Как найти вектор параллельный вектору

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < na_x ; na_y ; na_z >. Найдем их векторное произведение

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Условие коллинеарности векторов

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .

По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

1. ​​​Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
2. Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z

Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ — произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы a → = ( 3 — 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 — 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 — 2 2 ) = 1 3 2 — 4 + 3 — 2 2 = 1 2 — 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 — 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 — 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1

Т.е. b → = 1 2 — 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.

Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( — 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

Решение

Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ — 3 = — 3 · 1 0 = — 3 · 0 6 = — 3 · ( — 2 ) , то верным будет равенство: b → = — 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 — 2 — 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( — 2 ) · ( — 3 ) + k → · 1 · 0 — k → · 0 · ( — 3 ) — j → · 1 · 6 — i → · ( — 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7

тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .

Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.

Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

Исходные данные: вектор a → = ( 2 , — 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , — 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , — 18 ) .

Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , — 3 ) .

Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , — 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( — 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , — 1 2 )

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Как найти вектор коллинеарный вектору

Видео:Единичный векторСкачать

Формула

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Примеры нахождения коллинеарного вектора

Подставим координаты заданных векторов в это равенство и найдем значение $m$:

По пропорции имеем:

$$2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac=1,5$$

А тогда значения неизвестных параметров $m$ и $n$ находим из равенств

$$frac=2 Rightarrow m=6$$ $$frac=2 Rightarrow n=frac=0,5$$

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Поможем выполнить
любую работу

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

🎥 Видео

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать