Как узнать параллельны ли прямые по каноническим уравнениям (7 видео)

Условие параллельности прямых

I. Выясним, когда две прямые, заданные уравнениями y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂, параллельны.

Число k₁ — угловой коэффициент прямой y=k₁x+b₁ — равно тангенсу угла, который данная прямая образует с положительным направлением оси абсцисс:

Аналогично, угловой коэффициент k₂ прямой y=k₂x+b₂ характеризует угол между этой прямой и положительным направлением оси Ox:

По признаку параллельности прямых y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ параллельны,если соответственные углы α₁ и α₂ равны.

Из равенства углов следует равенство тангенсов этих углов (180º

Содержание

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых
Параллельные прямые: основные сведения
Параллельность прямых: признаки и условия параллельности
Параллельность прямых в прямоугольной системе координат
Взаимное расположение прямых в пространстве
Расстояние между параллельными прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Угол между прямыми
Взаимное расположение прямой и плоскости
Угол между прямой и плоскостью
💡 Видео

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Параллельные прямые: основные сведения

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 — 11 классов).

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 — 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = ( n b x , n b y ) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b — A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( А 1 , В 1 ) и ( А 2 , В 2 ) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b — y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 — 1 = t · ( — 1 ) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x — x 1 a x = y — y 1 a y и x — x 2 b x = y — y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Заданы две прямые: 2 x — 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y — 1 = 0

Мы видим, что n a → = ( 2 , — 3 ) — нормальный вектор прямой 2 x — 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 — нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y — 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y — 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y — 4 2 ⇔ 1 · ( y — 4 ) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, ( 0 , 1 ) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y — 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = ( 2 , — 1 ) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = ( 1 , 2 ) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Заданы прямые x 1 = y — 2 0 = z + 1 — 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = — 3 — 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: ( 1 , 0 , — 3 ) и ( 2 , 0 , — 6 ) .

1 = t · 2 0 = t · 0 — 3 = t · — 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Видео:Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Видео:Узнать свое происхождение и найти любовь по ДНКСкачать

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

– прямая и плоскость пересекаются ;

– прямая и плоскость параллельны

– прямая лежит в плоскости

Видео:7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.