.
• Основные формулы и свойства прямоугольника.
• Основные формулы и свойства квадрата.
• Примеры и решения задач.
• Разберем по сторонам каждый четырехугольник. А начнем с самой негармоничной фигуры — четырехугольника:

Выпуклым называется четырехугольник, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

В ЕГЭ встречается только выпуклый, поэтому его брата оставим без внимания.

Если четырехугольник произвольный:

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то помимо выше описанных свойств добавляются эти:

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то добавляются такие свойства:

1. Две теоремы Птолемея можно встретить в №16 ЕГЭ, планиметрии повышенного уровня сложности.
2. Если поставить условие, что две противоположные стороны должны быть параллельны, то четырехугольник становится трапецией.
3. Всем привычна такая трапеция, но та, что справа, также существует!

В равнобедренной трапеции:

В трапецию можно вписать окружность, когда? Когда сумма противоположных сторон одинакова! Да точно также, как и в четырехугольник, все свойства четырехугольника работают и в трапеции!

— И площадь через диагонали?

А описать окружность вокруг трапеции? Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая!

• Свойства остаются те же.
• Следующий на очереди параллелограмм:
• Если сказать, что в трапеции две попарно противоположные стороны параллельны, то трапеция станет параллелограммом.
• Если сказать, что в трапеции две противоположные стороны параллельны и равны, то трапеция станет параллелограммом.
• Еще добавляются 2 формулы площади:
• Свойства параллелограмма:

1. Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.
2. Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
3. Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, – параллелограмм.
4. Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.

1. Дальше, чтобы из параллелограмма получить следующую фигуру, есть два пути:
2. 1) Если у параллелограмма один угол 90°, то это прямоугольник.
3. 2) Если у параллелограмма две прилежащие стороны равны, то это ромб.
4. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны:
5. Свойства ромба:

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
2. Диагонали ромба являются также биссектрисами его углов (делят углы ромба пополам).
3. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
4. В ромб можно всегда вписать окружность.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые:

1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.

Правильный четырехугольник — квадрат. Папа был прямоугольником, а мама ромбом. Квадрат объединяет свойства и формулы этих фигур и добавляет свои:

1. Все углы квадрата прямые, все стороны квадрата равны.
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.
4. В квадрат можно всегда вписать окружность.
5. Вокруг квадрата можно всегда описать окружность.

Задача №1 Докажите, что ABCD параллелограмм, если известно, что ∠CAD = ∠CAB и DO = OB

Что нужно, чтобы сказать, что четырехугольник является параллелограммом?

1. Две противоположные стороны параллельны и равны.
2. Две попарно противоположные стороны параллельны.

Скажем, что DC II AB, т.к. ∠CAD = ∠CAB — накрест лежащие углы. Если не знаешь, что такое накрест лежащие углы — читай!

Но раз DC II AB, то и ∠CDB = ∠DBA (как накрест лежащие), а ∠AOB и ∠DOC — рыжие что ли? Нет, они вертикальные, значит, тоже равны: ∠AOB = ∠DOC.

• Тогда ΔAOB = ΔDOC (по стороне и двум прилежащим углам) => DC = AB.
• Получается, что DC = AB и DC II AB, свойство №1 доказано.
• Задача №2 Найдите периметр параллелограмма.

Вспомним, что в прямоугольном треугольнике находится против угла в 30°. Да-да, катет в два раза меньший гипотенузы. Следовательно AB = AH + HB = 1+4 = 5.

1. Тогда периметр:
2. Ответ: 14.
3. Задача №3 Найдите площадь параллелограмма.
4. В ΔDHB ∠DBH = 180 – 90° – 45° = 45°=> ΔDHB — равнобедренный => DH = HB = 24
5. Ответ: 384
6. Задача №4 Найдите площадь ABCD.

ABCD — прямоугольник. Чтобы найти его площадь, нужно знать две стороны, но мы знаем только площадь треугольника.

• Площадь AKCD общая у ABCD и ADM, а вот отличаются они площадью ΔABK и ΔKCM, но мы только что доказали, что они равны, значит, площади ABCD и ADM тоже равны!
• Ответ: 33
• Задача №5 Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 15 и 44, а непараллельные 17 и 25.
• Площадь трапеции можно найти так:
• Не хватает высоты, попробуем разбить трапецию на треугольники и прямоугольник:
• Запишем теорему Пифагора для двух треугольников:
• Решим уравнение:
• Зная, как разделится основание найдем высоту:
• Ответ: 240
• Задачи для закрепления с подсказками.
• Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.
• Первая и вторая часть по треугольникам.
• Статья по окружностям.

Четырехугольник, вписанный в окружность — основные свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Фигура является вписанной в окружность, когда все ее вершины лежат на ней. Произвести вписание в окружность четырехугольника можно только в том случае, когда он выпуклый. Все его точки находятся по одну сторону от произвольной прямой, которая проходит через соседние вершины фигуры. Нужно отметить, что в этом случае окружность является описанной вокруг фигуры. Если в параллелограмм вписана окружность, то ее центр совпадает с центром окружности, которая описана вокруг него.

Четырехугольники бывают самопересекающимися. Они также могут быть вписанными, однако это встречается крайне редко. Не каждую фигуру можно вписать в круг, поскольку существуют определенные законы. Например, вокруг ромба нельзя описать круг — исключение составляет случай, когда ромб является квадратом.

Основные правила

Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность. Однако для этого существуют некоторые правила (критерии) или признаки. Некоторые задачи сформулированы таким образом, что нужно знать основные критерии, а также уметь доказывать возможность вписывать или описывать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, если выполняются следующие условия:

• Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
• Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
• Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
• Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
• Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
• Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).

Четвертое утверждение является теоремой Птолемея. Все эти правила являются следствиями, полученными при доказательстве различных гипотез. Правила можно применять в зависимости от условия поставленной задачи. Любой параллелограмм можно вписать в окружность, когда он является прямоугольником или квадратом.

Свойства и утверждения

При решении можно воспользоваться некоторыми свойствами, которые были доказаны. Это нужно для того, чтобы не тратить время на выведение какой-либо формулы. Применяется методика для оптимизации вычислений. К ним можно отнести следующие:

• Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
• Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
• При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.

Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.

Формулы и соотношения

Очень часто необходимо перерыть горы информации для поиска нужной формулы. Это сказывается на оптимизации решения. Кроме того, некоторые соотношения могут содержать ошибки, поскольку материал излагается неквалифицированными специалистами.

Педагоги утверждают, что обучение какой-либо дисциплине с физико-математическим уклоном должно быть основано на алгоритмах. Кроме того, рекомендуется прочитать условие задачи несколько раз до полного его понимания. В основном необходимо находить площадь, диагонали и углы четырехугольника.

Периметр и полупериметр

Периметром выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c и d называется сумма длин всех его сторон. Величина обозначается литерой «Р», и вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c +d. Кроме того, в некоторых формулах встречается величина, которая называется полупериметром. Обозначается она литерой «р». Для ее нахождения применяется такое соотношение: p = P / 2 = (a + b + c +d) / 2. Единицей измерения полупериметра являются метрические величины: мм, см, дм, м и т. д.

Для квадрата формула периметра имеет вид: P = 4 * a. Равенство легко доказывается для фигуры со стороной а. Из определения периметра получается соотношение: P = a + a + a + a.

Если привести подобные слагаемые, то результирующая формула имеет вид: P = 4 * a. У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти его периметр, нужно воспользоваться равенством: P = a + b + a + b = 2 * (a + b).

Необходимо отметить, что квадрат является правильным четырехугольником, поскольку его стороны равны между собой.

Понятие площади

Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см 2 , м 2 и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.

Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую.

Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м 2 в см 2 . Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим.

Достаточно выполнить следующие действия:

• Определить базовую единицу: м и см.
• Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
• Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м 2 = 100 2 см 2 = 10000 см 2 .

Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м 2 и 1 гектар (га) = 10000 м 2.

Когда известны все стороны четырехугольника (a, b, c и d), который вписан в окружность, можно найти его S. Для этого нужно знать еще одну величину. Она называется полупериметром. Расчет выполняется по формуле: S = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½). Соотношение называется формулой Брахмагупты.

Необходимо отметить, что вписанный четырехугольник обладает максимальным значением S среди остальных эквивалентных фигур.

Если известны четыре стороны, которые являются последовательными (a, b, c и d), а также угол В между a и b, то можно воспользоваться более упрощенной формулой: S = [(a * b + c * d) * sin (B)] / 2.

В случае, когда известны все стороны и любой угол (Y) между диагоналями, соотношение можно записать таким образом: S = [(a * с + и * d) * sin (Y)] / 2.

Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a 2 — b 2 — c 2 + d 2 ) * tg (A)] / 4.

При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S = 2 * [a * c + b * d]^(½).

Неравенство преобразуется в равенство, когда диагонали равны. Однако в этом случае можно воспользоваться следующим выражением: [s + t]^(½) >= [a * c]^(2) + [b * d]^(2).

Необходимо отметить, что в произвольном выпуклом четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, которые являются между собой подобными по парам. Кроме того, при пересечении двух диагоналей AC и BD в некоторой точке М, справедливо следующее соотношение: AM / CM = (AB * AD) / (CB * CD).

Можно находить и некоторые углы фигуры. Для этого существуют определенные соотношения. Во вписанном четырехугольнике со сторонами, которые соответствуют значениям a, b, c и d, углом A между сторонами a и d, а также полупериметром p, функции тригонометрического типа для А вычисляются таким образом:

1. cos (A) = (a 2 + d 2 — b 2 — c 2 ) / (2 * (a * d + b + c)).
2. sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
3. tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).

В некоторых случаях нужно вычислить значение тангенса для угла Y, который находится между диагоналями, по формуле: tg (Y/2) = [((p — b) * (p — d)) / ((p — a) * (p — c))]^(½).

В геометрии существует вписанный четырехугольник, стороны которого являются целыми числами. Кроме того, целочисленными являются также его диагонали и площадь. Он называется четырехугольником Брахмагупты. Однако для преобразования любого четырехугольника в данную фигуру необходимо выполнить некоторые математические операции. Пусть он имеет следующие целочисленные параметры:

1. Стороны: a, b, c и d.
2. Диагонали: s и t.
3. Площадь: S.
4. Радиус описанной окружности: R.

В некоторых случаях возникает необходимость избавиться от рациональных значений в знаменателе. При значениях дробных параметров k, l и m нужно использовать такие соотношения:

1. a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
2. b = (1 — l 2 ) * (m — k) * (1 + k * m).
3. c = k * (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ).
4. d = (1 + m 2 ) * (l — k) * (1 + k * l).
5. s = l * (1 + k 2 ) * (1 + m 2 ).
6. t = m * (1 + k 2 ) * (1 + l 2 ).
7. S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k 2 )] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k 2 )].
8. 4 * R = (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ) * (1 + k 2 ).

Существуют также соотношения для описанной вокруг четырехугольника окружности. Математики утверждают, что при комбинации двух и более геометрических фигур время поиска некоторых параметров увеличивается.

Параметры для окружности

Радиус окружности R для четырехугольника c полупериметром р и со сторонами a, b, c, d находится по формуле Парамешвары: R = (¼) * [((a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / ((p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d))]^(½). Соотношение было выведено в XV веке математиком из Индии Ватассери Парамешварой.

При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника.

Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D 2 = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2.

Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a 2 + c 2 ] / 2 = [b 2 + d 2 ] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s 2 + t 2 + 4 * v 2 ) / 8]^(½).

Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.

Вписанный четырехугольник

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180°. Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Вообще, если одна пара противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то и другая пара в сумме будет составлять столько же. Это следует из того, что у выпуклого четырехугольника сумма углов всегда равна 360°. В свою очередь данный факт следует из того, что у выпуклых многоугольников сумма углов определяется по формуле 180° * (n – 2), где n — количество углов (или сторон).

Доказать свойство вписанного четырехугольника можно следующим образом. Пусть в окружность O вписан четырехугольник ABCD. Требуется доказать, что ∠B + ∠D = 180°.

Угол B является вписанным в окружность. Как известно, такой угол равен половине дуги, на которую опирается. В данном случае угол B опирается на дугу ADC, значит, ∠B = ½◡ADC. (Поскольку дуга равна углу между образующими ее радиусами, то можно записать, что ∠B = ½∠AOC, внутренняя область которого содержит точку D.)

С другой стороны угол D четырехугольника опирается на дугу ABC, то есть ∠D = ½◡ABC.

Так как стороны углов B и D пересекают окружность в одних и тех же точках (A и C), то они разделяют окружность только на две дуги — ◡ADC и ◡ABC. Так как полная окружность в сумме составляет 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.

• Таким образом получились следующие равенства:
• ∠B = ½◡ADC ∠D = ½◡ABC
• ◡ADC + ◡ABC = 360°
• Выразим сумму углов:
• ∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
• Вынесем ½ за скобку:
• ∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
• Заменим сумму дуг их числовым значением:
• ∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Мы получили, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Это и требовалось доказать.

То, что вписанный четырехугольник обладает таким свойством (сумма противоположных углов равна 180°), еще не означает, что любой четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180° можно вписать в окружность.

Хотя на самом деле это так.

Данный факт называется признаком вписанного четырехугольника и формулируется так: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (или вписать его в окружность).

Доказать признак вписанного четырехугольника можно методом от противного. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого противоположные углы B и D в сумме составляют 180°. При этом угол D не лежит на окружности.

Тогда возьмем на прямой, содержащей отрезок CD, такую точку E, чтобы она лежала на окружности. Получится вписанный четырехугольник ABCE. У этого четырехугольника противоположны углы B и E, а, значит, они составляют в сумме 180°.

Это следует из свойства вписанного четырехугольника.

Получается, что ∠B + ∠D = 180° и ∠B + ∠E = 180°. Однако угол D четырехугольника ABCD по отношению к треугольнику AED является внешним, а значит больше угла E этого треугольника. Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, если сумма противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то он всегда может быть вписан в окружность.

🎬 Видео