Как найти угол вектора комплексного числа

Угол между векторами через скалярное произведение в комплексном пространстве
Содержание
  1. Primary tabs
  2. Forums:
  3. Скалярное произведение комплексных векторов
  4. Норма вектора через скалярное произведение
  5. Косинус угла через скалярное произведение и норму
  6. Пример расчета косинуса для комплексных векторов
  7. Вычисление угла между комплексными векторами
  8. Угол вектора комплексного числа
  9. Комплексные числа и операции с ними
  10. Комплексные числа
  11. Алгебраическая форма записи комплексных чисел
  12. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
  13. Комплексно сопряженные числа
  14. Модуль комплексного числа
  15. Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
  16. Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
  17. Аргумент комплексного числа
  18. Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
  19. Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
  20. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
  21. Аргумент и модуль комплексного числа
  22. Как найти угол вектора комплексного числа

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Primary tabs

Как найти угол вектора комплексного числа

Forums:

Видео:Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать

Аргумент комплексного числа.  Часть 1

Скалярное произведение комплексных векторов

Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Норма вектора через скалярное произведение

Евклидова норма через скалярное произведение для вектора $x$ выглядит так:
$Large ||x|| = sqrt$

Видео:Найти модуль и аргумент комплексного числа #maths #complexnumbers #complexanalysis #тфкп #calculusСкачать

Найти модуль и аргумент комплексного числа #maths #complexnumbers #complexanalysis #тфкп  #calculus

Косинус угла через скалярное произведение и норму

Косинус угла $m$ между векторами $x$ и $y$ в комплексном пространстве определяется равенством:
$Large cos , m = <(x, y)over>$
где:

  • $(x,y)$ — скалярное произведение этих векторов
  • а $||x|| * ||y||$ — произведение их норм

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Пример расчета косинуса для комплексных векторов

Возьмём два вектора:
$[1+i, 2]$ и $[2+i, i]$
Вычислим:

  • Их скалярное произведение: $ [1+i, 2] cdot [2+i, i] = (1+i) cdot (overline) + 2 cdot overline i = (1+i) cdot (2-i) + 2 cdot (-i) = 3-i$
  • Норму $[1+i, 2]$:
    $sqrt = sqrt = sqrt$
  • Норму $[2+i, i]$:
    $sqrt = sqrt = sqrt$

Тогда для косинуса угла между этими векторами получаем:
$large cos , m = <3 — i over<sqrt* sqrt>> = <3 — i over>$
т.е. фактически комплексное число (т.е. комплексное значение косинуса).

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Вычисление угла между комплексными векторами

Вычисление угла требует получения арккосинуса для комплексного числа.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Угол вектора комплексного числа

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексные числа и операции с ними

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для 0″/>, а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Как найти угол вектора комплексного числа

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Комплексные числа

Как найти угол вектора комплексного числаАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Как найти угол вектора комплексного числаСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Как найти угол вектора комплексного числаКомплексно сопряженные числа
Как найти угол вектора комплексного числаМодуль комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Как найти угол вектора комплексного числаИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Как найти угол вектора комплексного числаАргумент комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаТригонометрическая форма записи комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Как найти угол вектора комплексного числаИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

По этой причине

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и Как найти угол вектора комплексного числау которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа

Видео:Аргумент комплексного числаСкачать

Аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Как найти угол вектора комплексного числа

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

Как найти угол вектора комплексного числа

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Как найти угол вектора комплексного числа

Деление на нуль запрещено.

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Как найти угол вектора комплексного числа

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Как найти угол вектора комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Как найти угол вектора комплексного числа

Тогда оказывается справедливым равенство:

Как найти угол вектора комплексного числа

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Как найти угол вектора комплексного числа(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Как найти угол вектора комплексного числа(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
0φ = 2kπКак найти угол вектора комплексного числа
Первый
квадрант
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Положительная
мнимая
полуось
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Второй
квадрант
Как найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числаКак найти угол вектора комплексного числа
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
ПримерыКак найти угол вектора комплексного числа
Расположение
числа z
Первый
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как найти угол вектора комплексного числа
АргументКак найти угол вектора комплексного числа
ПримерыКак найти угол вектора комплексного числа
Расположение
числа z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как найти угол вектора комплексного числа
АргументКак найти угол вектора комплексного числа
ПримерыКак найти угол вектора комплексного числа
Расположение
числа z
Второй
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как найти угол вектора комплексного числа
АргументКак найти угол вектора комплексного числа
ПримерыКак найти угол вектора комплексного числа

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Как найти угол вектора комплексного числа

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение
числа z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и yТретий
квадрант
Знаки x и yОтрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и yЧетвёртый
квадрант
Знаки x и y
z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:ТФКП. Найти модуль и аргумент комплексных чисел. Функции комплексного переменного. Значение функции.Скачать

ТФКП. Найти модуль и аргумент комплексных чисел. Функции комплексного переменного. Значение функции.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числаСкачать

ТФКП. Как найти все значения корня из комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Как найти угол вектора комплексного числаи Как найти угол вектора комплексного числазаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Как найти угол вектора комплексного числа

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Формула Муавра. Возведение комплексного числа в степеньСкачать

Формула Муавра. Возведение комплексного числа в степень

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть Как найти угол вектора комплексного числа— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z0 , где Как найти угол вектора комплексного числаназывают такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Как найти угол вектора комплексного числа

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Как найти угол вектора комплексного числа

следствием которых являются равенства

Как найти угол вектора комплексного числа(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

Как найти угол вектора комплексного числа(10)

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса Как найти угол вектора комплексного числас центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

Как найти угол вектора комплексного числа

то по формуле (10) получаем:

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Как найти угол вектора комплексного числа

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Аргумент и модуль комплексного числа

Вычислить аргумент и модуль комплексного числа.
Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Из определения следуют следующие формулы:

Как найти угол вектора комплексного числа

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение &#966, что Как найти угол вектора комплексного числа. Обозначается: arg(z).

Как найти угол вектора комплексного числа— аргумент от произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел
Как найти угол вектора комплексного числа— аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов этих чисел
Как найти угол вектора комплексного числа— аргумент от сопряженного комплексного числа равен отрицательному значению аргумента от этого числа.

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Как найти угол вектора комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i 0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть Как найти угол вектора комплексного числа .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а yмнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и Как найти угол вектора комплексного числа называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Как найти угол вектора комплексного числа

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора Как найти угол вектора комплексного числа . Длина вектора Как найти угол вектора комплексного числа , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Как найти угол вектора комплексного числа называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа Как найти угол вектора комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого k ( k =0;1;1;2;2…): Как найти угол вектора комплексного числа , где arg zглавное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора Как найти угол вектора комплексного числа , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число Как найти угол вектора комплексного числа можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол Как найти угол вектора комплексного числа ( k =0;1;1;2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа Как найти угол вектора комплексного числа в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z 1 имеем Как найти угол вектора комплексного числа . Поэтому Как найти угол вектора комплексного числа .

Для действительного числа Как найти угол вектора комплексного числа . Поэтому

Как найти угол вектора комплексного числа

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Как найти угол вектора комплексного числа

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов Как найти угол вектора комплексного числа , и исходящим из конца вычитаемого Как найти угол вектора комплексного числа в конец уменьшаемого Как найти угол вектора комплексного числа (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел Как найти угол вектора комплексного числа и Как найти угол вектора комплексного числа . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z 1 и Как найти угол вектора комплексного числа называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть Как найти угол вектора комплексного числа , если Как найти угол вектора комплексного числа .

Пусть Как найти угол вектора комплексного числа , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби Как найти угол вектора комплексного числа на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Как найти угол вектора комплексного числа .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна Как найти угол вектора комплексного числа .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна Как найти угол вектора комплексного числа .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Как найти угол вектора комплексного числа

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел Как найти угол вектора комплексного числа , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Как найти угол вектора комплексного числа

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

Как найти угол вектора комплексного числа

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть Как найти угол вектора комплексного числа , если ω n = z .

Пусть Как найти угол вектора комплексного числа , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: Как найти угол вектора комплексного числа . Сравнивания части этого равенства, получим: Как найти угол вектора комплексного числа . Отсюда Как найти угол вектора комплексного числа (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого Как найти угол вектора комплексного числа корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Как найти угол вектора комплексного числа

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a ib Как найти угол вектора комплексного числа

В разложение многочлена Как найти угол вектора комплексного числа комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения Как найти угол вектора комплексного числа , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Как найти угол вектора комплексного числа

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Поделиться или сохранить к себе: