Как сложить два вектора параллелограммом

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Правило параллелограмма — что это такое

Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.

Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:

1. Взять произвольную точку А.
2. Отложить от точки векторы a и b.
3. Построить на векторах a и b параллелограмм.
4. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов a+b

Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:

1. Правило треугольника.

Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.

2. Правило многоугольника.

Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Переместительный и сочетательный законы, доказательство

Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.

Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.

От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.

Построим параллелограмм ABCD.

По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.

AC=AB+BC, AC=a+b⇒ a+b=b+a.

С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.

Что и требовалось доказать.

Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма.

Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).

От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.

Запишем сумму (a+b)+c через векторы:

Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).

Запишем сумму a+(b+c) через векторы:

Что и требовалось доказать.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Примеры решения задач

Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.

По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.

BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:

B D = √ ( A B ² + B C ² — 2 * A B * B C * cos B ) .

ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.

Видео:8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

Метод параллелограмма: примеры, решенные упражнения

Видео:Как сложить два вектора? Метод треугольника и метод параллелограммаСкачать

Содержание:

В метод параллелограмма это графический метод сложения двух векторов на плоскости. Он часто используется, чтобы найти равнодействующую двух сил, приложенных к телу, или двух скоростей, как в случае пловца, который пытается пересечь реку перпендикулярно и отклоняется течением.

Чтобы построить параллелограмм, начала добавляемых векторов в масштабе должны совпадать в одной точке.

Затем параллельно каждому вектору проводят вспомогательные линии, доходящие до крайности другого, как показано на рисунке выше.

Сумма или результирующий вектор, также называемый чистой силой, является вектором F_сеть, который получается путем рисования вектора, идущего от общего начала координат F₁ Y F₂, до точки пересечения вспомогательных параллельных прямых. На схеме рисунка они представлены пунктирными линиями.

Метод получил свое название от фигуры, которая образована слагаемыми векторами и вспомогательными линиями, которая в точности представляет собой параллелограмм. Главная диагональ параллелограмма — это вектор суммы.

Очень важно отметить, что порядок, в котором размещаются слагаемые векторы, вообще не изменяет сумму, так как эта операция между векторами является коммутативной.

Видео:сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Пример пошагового метода параллелограмма

На следующем изображении показаны векторы v Y или в условных единицах. Вектор v измеряет 3,61 единицы и образует угол 56,3 ° с горизонтом, в то время как или он измеряет 6,32 единицы и угол 18.4º относительно указанной опорной линии.

Мы собираемся найти его векторную сумму, используя метод параллелограмма.

Необходимо выбрать соответствующий масштаб, например, показанный на следующем рисунке, в котором плоскость разделена сеткой. Ширина квадрата соответствует одной (1) единице.

Поскольку векторы не изменяются при преобразовании, они располагаются так, чтобы их начало совпадало с началом системы координат (левое изображение).

Теперь давайте выполним следующие шаги:

1. Участок к концу вектора v сегментированная линия, параллельная вектору или.
2. Повторите процедуру, но на этот раз с концом вектора. или.
3. Нарисуйте главную диагональ, идущую от общего начала до точки пересечения сегментированных линий.

Результат виден на правом изображении, на котором появляется результирующий вектор. Р.

Если мы хотим узнать величину р, мы можем измерить его длину и сравнить с имеющимся у нас масштабом. Что касается его направления, то в качестве ориентиров можно использовать, например, горизонтальную или вертикальную ось.

При использовании горизонтальной оси или оси x угол, р форма с указанной осью измеряется транспортиром, и таким образом мы знаем направление р.

Кроме того, величина и направление р можно вычислить с помощью теорем косинусов и синусов, так как образовавшийся параллелограмм можно разделить на два равных треугольника, сторонами которых являются модули векторов или, v Y р. См. Рабочий пример 1.

Видео:Урок 4. Векторы. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило параллелограмма.Скачать

Частный случай: сумма перпендикулярных векторов

Когда векторы перпендикулярны друг другу, образующаяся фигура представляет собой прямоугольник. Модуль полученного вектора соответствует длине диагонали, которую легко вычислить с помощью теоремы Пифагора.

Видео:ПРОЯВИТЕ ТВОРЧЕСКИЙ ПОДХОД С ЦВЕТАМИ РАДУГИ | Крутые лайфхаки с маркерами от 123GO! SCHOOLСкачать

Решенные упражнения

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

— Упражнение 1

У нас есть вектор v, который имеет размер 3,61 единицы и составляет угол 56,3 ° с горизонтом, а вектор или, размер которого составляет 6,32 единицы и составляет угол 18,4 ° (рисунок 2). Определите модуль результирующего вектора р = или + v и направление, которое указанный вектор образует с горизонтальной осью.

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

Решение

Метод параллелограмма применяется в соответствии с шагами, описанными выше, для получения вектора р. Как было сказано ранее, если векторы аккуратно нарисованы по шкале и с помощью линейки и транспортира, величина и направление р они измеряются прямо на чертеже.

Их также можно рассчитать напрямую, с помощью тригонометрии и свойств углов. Когда образованный треугольник не правильный, как в этом случае, применяется теорема косинусов, чтобы найти недостающую сторону.

В треугольнике справа стороны измеряют u, v и R. Чтобы применить теорему косинусов, необходимо знать угол между v Y или, который мы можем найти с помощью сетки, адекватно позиционируя углы, указанные в утверждении.

Этот угол равен α и состоит из:

α = (90-56.3º) + 90º +18.4º = 142.1º

Согласно теореме косинусов:

р 2 = v 2 + ты 2 — 2u⋅v⋅cos α = 3,61 2 + 6.32 2 — 2 × 3,61 × 6,32 × cos 142,1º = 88,98

Наконец, угол между р а по горизонтальной оси θ = 18,4 º + γ. Угол γ можно найти с помощью теоремы синусов:

грех α / R = грех γ / u

sin γ = v (sin α / R) = 3,61 x (sin 142,1º / 9,43)

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

Видео:83. Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

— Упражнение 2.

Пловец собирается пересечь реку, плывя перпендикулярно течению с постоянной скоростью 2,0 м / с. Пловец стартует из точки А, но заканчивается в точке В, расположенной ниже по течению, из-за отклонившего его течения.

Если скорость течения составляет 0,8 м / с, и все скорости предполагаются постоянными, найдите скорость пловца, которую видит наблюдатель, стоящий на берегу.

Видео:2. Векторы в параллелограмме Решение задач №2Скачать

Решение

Наблюдатель, стоящий на берегу, увидит, как пловец отклоняется в зависимости от полученной скорости. V_р. Чтобы найти ответ, нам нужно векторно сложить скорость пловца относительно воды и скорость течения, которую мы называем V _Река:

V _р = V _пловец + V _Река

На рисунке, который не в масштабе, векторы были добавлены для получения V _р. В этом случае можно применить теорему Пифагора, чтобы получить его величину:

V_р 2 = 2.0 2 + 0.8 2 = 4.64

Направление, в котором пловец отклоняется от перпендикулярного направления, легко вычислить, учитывая, что:

θ = arctg (2 / 0,8) = 68,2º

Затем пловец отклоняется на 90º — 68,2º = 27,2º от своего первоначального направления.

Видео:Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
2. Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли.
3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
4. Джамбаттиста, А. 2010. Физика. 2-й. Эд. Макгроу Хилл.
5. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. 14-го. Ред. Том 1.

Сострадание: основной инструмент в наших отношениях

Белки SSB: характеристики, структура и функции

Видео:Сумма двух векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.Скачать

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий — перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Видео:Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Видео:СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ закон правило треугольника 9 класс АтанасянСкачать

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

🌟 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать