Докажите что биссектриса одного из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей

§ 15. Свойства параллельных прямых

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP .

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный.

1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

Докажите, что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей взаимно перпендикулярны

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Ваш ответ

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

решение вопроса

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,701
• разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№ 211 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

Урок+презентации по геометрии на тему «Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей» (7 класс)

Видео:№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ НА УРОКЕ я (рефлексия).docx

Выбранный для просмотра документ Презентация1.pptx

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

УРОК ГЕОМЕТРИИ В 7 КЛАССЕ НА ТЕМУ «………………………………..» 18.02.2020 г

В архитектуре используют математику по нескольким причинам. Даже если отбросить необходимость математики для проектирования здания, архитекторы используют геометрию для определения пространственной формы здания.

Пиза́нская башня (итал. Torre pendente di Pisa) — колокольная башня, часть ансамбля городского собора Санта-Мария-Ассунта (Пизанский собор) в городе Пиза, получившая всемирную известность благодаря непреднамеренному наклону.

Основные сведения Башня имеет 294 ступеньки. Высота башни составляет 55,86 м от земли в самой низкой точке и 56,7 м в самой высокой точке. Диаметр основания — 15,54 м. Толщина наружных стен уменьшается от основания к вершине (у основания — 4,9 м, на высоте галерей — 2,48 м). Автор проекта Бонанно Пизано. Строительство башни велось в 2 этапа, начиная с 9 августа 1173, и с двумя длинными перерывами продолжалось почти 200 лет, до 1360 года.

Вспомним, что мы знаем о прямоугольнике? Периметр Площадь Диагональ

Устная работа 1 группа 2 группа 3 группа Назвать: Как называются отмеченные углы? Чему равен угол со знаком вопроса?

Признак параллельности прямых… Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны

Вывод Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

Тема урока «Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей»

Физкультминутка: 1. Сожмите кисть столько раз, сколько равна площадь прямоугольника со сторонами 3см, 2 см. 2. а=2см, в=1см Наклоны туловищем влево/вправо столько раз, сколько равен периметр прямоугольника. 3. Присядьте столько раз, сколько будет равна площадь квадрата со стороной 1 см.

Решение задач a b c 1 ? ? ? ? ? ? ?

Решение задач 2. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей c, если один из углов в 5 раз больше другого.

Решение задач 3. Докажите, что биссектриса одного из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей отсекает на одной из параллельных прямых отрезок, равный отрезку секущей. A B C D 1 2 3

Игра в формате ОГЭ (верно/неверно): Две прямые на плоскости называются параллельны­ми, если они не пересекаются. При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей пря­мой сумма на­крест ле­жа­щих углов равна 180°. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы равны 70° и 110°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой на­крест ле­жа­щие углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны. Если две пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны тре­тьей прямой, то эти две пря­мые параллельны.

Домашнее задание П. 32 Теорема 4.3 Творческое задание (Пизанская башня и опыт Галилео)

ВЫВОД Две прямые на плоскости называются параллельны­ми, если……………………………………………………………………………….. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести …………………………………………………………………………, и только одну. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она…………………………………………………………….. и другой. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то………. ………………………………………………………. углы равны, а сумма…….……………………………………………….…. углов равна 180°.

Проверь ответы Две прямые на плоскости называются параллельны­ми, если они не пересекаются. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°. (теорема 4.3)

НА УРОКЕ: Я научился… Мне понравилось… Я затруднялся… Моё настроение…

Башня, ставшая лабораторией Галилея

Выбранный для просмотра документ Сценарий урока геометрии общий.docx

У вас на партах лежат рабочие листы, запишите на них дату в правом верхнем углу.

Ребята, как вы считаете, где в жизни используется математика? А геометрия?

+++++ 1. Если дети ответят в архитектуре, то я говорю……

Говоря об архитектуре, математику используют по нескольким причинам. Даже если отбросить необходимость математики для проектирования здания, архитекторы используют геометрию для определения пространственной формы здания.

— — — — — 2. Если дети не ответят, то я говорю……

Ко всему перечисленному также можно добавить архитектуру, в которой математику используют по нескольким причинам. Даже если отбросить необходимость математики для проектирования здания, архитекторы используют геометрию для определения пространственной формы здания.

Я предлагаю вам вспомнить о Пизанской башне.

Пиза́нская башня
(итал. Torre pendente di Pisa ) — колокольная башня, часть ансамбля городского собора Санта-Мария-Ассунта (Пизанский собор) в городе Пиза, получившая всемирную известность благодаря непреднамеренному наклону.

Основные сведения: Башня имеет 294 ступеньки. Высота башни составляет 55,86 м от земли в самой низкой точке и 56,7 м в самой высокой точке. Диаметр основания — 15,54 м. Автор проекта Бонанно Пизано. Строительство башни велось в 2 этапа, начиная с 9 августа 1173, и с двумя длинными перерывами продолжалось почти 200 лет, до 1360 года.

Что же послужило причиной наклона башни?

Оказывается, изначально ошибка была еще в самом начале проектирования башни. Фундамент, который заложен, не соответствовал высоте и толщине стен.

Ребята, как вы думаете, от чего зависит прочность здания?

Ребята, а какую форму фундамента имеют здания, в которых мы живем и учимся?

Да, в основе фундамента наших зданий прямоугольник.

Чтобы построить прочное здание, надо заложить прочный фундамент.

Итак, вот прямоугольник. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Давайте вспомним, что мы знаем о прямоугольнике?

(периметр, площадь, диагональ, стороны)

Проверим наши ответы

1) Периметр (+формула)

2) Площадь (+формула)

4) Стороны противолежащие (параллельные)

Я предлагаю вам, на рабочих листах под номером 1 начертить прямоугольник, как на картинке с вершинами A , B , C , D и диагональю AC .

А давайте продолжим противолежащие стороны AB и DC , и диагональ AC .

А стороны AD и С B сотрем.

Что мы с вами получили?

(две параллельные прямые, которые пересекает секущая)

А давайте вспомним, что мы уже выучили по данной теме. Для этого я предлагаю вам решить устно задачи на картинках.

Ваша задача сказать, как называются отмеченные углы, и чему равен угол со знаком вопроса.

Работать будем по рядам, 1-й ряд – 1-я картинка, 2-й ряд – 2-я картинка и соответственно 3-й ряд – 3-я картинка.

Итак, первый ряд, кто готов отвечать?

(1 картинка – соответственные углы, 50 градусов

2 картинка – внутренние односторонние углы, 130 градусов

3 картинка – внутренние накрест лежащие углы, 50 градусов)

Виды углов повторили, теперь давайте повторим признак параллельности прямых. Желающие

(п.31 признак параллельности прямых:

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны, т.4.2)

А если секущая по отношению к одной из прямых проходит под прямым углом, то чему будут равны остальные углы?

слайд (прямой угол)

(все углы прямые)

Итак, давайте сделаем вывод

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

Т.О. мы пришли с вами к свойству, которым обладают углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей.

Поэтому на рабочих листах сверху, в отведенном для темы месте вписываем тему нашего урока

слайд (тема урока)

«Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей»

Прежде чем перейти к решению задач, давайте проведем физкульминутку.

Для этого встанем.

Ученик читает задания для физкультминутки

1.Сожмите кисть столько раз, сколько равна площадь прямоугольника со сторонами 3см, 2 см. Ответ: 6 раз.
2. а=2см, в=1см
Наклоны туловищем влево/вправо столько раз, сколько равен периметр прямоугольника. Ответ: 6 раз
3. Присядьте столько раз, сколько будет равна площадь квадрата со стороной 1см.
Ответ: 1

Немножко отдохнули, переходим к решению задач.

1. При пересечении двух параллельных прямых секущей, образовано 8 углов. Угол 1 равен Найдите остальные углы.

2. Найдите все углы, образовавшиеся при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей c, если один из углов в 5 раз больше другого.

Слайд ЗАДАЧА 3 (резерв)

3. Докажите, что биссектриса одного из внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей отсекает на одной из параллельных прямых отрезок, равный отрезку секущей.

Теперь давайте проработаем эту тему в игровой форме, 1 человек с ряда читает предложение, а весь ряд говорит верно/неверно (такое задание вы встретите в государственной итоговой аттестации). Записывайте номера верных утверждений в рабочие листы под номером 4.

слайд (ИГРА ВЕРНО/НЕВЕРНО)

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.

Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

6. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

Прежде чем подвести итоги, запишите домашнее задание на своих рабочих листах.

слайд ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Творческое задание (Пизанская башня и опыт Галилео)

Итак, давайте подведем итог. У каждого из вас на рабочем листе внизу записаны фразы, касающиеся нашей темы, но в них пропущено несколько слов, ваша задача их правильно вписать. Приступайте к выполнению.

Слайд (по очереди высвечивать ответ)

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°. (теорема 4.3)

СЛАЙД НА УРОКЕ Я…………

Теперь возьмите вот такие листочки и продолжите каждую фразу на уроке я…

По желанию листочки подпишите. Кто написал, передаем мне.

слайд (башня и смайлики)

Так как хорошее настроение одна из главных составляющих успеха, поэтому давайте на смайликах, которые лежат у вас на партах, дорисуем свое настроение, и этим настроением укрепим нашу башню!

Предлагаю каждому из Вас приклеить свой смайлик на фото Пизанской башни.

Ввиду имеющегося наклона высота южной и северной стороны здания неодинаковы. Так, с наклонной стороны (северной) она равна 55,8 м, а с противоположной составляет 56,6 м.

слайд (спасибо за урок)

Спасибо за урок!

Спасибо за внимание!

Любопытно, что история этого сооружения связана с именем великого астронома, математика и физика XVII века Галилео Галилея, родившегося в Пизе в 1642 году. Поскольку Пизанская башня наклонена в сторону, она явилась весьма удобным местом для проведения его опытов. Именно Галилей сбрасывал предметы разной массы, иллюстрируя ученикам свои научные выводы. Несмотря на то, что в прежние годы ряд исследователей подвергал эту информацию сомнению, позднейшие открытия показали её достоверность. Все тела при падении движутся одинаково: начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью. Движение происходит с постоянным ускорением.

Выбранный для просмотра документ Технологическая карта.doc

💡 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 классСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.Скачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 КлассСкачать

§ 4 № 1-51 - Геометрия 7-9 класс ПогореловСкачать

Геометрия. Учимся решать задачи. Признаки параллельности прямых задача 4Скачать

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать