Как узнать вектор равный сумме векторов

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
Содержание
  1. Определения скалярного произведения векторов через угол между ними
  2. Сложение векторов — решение примеров
  3. Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
  4. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
  5. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
  6. Покоординатное сложение векторов.
  7. Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
  8. Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
  9. Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
  10. Сложение и вычитание векторов
  11. Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
  12. Разность векторов. Вычитание векторов
  13. Умножение вектора на число
  14. 🎥 Видео

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторовназывается вектор Как узнать вектор равный сумме векторов, начало которого совпадает с началом вектора Как узнать вектор равный сумме векторов, а конец — с концом вектора Как узнать вектор равный сумме векторов, при условии, что начало вектора Как узнать вектор равный сумме векторовприложено к концу вектора Как узнать вектор равный сумме векторов) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Как узнать вектор равный сумме векторов

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторов— векторы, Как узнать вектор равный сумме векторов— угол между ними, а Как узнать вектор равный сумме векторов— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Как узнать вектор равный сумме векторов,

где Как узнать вектор равный сумме векторов— угол, смежный с углом Как узнать вектор равный сумме векторов. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Как узнать вектор равный сумме векторов.

В случае вычитания векторов (Как узнать вектор равный сумме векторов) происходит сложение вектора Как узнать вектор равный сумме векторовс вектором Как узнать вектор равный сумме векторов, противоположным вектору Как узнать вектор равный сумме векторов, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторови между Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторовявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторовобразуют угол Как узнать вектор равный сумме векторов. Их длины: Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как узнать вектор равный сумме векторов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как узнать вектор равный сумме векторов.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Как узнать вектор равный сумме векторов.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторовобразуют угол Как узнать вектор равный сумме векторов. Их длины: Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как узнать вектор равный сумме векторов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как узнать вектор равный сумме векторов.

Пример 3. Даны длины векторов Как узнать вектор равный сумме векторови длина их суммы Как узнать вектор равный сумме векторов. Найти длину их разности Как узнать вектор равный сумме векторов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Пример 4. Даны длины векторов Как узнать вектор равный сумме векторови длина их разности Как узнать вектор равный сумме векторов. Найти длину их суммы Как узнать вектор равный сумме векторов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторов:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Пример 5. Векторы Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме вектороввзаимно перпендикулярны, а их длины Как узнать вектор равный сумме векторов. Найти длину их суммы Как узнать вектор равный сумме векторови и длину их разности Как узнать вектор равный сумме векторов.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Как узнать вектор равный сумме векторови Как узнать вектор равный сумме векторов, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Как узнать вектор равный сумме векторов,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Как узнать вектор равный сумме векторов,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Как узнать вектор равный сумме векторов?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Как узнать вектор равный сумме векторов

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Как узнать вектор равный сумме векторов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Как узнать вектор равный сумме векторов

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

Как узнать вектор равный сумме векторов

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

  • правило параллелограмма
  • правило треугольника
  • тригонометрический способ

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Как узнать вектор равный сумме векторов

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

Как узнать вектор равный сумме векторов

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
  • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
  • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Как узнать вектор равный сумме векторовРезультирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

  • Fрез. = [ F1 2 + F2 2 -2 F1 F2 cos(180 о -α) ] 1/2 (1)
    • где
      • F = числовое значение вектора
      • α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

  • β = arcsin[ F2 *sin(180 o -α) / FR ] (2)
    • где
      • α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Сложение и вычитание векторов

Как узнать вектор равный сумме векторов

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Как узнать вектор равный сумме векторов

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Как узнать вектор равный сумме векторов

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Как узнать вектор равный сумме векторов

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Как узнать вектор равный сумме векторов

Разность векторов. Вычитание векторов

Как узнать вектор равный сумме векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

🎥 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)

Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Орт вектора.  Нормировать вектор.  Найти единичный вектор

Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Правило параллелепипеда для векторовСкачать

Правило параллелепипеда для векторов

Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

Построить разность векторов.Скачать

Построить разность векторов.

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?Скачать

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: