Как повернуть вектор на угол комплексного числа (2 видео)

Комплексные числа и повороты на плоскости. IV

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

6. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Пусть дано некоторое комплексное число с модулем

Очевидно, что причём

Поэтому существует некоторый угол , такой что

В результате получаем тригонометрическую форму комплексных чисел:

Угол называется аргументом комплексного числа.

Нам уже известно, что комплексные числа являются матрицами следующего вида:

Подставив сюда получим:

7. Геометрический смысл линейного преобразования, соответствующего комплексному числу в матричной форме.

Выясним геометрический смысл аргумента комплексного числа.

Только что нами получена матрица, изображающая любое комплексное число. Запишем соответствующее ей линейное преобразование, рассматривая при этом частный случай :

Пусть даны две точки и . Линейное преобразование переводит эти точки в и соответственно.

Скобки в подкоренном выражении равны:

Теперь вычислим сумму квадратов:

Удвоенные произведения здесь взаимно уничтожаются, поэтому

Это значит, что исследуемое линейное преобразование таково, что все расстояния сохраняются.

Для равенства треугольников необходимо и достаточно, чтобы были равны их стороны. Поэтому линейное преобразование преобразует любой треугольник в некоторый треугольник, равный исходному. Следовательно, в результате линейного преобразования сохраняются не только расстояния, но и углы.

Кроме того, непосредственно убеждаемся, что начало координат остаётся неизменным, иначе говоря, точка (0,0) переходит в точку (0,0).

Преобразование плоскости называется поворотом плоскости вокруг центра, если оно сохраняет расстояния и углы и, кроме того, оставляет низменной некоторую точку, называемую центром поворота.

Теперь возьмём произвольный треугольник с вершиной в начале координат. Рассматриваемое нами линейное преобразование преобразует его в точно такой же треугольник и тоже с вершиной в начале координат. Это значит, что, во-первых, произошёл поворот на некоторый угол относительно начала координат, и, во-вторых, все радиусы, исходящие из начала координат поворачиваются на один и тот же угол.

Теперь выясним, какой это угол.

С помощью формул поворота плоскости непосредственно убеждаемся, что точка (1, 0) переводится в точку :

Следовательно, поворот выполняется на угол .

Итак, поворот плоскости относительно начала координат на угол описывается формулами:

Это значит, что комплексное число

при изображает поворот плоскости против часовой стрелки на угол . Такое направление принято считать положительным.

Если , то повторяя приведённые выше соображения, получим, что , т.е. все расстояния пропорционально увеличиваются (при ) или уменьшаются (при ).

Короче, геометрический смысл комплексного числа таков: выполняется поворот всей плоскости на угол , при , и дополнительно выполняется преобразование подобия при .

А теперь вернёмся к матрице поворота на плоскости:

с учётом того, что , принимает вид:

У матриц поворота есть важное и полезное свойство: обратная матрица равна транспонированной:

Матрицы с действительными матричными элементами, у которых транспонированная и обратная матрица совпадают, называются ортогональными.

Определитель матрицы поворота равен 1, так как

Можно доказать, что определитель любой ортогональной матрицы равен ±1.

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

Комплексные числа и операции с ними

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для 0″/>, а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Роль поворотного множителя при графическом изображении комплексных чисел

Выражение е называется поворотным множителем и обозначает, что

вектор, изображающий комплексное число |А| е , повернут относительно вещественной полуоси «х» на угол α против направления движения часовой стрелки. Отрицательному значению угла α соответствует поворот вектора по часовой стрелке.

Показатель степени «j α» в выражении е должен быть отвлеченным числом. Это означает, что угол «α» в выражении «j α» должен быть выражен в радианах. Однако ради большей наглядности допускается запись угла «α» в градусах.

При расчетах электрических цепей встречаются случаи вычислений с поворотным множителем, результаты которых полезно запомнить:

1. е = cos 0 + j sin0 = 1 + 0 = 1;

2. е = е = cos (π / 2) + j sin(π / 2) = 0 + j*1 = j;

3. е = е = cos ( — π / 2 ) + j sin( — π / 2 ) = 0 — j*1 = -j;

4. е = е = ( е ) = ( j ) = — 1.

Таким образом, в результате умножения комплексного числа на поворотный множитель е положение вектора, изображающего комплексное число, не изменя

ется, во втором случае направление вектора совпадает с направление полуоси «+j»

( т.е. вектор расположен вверх ), в третьем случае вектор расположен вниз, в четвертом случае вектор в результате умножения поворачивается на 180º против часовой стрелке ( при + 180º ) или по часовой ( при — 180º ).

В последнем случае направление поворота не имеет значения, т.к. при повороте как против часовой, так и по часовой стрелке, вектор занимает положение, противо

В конце объяснения представим одно и тоже число А в разных формах:

1. в алгебраической А = 3 + j4;

2. в графической – в виде вектора на рис.2;

3. в тригонометрической А = 5 ( cos 53º + j sin53º );

4. в показательной А = 5 е .

Таким образом, из четырех форм записи комплексного числа А только две –

алгебраическая и тригонометрическая, строго соответствуют понятию «комплекс-

ное число», т.е. такое число, которое состоит из нескольких частей.

Следует отметить, что при расчетах электрических цепей символическим методом часто приходится переходить от одной формы представления комплекс-

ного числа к другой, например, от алгебраической к показательной. Для таких переходов применяют простейшие действия над числами, а именно: сложение, вычитание, умножение и деление.

Часть 2. Действия с комплексными числами

Сложение и вычитание комплексных чисел

Для сложения и вычитания комплексных величин и чисел используют их алгебра-

ическую и графическую формы представления.

Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме

При сложении комплексных чисел ( комплексов ) складываются отдельно их вещественные и мнимые составляющие, например,

А + В = ( А’ + j А» ) + ( В + j В» ) = ( А’ + В’ ) + j( А» + В» ) =

При вычитании комплексных чисел ( комплексов ) вычитаются отдельно их вещественные и мнимые составляющие, например,

А — В = ( А’ + j А» ) — ( В + j В» ) = ( А’ — В’ ) + j( А» — В» ) =

Вычитание комплексных чисел можно заменить простейшим действием элементарной алгебры, а именно — сложением уменьшаемого числа с вычитаемым, взятым с обратным знаком:

С = А – В + А + ( — В ),

С = ( А’ + j А» ) + ( — В – j В» ) = ( А’ — В’ ) + j( А» — В» ) =

Пример 5.Найти сумму С чисел А =3+j 4 и В = 5 + j 8.

Решение. Сумма С = А + В = 3+j 4 + 5 + j 8 = 8 + j 12.

Пример 6.Найти сумму С чисел А =4+j 6 и В = — 5 + j 8.

Решение. Сумма С = А + В = 4+j 6 + ( — 5 + j 8 ) = -1+ j14.

Пример 7. Найти разность С чисел А = 80 + j 90 и В = 50 – j 30.

Решение. Разность С = 80 + j 90 – ( 50 – j 30 ) = 80 + j90 – 50 + j 30 =

Пример 8. Найти сумму С чисел А = 10е и В = 6е .