Сложение векторов методом треугольника

Сложение векторов

Часть математических и физических задач содержит необходимость математических действий с векторами (сложение и вычитание).

Проиллюстрируем сложение. Пусть даны вектора и , попытаемся найти вектор .

Способ 1. Метод сложения треугольником

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим конец первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 1)

Сложение векторов методом треугольника

Рис. 1. Сложение векторов (правило треугольника)

Тогда вектор, соединяющий начальную точку первого вектора ( ) и конец второго ( ), является вектором ( ).

Способ 2. Метод сложения параллелограммом

Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим начало первого вектора ( ) и начало второго ( ) (рис. 2). Параллельным переносом совместим конец каждого вектора с началом другого.

Сложение векторов методом треугольника

Рис. 2. Сложение векторов (правило параллелограмма)

Тогда вектор, соединяющий общую начальную точку первого ( ) и второго ( ) векторов и общий конец данных векторов, является вектором суммы ( ).

Вывод: в ряде задач, где присутствуют несколько однородных векторных физических величин, часто необходимо найти общий вектор (общую скорость, равнодействующую силу, полный вектор магнитной индукции или электрической напряжённости поля). Тогда необходимо сначала сложить вектора, а потом найти модуль получившегося вектора.Чаще всего первый метод используется в кинематике (сложение скоростей). Второй метод часто используют в динамике.

Видео:Сложение векторов методом треугольникаСкачать

Сложение векторов методом треугольника

Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов методом треугольника

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Сложение векторов методом треугольника

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ закон правило треугольника 9 класс АтанасянСкачать

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ закон правило треугольника 9 класс Атанасян

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Сложение векторов методом треугольника

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сложение векторов методом треугольника

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Сложение векторов методом треугольника

Разность векторов. Вычитание векторов

Сложение векторов методом треугольника

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Видео:Урок 4. Векторы. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило параллелограмма.Скачать

Урок 4. Векторы. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило параллелограмма.

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Сложение векторов методом треугольника

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Сложение векторов методом треугольника

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <ax + bx; ay + by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> «> a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> » data-order=» a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> «> a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Сложение векторов методом треугольника

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <ax — bx; ay — by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> «> a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> » data-order=» a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> «> a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn>

Видео:Сложение нескольких векторов. Правило многоугольникаСкачать

Сложение нескольких векторов. Правило многоугольника

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

📽️ Видео

8 класс, 46 урок, Вычитание векторовСкачать

8 класс, 46 урок, Вычитание векторов

8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов

83. Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

83. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Сложение векторов по правилу треугольника и по правилу параллелограмма. Геометрия 8-9 классСкачать

Сложение векторов по правилу треугольника и по правилу параллелограмма. Геометрия 8-9 класс

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.

ТОПОВЫЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВСкачать

ТОПОВЫЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

ВЕКТОР // Сложение векторовСкачать

ВЕКТОР // Сложение векторов

Сложение векторов методом параллелограмма и методом треугольника.Скачать

Сложение векторов методом параллелограмма и методом треугольника.

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия Атанасян

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)
Поделиться или сохранить к себе: