Как найти вектор равный сумме

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
Содержание
  1. Определения скалярного произведения векторов через угол между ними
  2. Сложение векторов — решение примеров
  3. Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
  4. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
  5. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
  6. Покоординатное сложение векторов.
  7. Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
  8. Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
  9. Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
  10. Сложение и вычитание векторов
  11. Формулы сложения и вычитания векторов
  12. Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач
  13. Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач
  14. Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов
  15. Примеры задач на сложение и вычитание векторов
  16. Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов
  17. Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов
  18. Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3
  19. 📺 Видео

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный сумменазывается вектор Как найти вектор равный сумме, начало которого совпадает с началом вектора Как найти вектор равный сумме, а конец — с концом вектора Как найти вектор равный сумме, при условии, что начало вектора Как найти вектор равный суммеприложено к концу вектора Как найти вектор равный сумме) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Как найти вектор равный сумме

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный сумме— векторы, Как найти вектор равный сумме— угол между ними, а Как найти вектор равный сумме— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Как найти вектор равный сумме,

где Как найти вектор равный сумме— угол, смежный с углом Как найти вектор равный сумме. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Как найти вектор равный сумме.

В случае вычитания векторов (Как найти вектор равный сумме) происходит сложение вектора Как найти вектор равный суммес вектором Как найти вектор равный сумме, противоположным вектору Как найти вектор равный сумме, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный суммеи между Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный суммеявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный суммеобразуют угол Как найти вектор равный сумме. Их длины: Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный сумме. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как найти вектор равный сумме. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как найти вектор равный сумме.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Как найти вектор равный сумме.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Как найти вектор равный сумме

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как найти вектор равный сумме

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный суммеобразуют угол Как найти вектор равный сумме. Их длины: Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный сумме. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как найти вектор равный сумме. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как найти вектор равный сумме.

Пример 3. Даны длины векторов Как найти вектор равный суммеи длина их суммы Как найти вектор равный сумме. Найти длину их разности Как найти вектор равный сумме.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Как найти вектор равный сумме

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как найти вектор равный сумме

Пример 4. Даны длины векторов Как найти вектор равный суммеи длина их разности Как найти вектор равный сумме. Найти длину их суммы Как найти вектор равный сумме.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Как найти вектор равный сумме

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный сумме:

Как найти вектор равный сумме

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Как найти вектор равный сумме

Пример 5. Векторы Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный суммевзаимно перпендикулярны, а их длины Как найти вектор равный сумме. Найти длину их суммы Как найти вектор равный суммеи и длину их разности Как найти вектор равный сумме.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Как найти вектор равный сумме

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Как найти вектор равный суммеи Как найти вектор равный сумме, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Как найти вектор равный сумме,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Как найти вектор равный сумме,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Как найти вектор равный сумме?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Как найти вектор равный сумме

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Как найти вектор равный сумме

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Как найти вектор равный сумме

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Орт вектора.  Нормировать вектор.  Найти единичный вектор

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Как найти вектор равный сумме

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

Как найти вектор равный сумме

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

  • правило параллелограмма
  • правило треугольника
  • тригонометрический способ

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Как найти вектор равный сумме

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

Как найти вектор равный сумме

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
  • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
  • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Как найти вектор равный суммеРезультирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

  • Fрез. = [ F1 2 + F2 2 -2 F1 F2 cos(180 о -α) ] 1/2 (1)
    • где
      • F = числовое значение вектора
      • α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

  • β = arcsin[ F2 *sin(180 o -α) / FR ] (2)
    • где
      • α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Сложение и вычитание векторов

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Формулы сложения и вычитания векторов

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = < ax ; ay > и b = < bx ; by > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = < a 1 ; a 2 ; . ; an > и b = < b 1 ; b 2 ; . ; bn > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Примеры задач на сложение и вычитание векторов

Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов

Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов

Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📺 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Правило параллелепипеда для векторовСкачать

Правило параллелепипеда для векторов

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Единичный векторСкачать

Единичный вектор

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия
Поделиться или сохранить к себе: