Односторонний треугольник его свойства

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Содержание
  1. Определение равностороннего треугольника
  2. Свойства равностороннего треугольника
  3. Свойство 1
  4. Свойство 2
  5. Свойство 3
  6. Свойство 4
  7. Свойство 5
  8. Свойство 6
  9. Пример задачи
  10. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  11. Типы треугольников
  12. По величине углов
  13. По числу равных сторон
  14. Вершины углы и стороны треугольника
  15. Свойства углов и сторон треугольника
  16. Теорема синусов
  17. Теорема косинусов
  18. Теорема о проекциях
  19. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  20. Медианы треугольника
  21. Свойства медиан треугольника:
  22. Формулы медиан треугольника
  23. Биссектрисы треугольника
  24. Свойства биссектрис треугольника:
  25. Формулы биссектрис треугольника
  26. Высоты треугольника
  27. Свойства высот треугольника
  28. Формулы высот треугольника
  29. Окружность вписанная в треугольник
  30. Свойства окружности вписанной в треугольник
  31. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  32. Окружность описанная вокруг треугольника
  33. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  34. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  35. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  36. Средняя линия треугольника
  37. Свойства средней линии треугольника
  38. Периметр треугольника
  39. Формулы площади треугольника
  40. Формула Герона
  41. Равенство треугольников
  42. Признаки равенства треугольников
  43. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  44. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  45. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  46. Подобие треугольников
  47. Признаки подобия треугольников
  48. Первый признак подобия треугольников
  49. Второй признак подобия треугольников
  50. Третий признак подобия треугольников
  51. Свойства равностороннего треугольника
  52. 🔥 Видео

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Односторонний треугольник его свойства

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Односторонний треугольник его свойства

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Односторонний треугольник его свойства

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Односторонний треугольник его свойства

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Односторонний треугольник его свойства

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Односторонний треугольник его свойства

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Односторонний треугольник его свойства

2. Радиус вписанной окружности:
Односторонний треугольник его свойства

3. Радиус описанной окружности:
Односторонний треугольник его свойства

4. Периметр:
Односторонний треугольник его свойства

5. Площадь:
Односторонний треугольник его свойства

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Свойства равностороннего треугольникаСкачать

Свойства равностороннего треугольника

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Типы треугольников

По величине углов

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства

По числу равных сторон

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Медианы треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Биссектрисы треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№32 - Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№32 - Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства.)

Высоты треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Геометрия. 7 класс. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки /10.12.2020/Скачать

Геометрия. 7 класс. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки /10.12.2020/

Окружность вписанная в треугольник

Односторонний треугольник его свойства

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

7 фактов про равносторонний треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Односторонний треугольник его свойства

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Периметр треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Равносторонний треугольникСкачать

Равносторонний треугольник

Формулы площади треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Геометрия 7 класс - равнобедренный треугольник и его свойстваСкачать

Геометрия 7 класс - равнобедренный треугольник и его свойства

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Равносторонний треугольник и его свойстваСкачать

Равносторонний треугольник и его свойства

Подобие треугольников

Односторонний треугольник его свойства

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

Если a — сторона треугольника, то

Односторонний треугольник его свойства

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

Односторонний треугольник его свойства

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

Односторонний треугольник его свойства

Односторонний треугольник его свойства

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

🔥 Видео

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников
Поделиться или сохранить к себе: