Как найти средний вектор пойнтинга

Перенос энергии бегущей упругой и электромагнитной волной определяют при помощи вектора, который называют вектором потока энергии. Этот вектор обозначим как $overline $(встречается обозначение $overline

$) Он показывает количество энергии, протекающее в волне за единицу времени через единицу площади поперечного сечения волны. Для электромагнитных волн данный вектор был введен Пойнтингом в 1884 г. Скорость переноса энергии при помощи вектора Пойнтинга не изменяется и равна характеристической скорости распространения электромагнитной волны в пространстве. Сейчас данный вектор ($overline$) называют вектором Умова — Пойнтинга.

Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 2Скачать

Определение

Вектором Умова — Пойнтинга ($overline$) называют физическую величину, определяющую поток энергии электромагнитного поля, который равен:

где $overline$ — напряженность электрического поля; $overline$ — напряженность магнитного поля. Направлен $overline$ перпендикулярно $overline$ и $overline$ и совпадает с направлением распространения электромагнитной волны.

Видео:5 Вектор ПойтингаСкачать

Величина вектора Умова — Пойнтинга

Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова — Пойнтинга для электромагнитной волны равна:

где $alpha $ — угол между векторами $overline$ и $overline$, но $overlinebot $ $overline$, следовательно, получаем для электромагнитной волны:

Вектор $overline $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:

где $w$ — объемная плотность энергии электромагнитного поля.

Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 1Скачать

Вектор Умова — Пойнтинга плоской электромагнитной волны

В случае плоской электромагнитной волны величина вектора $overline$ равна:

где $u$ $=frac<sqrt<_0mu varepsilon _0>>$- фазовая скорость распространения электромагнитного возмущения в веществе с диэлектрической проницаемостью $varepsilon $ и магнитной проницаемостью $mu .$

где $c$ — скорость света в вакууме.

Мгновенные величины напряженности магнитного и электрического полей в рассматриваемой волне связаны соотношением:

выразим напряженность $H$:

Учитывая формулу (8) величину вектора $overline$ запишем как:

В изотропном веществе объемную плотность энергии электромагнитного поля найдем как:

Учитывая формулы (6) и (10) запишем еще одно выражение для величины вектора $overline$:

На практике переходят от мгновенных величин к их средним значениям. Для плоской электромагнитной волны средняя величина по времени вектора Умова — Пойнтинга равна:

Модуль величины $left|_tright|$ называют интенсивностью ($I$) электромагнитной волны:

Направление вектора Умова — Пойнтинга показывает направление движения энергии в электромагнитном поле. Если изобразить линии, касательные к которым в любой точке совпадут с направлениями вектора $overline$, то такие линии будут являться путями распространения энергии электромагнитного поля. В оптике это лучи.

Видео:Вектор Умова-Пойнтинга ● 3Скачать

Примеры задач с решением

Задание. На рис.1 изображен вектор фазовой скорости плоской электромагнитной волны. В какой плоскости расположены векторы $overline$ и $overline$ полей этой волны?

Решение. Основой решения нашей задачи будем считать определение вектора $overline$:

Вектор $overline$ является результатом векторного произведения векторов$overline$ и $overline$, он направлен в сторону распространения электромагнитной волны, следовательно, $overlineuparrow uparrow overline$, для рис.1 вектор Умова — Пойнтинга направлен по оси Z. Значит, векторы $overlineи overline$ лежат в плоскости XOY.

Ответ. XOY

Задание. Запишите модуль среднего вектора Умова — Пойнтинга электромагнитной волны: $overline=E_0 $Считайте, что волна распространяется в вакууме по оси X.

Решение. Модуль вектора Умова — Пойнтинга для электромагнитной волны:

где $E$ и $H$ — мгновенные значения электрического и магнитного полей. Мгновенное значение вектора Умова — Пойнтинга будет равно:

[S=EH=E_0H_0<^2 left(omega t-kxright)(2.2), >]

где $H_0$ — амплитуда колебаний напряженности магнитного поля.

Средняя величина $_t$ может быть найдена:

принимая во внимание, что $<leftlangle <^2 left(omega t-kxright) >rightrangle >_t=frac$, для вакуума имеем:

Видео:3.5 Комплексный вектор ПойнтингаСкачать

Вектор Умова-Пойнтинга

Вы будете перенаправлены на Автор24

Вектор потока электромагнитной энергии, определяемый как:

называют вектором Умова — Пойнтинга (вектором Пойнтинга). Понятие вектора как потока энергии в разных веществах было введено Н.А. Умовым, а математическое выражение (1) получено Пойнтингом.

В электромагнитной волне векторы $overrightarrow и overrightarrow$ перпендикулярны, следовательно, модуль вектора $overrightarrow

$ имеет выражение:

Направление вектора Умова — Пойнтинга перпендикулярно к векторам $overrightarrowи overrightarrow$, и со направленно с направлением распространения волны ($overrightarrow$).

Для плоской электромагнитной волны выражение для модуля вектора Умова — Пойнтинга имеет вид:

и между мгновенными значениями напряженности магнитного и электрического полей в электромагнитной волне существует соотношение:

Модуль вектора Умова — Пойнтинга можно выразить как:

В диэлектрике объемная плотность электромагнитного поля равна:

Следовательно, сравнивая равенства (6) и (7), имеем:

В уравнения (2) -(8) входят мгновенные значения величин. Векторы в световой волне совершают колебания с частотами около $^Гц$, следовательно, весьма затруднительно следить за изменением величин во времени. Поэтому обращаются к средним значениям, переходя от мгновенных величин. Если электромагнитная волна является плоской, то среднее значение по времени вектора Умова — Пойнтинга равно:

Вектор Умова — Пойнтинга связан с энергией, которую несет электромагнитная волна соотношением:

где $frac$ — энергия, проходящая через площадку $S$ в единицу времени, $P_n=Pcosalpha $ — проекция вектора $overrightarrow

$ на нормаль $overrightarrow$ к площадке $S$. Направление вектора Умова — Пойнтинга дает характеристику движения энергии в электромагнитном поле.

Готовые работы на аналогичную тему

Если представить линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлениями вектора $overrightarrow

$, то такие линии есть пути распространения энергии электромагнитного поля. В оптике подобные линии называют лучами.

Видео:Энергия течёт в пространстве а не в проводе Вектор Умова ПойтингаСкачать

Теорема Пойнтинга

Для теории электромагнитных полей формулировки законов сохранения энергии и импульса имеет весьма важное значение. Теорема Пойнтинга — один из видов формулировок закона сохранения энергии: Скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, которая вытекает за единицу времени через поверхность, ограничивающую тот же объем, равна полной работе, которую совершает поле над источниками внутри заданного объема, если взять ее со знаком минус.

Поясним данную формулировку. Выделим внутри некоторой среды объем $V$, который ограничивает поверхность $S$ (рис.1). Допустим, что полная энергия, которая заключена внутри объема, равна $W$. Тогда можно записать:

где $P_n$ — нормальная составляющая вектора Умова — Пойнтинга. Интегрирование в (4) производят по всей замкнутой поверхности $S$. Положительным считают направление внешней нормали $overrightarrow$, что означает поток вектора $overrightarrow

$ (выражение, которое стоит в формуле (4) в правой части) считают большим нуля, если линии потока энергии $overrightarrow

$ выводят наружу из объема.

При этом $-frac$- величина, на которую уменьшатся, полная энергия внутри объема $V$ за единицу времени. По закону сохранения энергии она должна быть равна энергии, которая выходит через поверхность $S$ за единицу времени наружу. Следовательно, энергия, покидающая объем $V$ через поверхность $S$, выражена потоком вектора Умова — Пойнтинга.

Задание: Напишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга, если энергию переносит волна, уравнение изменения вектора напряженности электрического поля которой задано как: $overrightarrow=10cosleft(omega t-kx+alpha right)overrightarrow(frac).$ Учесть, что амплитуда вектора напряженности магнитного поля имеет вид: $H_moverrightarrow$, частота волны $omega при ней varepsilon =2, mu approx 1 .$

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

Из условий видим, что колебания вектора напряженности электрического поля происходят по $оси Z$, колебания вектора напряженности магнитного поля по $оси X$, следовательно, вектор Умова — Пойнтинга колеблется по $оси Y$.

Модуль искомого вектора можно найти как:

Найдем амплитуду вектора $overrightarrow$, если знаем, что амплитудные значения в нашем случае связаны соотношением:

Выразим из (1.3) искомую амплитуду $H_m$, имеем:

При этом уравнение колебаний вектора напряженности запишем в виде:

Используя уравнения (1.1), (1.5) и уравнение колебаний вектора напряжённости электрического поля из условий задачи, запишем выражение для вектора Умова — Пойнтинга:

Ответ: $overrightarrow

=sqrt<frac<varepsilon _0><mu _0>>^2c^2left(omega t-kx+alpha right)overrightarrow.$

Задание: Плоский конденсатор, имеющий круглые обкладки заряжен постоянным током за время $t_0$ до напряжения $U$. Расстояние между пластинами конденсатора равно $d$. Запишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга для точек воображаемой цилиндрической поверхности радиуса $r$, которая находится между обкладками конденсатора. Считайте, что радиус пластин конденсатора много больше, чем радиус воображаемого цилиндра.

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

Переменное электрическое поле, возникающее в результате разрядки конденсатора, вызывает переменное магнитное поле. Запишем уравнение из системы Максвелла, учитывая, что между обкладками конденсатора токов проводимости нет:

и материальное уравнение:

Возьмем производную от $overrightarrow$ по времени:

Возьмём интеграл от $rotoverrightarrow$ по поверхности цилиндра радиуса $r$, применим теорему Стокса:

Приравняем правые части выражений (2.6), (2.7), согласно тому, что выполняется (2.5):

Найдем модуль вектора Умова — Пойнтинга согласно выражениям (2.1) и (2.8):

Задание: Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме по $оси X$. Чему равна средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени?

Решение:

сли мы имеем плоскую электромагнитную волну, то модули напряженности полей $overrightarrow $и $overrightarrow$ в произвольной точке $x$ могут быть выражены как:

где $k=frac$. Следовательно, мгновенное значение вектора $overrightarrow

$ можно записать в виде:

[P=E_0<H_0^2 left(omega t-kxright) >left(1.3right).]

По условию задачи волна распространяется в вакууме, следовательно, $varepsilon =1, mu =1 $, имеем следующее соотношение между амплитудами полей:

Кроме того, известно, что среднее значение $leftlangle ^2alpha rightrangle =frac,$ тогда используем (1.3), (1.4) получаем среднее значение вектора Умова — Пойнтинга ($leftlangle Prightrangle $) равно:

Ответ: Средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности за единицу времени (интенсивность волны), равна $leftlangle Prightrangle =sqrt<frac<_0><_0>>frac.$

Задание: Вычислите среднее значение вектора Умова — Пойнтинга в стоячей волне.

Решение:

Колебания электрического и магнитного полей можно представить в стоячей волне с использованием следующих гармонических законов:

где $_E, varphi_H$- запаздывание по фазе отраженной волны соответствующего поля, то есть:

здесь $theta ,vartheta $ — изменение фазы при отражении, они равны или $pi , $или 0. $l-$длина линии (если рассматривается свободная волна, то это расстояние от излучателя до поверхности отражения). Обозначим:

тогда колебания, исходя из (2.1) и (2.2) в точке $x$ можно записать как:

при этом очевидно, что $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Допустим, что $theta =pi $, тогда:

Исходя из (2.9) и (2.10), для вектора Умова — Пойнтинга получим:

Из формулы (2.11) следует, что колебания модуля вектора $overrightarrow

$ происходят с частотой $2omega $, при этом периодически изменяется знак. Следовательно, среднее значение вектора по времени равно $0$ ($leftlangle Prightrangle =0$).

Ответ: В стоячей волне течения энергии нет, $leftlangle Prightrangle =0$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 02 2022

Видео:Билет №38 "Поток энергии"Скачать

Теорема пойнтинга

В этом параграфе будут рассмотрено, как электромагнитное поле запасает и переносит энергию, в частности как энергия переносится электромагнитной волной. Перенос энергии электромагнитным полем был впервые изучен английским физиком Джоном Генри Пойнтингом (1852 — 1914).

А) Энергия, запасенная электростатическим и магнитостатическими полями.

Напомним, что в разделах курса физики, посвященных электростатике и магнитостатике, выводятся соотношения для объемной плотности энергии, запасенной электрическим и магнитным полями.

Объемная плотность энергии электростатического поля:

(Дж/м3 ) (Эрг/см3) (2.2.1)

Объемная плотность энергии магнитного поля:

(Дж/м3 ) (Эрг/см3) (2.2.2)

Очевидно, что полная энергия, запасенная электрическим и магнитным полями в объеме V0, определяется интегралами по объему:

(2.2.3)

(2.2.4)

Записанные выражения полезно сопоставить с выражениями для энергии, запасенной в конденсаторе с емкостью C и катушке с индуктивностью L, если к конденсатору приложена разность потенциалов U, А через катушку протекает ток I:

(2.2.5)

Б) Плотность потока энергии, переносимой электромагнитным полем полем.

При рассмотрении энергетических характеристик полей, меняющихся по гармоническому закону, нельзя использовать сразу комплексную форму записи, т. к. энергетические характеристики связаны с напряженностью полей нелинейной операцией , . Будем использовать уравнения Максвелла в исходной форме:

Умножим скалярно первое уравнение на , второе — на . Т. к. и , то:

Учтем, что и . Вычтем одно уравнение из другого. Получим:

. (2.2.6)

Используем векторное тождество:

(2.2.7)

. (2.2.8)

В результате проделанных преобразований мы получили новый вектор, образованный векторным произведением вектора напряженности электрического поля на вектор напряженности магнитного поля

Принято обозначать вектор Особым вектором:

(2.2.9)

Вектор называется Вектором Пойнтинга. Размерность вектора Пойнтинга в системе СИ: — (В/м).(А/м) = Вт/м2. В системе СГС —

Вектор Пойнтинга перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением переноса энергии электромагнитной волной. Модуль вектора Пойнтинга равен потоку энергии, переносимому электромагнитной волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока. Таким образом, выражение (2.2.8) представляет собой локальное уравнение баланса энергии, справедливое в данной точке пространства в данный момент времени.

Проинтегрируем (2.2.8) по объему V и используем теорему Гаусса-Остроградского (). Получим:

. (2.2.10)

Слагаемые в правой части (2.2.10) представляют собой:

– скорость изменения энергии, запасенной электрическим и магнитным полями в объеме V,

– энергия, которая выделяется (или поглощается) в объеме за единицу времени за счет протекания тока,

— поток энергии, переносимой электромагнитным полем за единицу времени через поверхность S.

Теперь мы можем сформулировать следующее определение:

Вектор Пойнтинга представляет собой Плотность потока энергии, переносимой электромагнитным полем.

В соответствии с формулами (2.2.3) и (2.2.4) соотношение (2.2.10) можно переписать так:

(2.2.11)

Выражение (2.2.11) — это математическая запись теоремы Пойнтинга — закона сохранения энергии для электромагнитного поля. Теорема Пойнтинга Формулируется следующим образом:

• Скорость изменения электромагнитной энергии, запасенной в объеме, равна сумме потока мощности через поверхность, ограничивающую этот объем, и мощности, поглощаемой или выделяемой протекающими в объеме токами.

Вектор Пойнтинга показывает, насколько внутренние процессы в объеме неуравновешенны: при Энергия вытекает из объема V, При Энергия поступает в объем V извне.

В) Теорема Пойнтинга в комплексной форме (баланс энергии при гармонических колебаниях).

Техника высоких частот использует быстрые гармонические колебания, поэтому мгновенные значения энергии практически неинтересны, нужны усредненные во времени энергетические характеристики.

Напомним из курса ТОЭ выражение для мощности в комплексной форме записи. Пусть ток и разность потенциалов имеют следующее физическое описание и представление:

, или

, или

Мощность, переносимая током при заданной разности потенциалов:

.

Первое слагаемое, содержащее , равно усредненному за период колебаний значению мощности:

Второе слагаемое — колеблющаяся с удвоенной частотой реактивная мощность :

Проведем усреднение гармонических колебаний U И I.

— Комплексная амплитуда гармонического колебания, «*»-знак комплексного сопряженная. Для векторных величин:

,

.

Тогда среднюю мощность можно записать как

.

Перейдем теперь к теореме Пойнтинга для гармонических колебаний.

Взяв уравнения Максвелла в комплексной форме, произведем над ними следующие операции:

1 . Произведем комплексное сопряжение над вторым уравнением.

2 . Умножим скалярно первое уравнение на , Второе на :

умножим на ,

умножим на .

3. Вычтем первое уравнение из второго:

(2.2.12)

4. Используя векторное тождество (2.2.7), проинтегрируем по объему V с учетом теоремы Гаусса и в результате получим:

(2.2.13)

Для полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону, вводится комплексный вектор Пойнтинга

(2.2.14)

Среднее значение комплексного вектора Пойнтинга

(2.2.15)

Соотношение (2.2.13) представляет собой теорему Пойнтинга в комплексной форме.

Чтобы понять физический смысл теоремы Пойнтинга в комплексной форме, разделим вещественные и мнимые части выражения (2.2.13). Учтем, что , . Тогда из (2.2.13) получим:

(2.2.16)

(2.2.17)

Выражение (2.2.16) есть уравнение среднего баланса энергии при гармонических колебаниях. Левая часть уравнения дает средний поток активной мощности через поверхность S, Ограничивающую рассматриваемый объем V. Первый член в правой части равен средней мощности потерь в объеме V, обусловленной потерями проводимости, потерями переполяризации диэлектрика или потерями перемагничивания . В частности, если потери обусловлены только проводимостью среды, то , и

Первый член в правой части (2.3.16) приобретает привычный вид

Второе слагаемое правой части уравнения (2.2.16) характеризует среднюю мощность источников, если они имеются в объеме. В частности, если потери в среде, заполняющей объем, отсутствуют, т. е. И , То вся мощность источников идет на излучение через поверхность объема:

Если объем заполнен средой с потерями, а источники внутри объема отсутствуют, то активная мощность, рассеиваемая в объеме, поступает в объем через его поверхность:

Из приведенного рассмотрения выражения (2.2.16) следует, что среднее значение комплексного вектора Пойнтинга (1.3.13) характеризует плотность потока активной мощности. По аналогии с теорией электрических цепей величины, входящие в выражение (2.2.17), называют реактивным потоком мощности и реактивными мощностями.

Г) Вектор Пойнтинга волны в свободном пространстве.

На рис. 2.2.1 показана схема образования сферической волны, излученной диполем, расположенным в начале сферической системы координат. Ограничимся рассмотрением выделенной области, в пределах которой волну можно считать плоской.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, вектор которой в декартовой системе координат имеет только одну составляющую:

(2.2.18)

Чтобы найти напряженность магнитного поля , используем уравнение Максвелла:

Подставив в это уравнение

,

Рис.2.2.1. Сферическая волна, излучаемая диполем. Выделен квадрат, в пределах которого волну можно считать плоской.

Воспользовавшись выражением для волнового вектора , получим

. (2.2.19)

Отношение напряженностей электрического и магнитного полей плоской волны имеет размерность сопротивления, обозначается буквой И называется Волновым сопротивлением свободного пространства.

. (2.2.20)

— очень важная величина в электродинамике.

(Ом) = 377 (Ом).

Итак, для плоской волны в свободном пространстве

(2.2.21)

(2.2.22)

Таким значениям векторов и соответствует вектор Пойнтинга:

(2.2.23)

По направлению вектор Пойнтинга совпадает с направлением волнового вектора . На рис.2.2.2 показана взаимная ориентация векторов .

Рис.2.2.2. Взаимная ориентация векторов напряженностей электрического и магнитного полей, вектора Пойнтинга и волнового вектора для плоской волны в свободном пространстве.

В качестве примера оценим, какова максимально возможная плотность мощности электромагнитной волны в сухом воздухе при атмосферном давлении. Пробивная напряженность воздуха при этих условиях В/м.

Вт/м2 = 1,2 МВт/см2 .

Еще одна оценка величин. Поток мощности света от Солнца, находящегося в зените составляет 1,5 кВт/м2. Эта величина соответствует амплитуде напряженности электрического поля световой волны

В/м.

Распространение группы волн (волнового пакета) сопровождается переносом энергии. Группа волн распространяется с групповой скоростью vГр. Отсюда можно заключить, что перенос энергии электромагнитной волной происходит с групповой скоростью. В свободном пространстве (вакууме) групповая скорость равна скорости света.

Перенос энергии электромагнитной волной означает и перенос механического импульса. При любом отражении волна передает отражателю импульс. Передача импульса образует давление волны на предмет, от которого она отражается. Русский физик Петр Николаевич Лебедев (1855 — 1912 г. г.) в 1899 г. экспериментально обнаружил и измерил давление света. Эксперименты П. Н. Лебедева были важнейшим подтверждением правильности теории Дж. К. Максвелла.

🎥 Видео

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

2 37 Нахождение орта вектораСкачать

Пожалуй, главное заблуждение об электричестве [Veritasium]Скачать

Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня МатеманяСкачать

Единичный векторСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать