Сечение через точку параллельно двум прямым

Сечение через точку параллельно двум прямым

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Сечение через точку параллельно двум прямым

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Сечение через точку параллельно двум прямым

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Сечение через точку параллельно двум прямым

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Сечение через точку параллельно двум прямым

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Сечение через точку параллельно двум прямым

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;

Сечение через точку параллельно двум прямым

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;

Сечение через точку параллельно двум прямым

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

Сечение через точку параллельно двум прямым

MKNTPL — искомое сечение.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

Сечение через точку параллельно двум прямым.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Методы построения сечений многогранников

Разделы: Математика

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

  1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
  2. В задачах используются в основном простейшие многогранники.
  3. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

  • что значит построить сечение многогранника плоскостью;
  • как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
  • как задается плоскость;
  • когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

  • тремя точками;
  • прямой и точкой;
  • двумя параллельными прямыми;
  • двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

  1. Метод следов.
  2. Метод вспомогательных сечений.
  3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

  • построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
  • построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
  • построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
  • построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
  • построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии для 10-11 класов входят учебники авторов:

  • Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др (Геометрия, 10-11);
  • Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
  • Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);
  • Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
  • Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме “Построение сечений многогранников” для учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той последовательности, в какой он может применяться для обучения учащихся. Из изложения темы “Многогранники” предлагается исключить следующие параграфы: “Построение сечений призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем, чтобы систематизировать данный материал в конце этой темы “Многогранники”. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа “от простого к сложному” можно весьма условно следующим образом:

  1. Определение сечения многогранников.
  2. Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. (Как правило в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, учитель может оставить для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение. В задачах на построение основными методами требуется построить плоскость сечения, проходящую через три точки).
  3. Нахождение площади сечений в многогранниках (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
  4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных занятий по теме “Построение сечений многогранников”)

Тема урока: “Построение сечений многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами построений сечений многогранников.

Видео:Сечение, параллельное заданной прямойСкачать

Сечение, параллельное заданной прямой

Построение сечений

Определение

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве”.

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.

3. Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.

4. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

5. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ) .

6. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

7. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ) .

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Важные теоремы

1. Если прямая (a) , не лежащая в плоскости (pi) , параллельна некоторой прямой (p) , лежащей в плоскости (pi) , то она параллельна данной плоскости.

Сечение через точку параллельно двум прямым

2. Пусть прямая (p) параллельна плоскости (mu) . Если плоскость (pi) проходит через прямую (p) и пересекает плоскость (mu) , то линия пересечения плоскостей (pi) и (mu) — прямая (m) — параллельна прямой (p) .

Сечение через точку параллельно двум прямым

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

4. Если две параллельные плоскости (alpha) и (beta) пересечены третьей плоскостью (gamma) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

[alphaparallel beta, alphacap gamma=a, betacapgamma=b Longrightarrow aparallel b]
Сечение через точку параллельно двум прямым

5. Пусть прямая (l) лежит в плоскости (lambda) . Если прямая (s) пересекает плоскость (lambda) в точке (S) , не лежащей на прямой (l) , то прямые (l) и (s) скрещиваются.

Сечение через точку параллельно двум прямым

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть (AH) – перпендикуляр к плоскости (beta) . Пусть (AB, BH) – наклонная и ее проекция на плоскость (beta) . Тогда прямая (x) в плоскости (beta) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

Сечение через точку параллельно двум прямым

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

Сечение через точку параллельно двум прямым

Для этого из двух произвольных точек (A) и (B) прямой (a) проведем перпендикуляры на плоскость (mu) – (AA’) и (BB’) (точки (A’, B’) называются проекциями точек (A,B) на плоскость). Тогда прямая (A’B’) – проекция прямой (a) на плоскость (mu) . Точка (M=acap A’B’) и есть точка пересечения прямой (a) и плоскости (mu) .

Причем заметим, что все точки (A, B, A’, B’, M) лежат в одной плоскости.

Пример 1.

Дан куб (ABCDA’B’C’D’) . (A’P=dfrac 14AA’, KC=dfrac15 CC’) . Найдите точку пересечения прямой (PK) и плоскости (ABC) .

Решение

1) Т.к. ребра куба (AA’, CC’) перпендикулярны ((ABC)) , то точки (A) и (C) — проекции точек (P) и (K) . Тогда прямая (AC) – проекция прямой (PK) на плоскость (ABC) . Продлим отрезки (PK) и (AC) за точки (K) и (C) соответственно и получим точку пересечения прямых – точку (E) .

Сечение через точку параллельно двум прямым

2) Найдем отношение (AC:EC) . (triangle PAEsim triangle KCE) по двум углам ( (angle A=angle C=90^circ, angle E) – общий), значит, [dfrac=dfrac]

Если обозначить ребро куба за (a) , то (PA=dfrac34a, KC=dfrac15a, AC=asqrt2) . Тогда:

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида (DABC) с основанием (ABC) , высота которой равна стороне основания. Пусть точка (M) делит боковое ребро пирамиды в отношении (1:4) , считая от вершины пирамиды, а (N) – высоту пирамиды в отношении (1:2) , считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой (MN) с плоскостью (ABC) .

Решение

1) Пусть (DM:MA=1:4, DN:NO=1:2) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку (O) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой (MN) на плоскость (ABC) . Т.к. (DOperp (ABC)) , то и (NOperp (ABC)) . Значит, (O) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр (MQ) из точки (M) на плоскость (ABC) . Точка (Q) будет лежать на медиане (AK) .
Действительно, т.к. (MQ) и (NO) перпендикулярны ((ABC)) , то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки (M, N, O) лежат в одной плоскости (ADK) , то и точка (Q) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка (Q) должна лежать в плоскости (ABC) , следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – (AK) .

Сечение через точку параллельно двум прямым

Значит, прямая (AK) и есть проекция прямой (MN) на плоскость (ABC) . (L) – точка пересечения этих прямых.

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки (L) (например, на нашем чертеже точка (L) лежит вне отрезка (OK) , хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим (AB=DO=a) . Тогда медиана (AK=dfrac2a) . Значит, (OK=dfrac13AK=dfrac 1a) . Найдем длину отрезка (OL) (тогда мы сможем понять, внутри или вне отрезка (OK) находится точка (L) : если (OL>OK) – то вне, иначе – внутри).

а) (triangle AMQsim triangle ADO) по двум углам ( (angle Q=angle O=90^circ, angle A) – общий). Значит,

[dfrac=dfrac=dfrac=dfrac 45 Rightarrow MQ=dfrac 45a, AQ=dfrac 45cdot dfrac 1a]

Значит, (QK=dfrac2a-dfrac 45cdot dfrac 1a=dfrac7a) .

б) Обозначим (KL=x) .
(triangle LMQsim triangle LNO) по двум углам ( (angle Q=angle O=90^circ, angle L) – общий). Значит,

Следовательно, (OL>OK) , значит, точка (L) действительно лежит вне отрезка (AK) .

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что (x) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки (L) (то есть, что она находится внутри отрезка (AK) ).

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида (SABCD) . Найдите сечение пирамиды плоскостью (alpha) , проходящей через точку (C) и середину ребра (SA) и параллельной прямой (BD) .

Решение

1) Обозначим середину ребра (SA) за (M) . Т.к. пирамида правильная, то высота (SH) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость (SAC) . Отрезки (CM) и (SH) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке (O) .

Сечение через точку параллельно двум прямым

Для того, чтобы плоскость (alpha) была параллельна прямой (BD) , она должна содержать некоторую прямую, параллельную (BD) . Точка (O) находится вместе с прямой (BD) в одной плоскости – в плоскости (BSD) . Проведем в этой плоскости через точку (O) прямую (KPparallel BD) ( (Kin SB, Pin SD) ). Тогда, соединив точки (C, P, M, K) , получим сечение пирамиды плоскостью (alpha) .

2) Найдем отношение, в котором делят точки (K) и (P) ребра (SB) и (SD) . Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

Заметим, что так как (KPparallel BD) , то по теореме Фалеса (dfrac=dfrac) . Но (SB=SD) , значит и (SK=SP) . Таким образом, можно найти только (SP:PD) .

Рассмотрим (triangle ASC) . (CM, SH) – медианы в этом треугольнике, следовательно, точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины, то есть (SO:OH=2:1) .

Сечение через точку параллельно двум прямым

Теперь по теореме Фалеса из (triangle BSD) : (dfrac=dfrac=dfrac21) .

3) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах (COperp BD) как наклонная ( (OH) – перпендикуляр на плоскость (ABC) , (CHperp BD) – проекция). Значит, (COperp KP) . Таким образом, сечением является четырехугольник (CPMK) , диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Пример 4

Дана прямоугольная пирамида (DABC) с ребром (DB) , перпендикулярным плоскости (ABC) . В основании лежит прямоугольный треугольник с (angle B=90^circ) , причем (AB=DB=CB) . Проведите через прямую (AB) плоскость, перпендикулярную грани (DAC) , и найдите сечение пирамиды этой плоскостью.

Решение

1) Плоскость (alpha) будет перпендикулярна грани (DAC) , если она будет содержать прямую, перпендикулярную (DAC) . Проведем из точки (B) перпендикуляр на плоскость (DAC) — (BH) , (Hin DAC) .

Проведем вспомогательные (BK) – медиану в (triangle ABC) и (DK) – медиану в (triangle DAC) .
Т.к. (AB=BC) , то (triangle ABC) – равнобедренный, значит, (BK) – высота, то есть (BKperp AC) .
Т.к. (AB=DB=CB) и (angle ABD=angle CBD=90^circ) , то (triangle ABD=triangle CBD) , следовательно, (AD=CD) , следовательно, (triangle DAC) – тоже равнобедренный и (DKperp AC) .

Применим теорему о трех перпендикулярах: (BH) – перпендикуляр на (DAC) ; наклонная (BKperp AC) , значит и проекция (HKperp AC) . Но мы уже определили, что (DKperp AC) . Таким образом, точка (H) лежит на отрезке (DK) .

Сечение через точку параллельно двум прямым

Соединив точки (A) и (H) , получим отрезок (AN) , по которому плоскость (alpha) пересекается с гранью (DAC) . Тогда (triangle ABN) – искомое сечение пирамиды плоскостью (alpha) .

2) Определим точное положение точки (N) на ребре (DC) .

Обозначим (AB=CB=DB=x) . Тогда (BK) , как медиана, опущенная из вершины прямого угла в (triangle ABC) , равна (frac12 AC) , следовательно, (BK=frac12 cdot sqrt2 x) .

Рассмотрим (triangle BKD) . Найдем отношение (DH:HK) .

Сечение через точку параллельно двум прямым

Заметим, что т.к. (BHperp (DAC)) , то (BH) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, (BH) – высота в (triangle DBK) . Тогда (triangle DBHsim triangle DBK) , следовательно

[dfrac=dfrac Rightarrow DH=dfrac3x Rightarrow HK=dfrac6x Rightarrow DH:HK=2:1]

Сечение через точку параллельно двум прямым

Рассмотрим теперь (triangle ADC) . Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины. Значит, (H) – точка пересечения медиан в (triangle ADC) (т.к. (DK) – медиана). То есть (AN) – тоже медиана, значит, (DN=NC) .

💡 Видео

Построение сечения параллельно прямойСкачать

Построение сечения параллельно прямой

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сечений

Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Как строить сечения параллелепипеда

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1

Как строить сеченияСкачать

Как строить сечения

Построение сечений. Метод параллельных прямыхСкачать

Построение сечений. Метод параллельных прямых

Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Построение прямой, параллельной данной

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Как строить сечения тетраэдра и пирамиды

🔥Как строить сечения куба, параллелепипеда через заданные точки?Скачать

🔥Как строить сечения куба, параллелепипеда через заданные точки?

№2. Строим сечения призм — простое свойство!Скачать

№2. Строим сечения призм — простое свойство!

№3. Как строить сечения пирамидСкачать

№3. Как строить сечения пирамид

Как строить сечение куба? Стереометрия. 10-11 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Как строить сечение куба? Стереометрия. 10-11 класс | Математика | TutorOnline

Построение сечения параллелепипеда через три точкиСкачать

Построение сечения параллелепипеда через три точки

Как строить сечения в стереометрии? Задача 13Скачать

Как строить сечения в стереометрии? Задача 13

Построение сечений Занятие 1Скачать

Построение сечений Занятие 1

Провести сечение через две точки на гранях параллельно ребру призмыСкачать

Провести сечение через две точки на гранях параллельно ребру призмы
Поделиться или сохранить к себе: