Как найти угол между собственными векторами матрицы

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Формула вычисления угла между векторами

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Содержание

В этом документе собраны основные сведения из алгебры матриц и векторов, которые используются в хемометрике. Приведенный текст не может служить учебником по матричной алгебре — он скорее является конспектом, справочником в этой области. Более глубокое и систематическое изложение может быть найдено в литературе.

Текст разбит на две части названные — «Базовые сведения» и «Дополнительная информация». В первой части изложены положения, минимально необходимые для понимания хемометрики, а во второй части — факты, которые необходимо знать для более глубокого постижения методов многомерного анализа. Изложение иллюстрируется примерами, выполненными в рабочей книге Excel Matrix.xls, которая сопровождает этот документ.

Ссылки на примеры помещены в текст как объекты Excel. Эти примеры имеют абстрактный характер, они никак не привязаны к задачам аналитической химии. Реальные примеры использования матричной алгебры в хемометрике рассмотрены в других текстах, посвященных разнообразным хемометрическим приложениям.

Большинство измерений, проводимых в аналитической химии, являются не прямыми, а косвенными . Это означает, что в эксперименте вместо значения искомого аналита C (концентрации) получается другая величина x (сигнал), связанная, но не равная C, т.е. x (C) ≠ С. Как правило, вид зависимости x (C) не известен, однако, к счастью, в аналитической химии большинство измерений пропорциональны. Это означает, что при увеличении концентрации С в a раз, сигнал X увеличится на столько же., т.е. x ( a C) = a x (C). Кроме того, сигналы еще и аддитивны, так что сигнал от пробы, в которой присутствуют два вещества с концентрациями C 1 и C 2 , будет равен сумме сигналов от каждого компонента, т.е. x (C 1 + C 2 ) = x (C 1 )+ x (C 2 ). Пропорциональность и аддитивность вместе дают линейность . Можно привести много примеров, иллюстрирующих принцип линейности, но достаточно упомянуть два самых ярких примера — хроматографию и спектроскопию. Вторая особенность, присущая эксперименту в аналитической химии — это многоканальность . Современное аналитическое оборудование одновременно измеряет сигналы для многих каналов. Например, измеряется интенсивность пропускания света сразу для нескольких длин волн, т.е. спектр. Поэтому в эксперименте мы имеем дело со множеством сигналов x 1 , x 2 . x n , характеризующих набор концентраций C 1 ,C 2 , . C m веществ, присутствующих в изучаемой системе.

Итак, аналитический эксперимент характеризуется линейностью и многомерностью. Поэтому удобно рассматривать экспериментальные данные как векторы и матрицы и манипулировать с ними, используя аппарат матричной алгебры. Плодотворность такого подхода иллюстрирует пример, показанный на Рис. 1, где представлены три спектра, снятые для 200 длин волн от 4000 до 4796 cm −1 . Первый ( x 1 ) и второй ( x 2 ) спектры получены для стандартных образцов, в которых концентрация двух веществ A и B, известны: в первом образце [A] = 0.5, [B] = 0.1, а во втором образце [A] = 0.2, [B] = 0.6. Что можно сказать о новом, неизвестном образце, спектр которого обозначен x 3 ?

Рассмотрим три экспериментальных спектра x 1 , x 2 и x 3 как три вектора размерности 200. Средствами линейной алгебры можно легко показать, что x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 , поэтому в третьем образце очевидно присутствуют только вещества A и B в концентрациях [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 и [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

1. Базовые сведения

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

1.1 Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, например

Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами ( A ), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. a ij . Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В хемометрике принято обозначать максимальное значение индекса той же буквой, что и сам индекс, но заглавной. Поэтому матрицу A можно также записать как < a ij , i = 1. I ; j = 1. J >. Для приведенной в примере матрицы I = 4, J = 3 и a 23 = −7.5.

Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I × J . Примером матрицы в хемометрике может служить набор спектров, полученный для I образцов на J длинах волн.

Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать

1.2. Простейшие операции с матрицами

Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число. Например —

Рис. 3 Умножение матрицы на число

Две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать. Например,

Рис. 4 Сложение матриц

В результате умножения на число и сложения получается матрица той же размерности.

Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O . Очевидно, что A + O = A , A − A = O и 0 A = O .

Матрицу можно транспонировать . При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A ‘ или индексом A t . Таким образом, если A = < a ij , i = 1. I ; j = 1. J >, то A t = < a ji , j = 1. J ; i = 1. I >. Например

Рис. 5 Транспонирование матрицы

Очевидно, что ( A t ) t = A , ( A + B ) t = A t + B t .

Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

1.3. Умножение матриц

Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности. Почему это так, будет ясно из определения. Произведением матрицы A , размерностью I × K , и матрицы B , размерностью K × J , называется матрица C , размерностью I × J , элементами которой являются числа

Таким образом для произведения AB необходимо, чтобы число столбцов в левой матрице A было равно числу строк в правой матрице B . Пример произведения матриц —

Рис.6 Произведение матриц

Правило перемножения матриц можно сформулировать так. Для того, чтобы найти элемент матрицы C , стоящий на пересечении i -ой строки и j -ого столбца ( c ij ) надо поэлементно перемножить i -ую строку первой матрицы A на j -ый столбец второй матрицы B и сложить все результаты. Так в показанном примере, элемент из третьей строки и второго столбца, получается как сумма поэлементных произведений третьей строки A и второго столбца B

Рис.7 Элемент произведения матриц

Произведение матриц зависит от порядка, т.е. AB ≠ BA , хотя бы по соображениям размерности. Говорят, что оно некоммутативно. Однако произведение матриц ассоциативно. Это означает, что ABC = ( AB ) C = A ( BC ). Кроме того, оно еще и дистрибутивно, т.е. A ( B + C ) = AB + AC . Очевидно, что AO = O .

Видео:7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

1.4. Квадратные матрицы

Если число столбцов матрицы равно числу ее строк ( I = J = N ), то такая матрица называется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы. Среди этих матриц можно выделить матрицы, обладающие особыми свойствами.

Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E ) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.

Очевидно AI = IA = A .

Матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме диагональных ( a ii ) равны нулю. Например

Рис. 8 Диагональная матрица

Матрица A называется верхней треугольной , если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. a ij = 0, при i > j . Например

Рис. 9 Верхняя треугольная матрица

Аналогично определяется и нижняя треугольная матрица.

Матрица A называется симметричной , если A t = A . Иными словами a ij = a ji . Например

Рис. 10 Симметричная матрица

Матрица A называется ортогональной , если

Матрица называется нормальной если

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

1.5. След и определитель

Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr( A ) или Sp( A )) называется сумма ее диагональных элементов,

Рис. 11 След матрицы

Sp(α A ) = α Sp( A ) и

Sp( A + B ) = Sp( A )+ Sp( B ).

Можно показать, что

Sp( A ) = Sp( A t ), Sp( I ) = N ,

Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det( A )). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда

Для матрицы (3×3) определитель будет равен

В случае матрицы ( N × N ) определитель вычисляется как сумма 1·2·3· . · N = N ! слагаемых, каждый из которых равен

Индексы k 1 , k 2 . k N определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, . , N ). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,

Рис. 12 Определитель матрицы

Отметим только очевидные свойства:

det( I ) = 1, det( A ) = det( A t ),

det( AB ) = det( A )det( B ).

Видео:Линал 1.8 Собственные векторы и собственные числаСкачать

1.6. Векторы

Если матрица состоит только из одного столбца ( J = 1), то такой объект называется вектором . Точнее говоря, вектором-столбцом. Например

Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например

Этот объект также является вектором, но вектором-строкой . При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.

Размерностью вектора называется число его элементов.

Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.

В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0 .

Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать

1.7. Простейшие операции с векторами

Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами. Например,

Рис. 13 Операции с векторами

Два вектора x и y называются колинеарными , если существует такое число α, что

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

1.8. Произведения векторов

Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = ( x 1 , x 2 . x N ) t и y = ( y 1 , y 2 . y N ) t . Руководствуясь правилом перемножения «строка на столбец», мы можем составить из них два произведения: x t y и xy t . Первое произведение

называется скалярным или внутренним . Его результат — это число. Для него также используется обозначение ( x , y ) = x t y . Например,

Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение

называется внешним . Его результат — это матрица размерности ( N × N ). Например,

Рис. 15 Внешнее произведение

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными .

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

1.9. Норма вектора

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина

определяет квадрат длины вектора x . Для обозначения длины (называемой также нормой вектора) используется обозначение

Рис. 16 Норма вектора

Вектор единичной длины (|| x || = 1) называется нормированным. Ненулевой вектор ( x ≠ 0 ) можно нормировать, разделив его на длину, т.е. x = || x || ( x/ || x ||) = || x || e . Здесь e = x/ || x || — нормированный вектор.

Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны.

Видео:А.7.40 Метод Якоби поиска собственных векторов и значений симметричных матрицСкачать

1.10. Угол между векторами

Скалярное произведение определяет и угол φ между двумя векторами x и y

Если вектора ортогональны, то cosφ = 0 и φ = π/2, а если они колинеарны, то cosφ = 1 и φ = 0.

Видео:найти угол между единичными векторамиСкачать

1.11. Векторное представление матрицы

Каждую матрицу A размера I × J можно представить как набор векторов

Здесь каждый вектор a j является j -ым столбцом, а вектор-строка b i является i -ой строкой матрицы A

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

1.12. Линейно зависимые векторы

Векторы одинаковой размерности ( N ) можно складывать и умножать на число, также как матрицы. В результате получится вектор той же размерности. Пусть имеется несколько векторов одной размерности x 1 , x 2 . x K и столько же чисел α α 1 , α 2 . α K . Вектор

y = α 1 x 1 + α 2 x 2 +. + α K x K

называется линейной комбинацией векторов x k .

Если существуют такие ненулевые числа α k ≠ 0, k = 1. K , что y = 0 , то такой набор векторов x k называется линейно зависимым . В противном случае векторы называются линейно независимыми. Например, векторы x 1 = (2, 2) t и x 2 = (−1, −1) t линейно зависимы, т.к. x 1 +2 x 2 = 0

Видео:Матрица линейного оператораСкачать

1.13. Ранг матрицы

Рассмотрим набор из K векторов x 1 , x 2 . x K размерности N . Рангом этой системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов. Например в наборе

имеются только два линейно независимых вектора, например x 1 и x 2 , поэтому ее ранг равен 2.

Очевидно, что если векторов в наборе больше, чем их размерность ( K > N ), то они обязательно линейно зависимы.

Рангом матрицы (обозначается rank( A )) называется ранг системы векторов, из которых она состоит. Хотя любую матрицу можно представить двумя способами (векторы столбцы или строки), это не влияет на величину ранга, т.к.

rank( A ) = rank( A t ).

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

1.14. Обратная матрица

Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A -1 , определяемую условиями

Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является

det( A ) ≠ 0 или rank( A ) = N .

Обращение матрицы — это сложная процедура, для выполнения которой существуют специальные программы. Например,

Рис. 17 Обращение матрицы

Приведем формулы для простейшего случая — матрицы 2×2

Если матрицы A и B невырождены, то

1.15. Псевдообратная матрица

Если матрица A вырождена и обратная матрица не существует, то в некоторых случаях можно использовать псевдообратную матрицу, которая определяется как такая матрица A + , что

Псевдобратная матрица — не единственная и ее вид зависит от способа построения. Например для прямоугольной матрицы можно использовать метод Мура-Пенроуза.

Если число столбцов меньше числа строк, то

A + =(A t A) −1 A t

Рис. 1 7a Псевдообращение матрицы

Если же число столбцов больше числа строк, то

A + =A t (AA t ) −1

1.16. Умножение вектора на матрицу

Вектор x можно умножать на матрицу A подходящей размерности. При этом вектор-столбец умножается справа Ax , а вектор строка — слева x t A . Если размерность вектора J , а размерность матрицы I × J то в результате получится вектор размерности I . Например,

Рис. 18 Умножение вектора на матрицу

Если матрица A — квадратная ( I × I ), то вектор y = Ax имеет ту же размерность, что и x . Очевидно, что

A (α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .

Поэтому матрицы можно рассматривать как линейные преобразования векторов. В частности Ix = x , Ox = 0 .

2. Дополнительная информация

2.1. Системы линейных уравнений

Пусть A — матрица размером I × J , а b — вектор размерности J . Рассмотрим уравнение

относительно вектора x , размерности I . По сути — это система из I линейных уравнений с J неизвестными x 1 . x J . Решение существует в том, и только в том случае, когда

rank( A ) = rank( B ) = R ,

где B — это расширенная матрица размерности I ×( J+1 ), состоящая из матрицы A , дополненной столбцом b , B = ( A b ). В противном случае уравнения несовместны.

Если R = I = J , то решение единственно

Если R I , то существует множество различных решений, которые можно выразить через линейную комбинацию J − R векторов. Система однородных уравнений Ax = 0 с квадратной матрицей A ( N × N ) имеет нетривиальное решение ( x ≠ 0 ) тогда и только тогда, когда det( A ) = 0. Если R = rank( A ) N , то существуют N − R линейно независимых решений.

2.2. Билинейные и квадратичные формы

Если A — это квадратная матрица , а x и y — вектора соответствующей размерности, то скалярное произведение вида x t Ay называется билинейной формой , определяемой матрицей A . При x = y выражение x t Ax называется квадратичной формой.

2.3. Положительно определенные матрицы

Квадратная матрица A называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x ≠ 0 ,

Аналогично определяются отрицательно ( x t Ax x t Ax ≥ 0) и неположительно ( x t Ax ≤ 0) определенные матрицы.

2.4. Разложение Холецкого

Если симметричная матрица A положительно определена, то существует единственная треугольная матрица U с положительными элементами, для которой

Рис. 19 Разложение Холецкого

2.5. Полярное разложение

Пусть A — это невырожденная квадратная матрица размерности N × N . Тогда существует однозначное полярное представление

где S — это неотрицательная симметричная матрица, а R — это ортогональная матрица. Матрицы S и R могут быть определены явно:

S 2 = AA t или S = ( AA t ) ½ и R = S −1 A = ( AA t ) −½ A .

Рис. 20 Полярное разложение

Если матрица A вырождена, то разложение не единственно — а именно: S по-прежнему одна, а вот R может быть много. Полярное разложение представляет матрицу A как комбинацию сжатия/растяжения S и поворота R .

2.6. Собственные векторы и собственные значения

Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A , если

где число λ называется собственным значением матрицы A . Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v , сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и α v — тоже собственный вектор.

2.7. Собственные значения

У матрицы A , размерностью ( N × N ) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению

являющемуся алгебраическим уравнением N -го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид

Рис. 21 Собственные значения

Набор собственных значений λ 1 . λ N матрицы A называется спектром A .

Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности

det( A ) = λ 1 ×. ×λ N , Sp( A ) = λ 1 +. +λ N .

Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная ( A t = A ), то ее собственные значения вещественны.

2.8. Собственные векторы

У матрицы A , размерностью ( N × N ) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора v n нужно решить систему однородных уравнений

Она имеет нетривиальное решение, поскольку det( A − λ n I ) = 0.

Рис. 22 Собственные вектора

Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.

2.9. Эквивалентные и подобные матрицы

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности I × J эквивалентны , если существуют такие квадратные матрицы S , размерности I × I , и T , размерности J × J , что

Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности N × N подобны , если существует такая невырожденная матрица T , что

Матрица T называется преобразованием подобия.

Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.

2.10. Приведение матрицы к диагональному виду

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —

Здесь Λ = diag(λ 1 . λ N ) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A , а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A , т.е. T = ( v 1 . v N ).

Рис. 23 Приведение к диагональному виду

2.11. Разложение по сингулярным значениям (SVD)

Пусть имеется прямоугольная матрица A размерностью I × J ранга R ( I ≤ J ≤ R ). Ее можно разложить в произведение трех матриц P R ( I × R ), D R ( R × R ) и Q R ( J × R ) —

.

Здесь P R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами p r матрицы AA t , соответствующим R наибольшим собственным значениям λ r ;

AA t p r = λ r p r ;

Q R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами q r матрицы A t A ;

A t Aq r = λ r q r .

D R = diag (σ 1 . σ R ) — положительно определенная диагональная матрица , элементами которой являются σ 1 ≥. ≥σ R ≥0 — сингулярные значения матрицы A , равные квадратным корням из собственных значений матрицы A t A —

Рис. 24 SVD разложение

Дополняя матрицы P R и Q R ортонормированными столбцами, а матрицу D R нулевыми значениями, можно сконструировать матрицы P ( I × J ), D ( J × J ) и Q ( J × J ) такие, что

2.12. Линейное пространство

Рассмотрим все возможные векторы размерности N . Это множество называется линейным пространством размерности N и обозначается R N . Так как в R N включены все возможные векторы, то любая линейная комбинация векторов из R N будет также принадлежать этому пространству.

2.13. Базис линейного пространства

Любой набор из N линейно независимых векторов называется базисом в пространстве R N . Простейший пример базиса — это набор векторов

в каждом из которых только один элемент равен 1, а остальные равны нулю. Тогда любой вектор x = ( x 1 , x 2 . x N ) t может быть представлен как линейная комбинация x = x 1 e 1 + x 2 e 2+ . + x N e N базисных векторов.

Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным , а если базисные вектора еще и нормированы, то этот базис называется ортонормированным .

2.14. Геометрическая интерпретация

Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N -мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x = ( x 1 , x 2 . x N ) t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами ( x 1 , x 2 . x N ).

Рис. 25 Координатное пространство

2.15. Множественность базисов

В линейном пространстве могут быть неограниченное число базисов. Так, в пространстве R 3 помимо обычного ортонормированного базиса

можно установить и другой ортонормированный базис, например

Каждый базис можно представить матрицей B = ( b 1 . b N ), составленной из базисных векторов. Переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной квадратной матрицы T , т.е. B 2 = TB 1 .

2.16. Подпространство

Пусть имеется набор из K линейно независимых векторов x 1 , x 2 . x K в пространстве R N . Рассмотрим все возможные линейные комбинации этих векторов

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 +. + α K x K

О получившимся множестве Q говорят, что оно является линейной оболочкой или что оно натянуто на векторы x 1 , x 2 . x K . По определению линейного пространства это множество Q само является линейным пространством размерности K . При этом оно принадлежит пространству R N , поэтому Q называется линейным подпространством R K в пространстве R N .

2.17. Проекция на подпространство

Рассмотрим подпространство R K , натянутое на векторы X = ( x 1 , x 2 . x K ) в пространстве R N . Матрица базиса X имеет размерность ( N × K ). Любой вектор y из R N может быть спроецирован на подпространство R K , т.е. представлен в виде

где вектор y || принадлежит R K , а вектор y ⊥ ортогонален y || .

Рис. 26 Проекция на подпространство

Проекцию y || можно представить как результат действия проекционной матрицы P

Проекционная матрица определяется как

Рис. 27 Проекционное разложение

Заключение

Матричные методы активно используются при анализе данных, в том числе и хемометрическими методами.