Начертить квадрат вписанный в окружность и описанный около окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
   

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
   

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:
   

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Видео:Как построить квадрат, два способаСкачать

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Построение правильного квадрата.Скачать

Свойства квадрата

• Длины всех сторон квадрата равны.
• Все углы квадрата прямые.
• Диагонали квадрата равны.
• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
• Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Видео:Как вписать квадрат в окружностьСкачать

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

.

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

.

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

(13)

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Видео:ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

Как начертить вписанный квадрат в окружность

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Квадрат вписанный в окружность

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Видео:Как построить шестиугольник вписанный в окружностьСкачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
   

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
   

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:
   

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия как искусство: 4 и 8 (часть третья)

Эта статья — продолжение цикла переводов, посвященных геометрии и тому, как она работает в искусстве. О том, чем рисовать и как читать схемы, можно прочитать в предыдущих частях (инструменты и базовые построения).

Прим.пер. — Если кому-то неинтересно возиться с карандашом и циркулем, в комментариях к оригиналу подсказывают, что с построениями можно попробовать поиграть в Adobe Illustrator. С точки зрения практической реализации я не советчик, но идея симпатичная. Дерзайте)

Сегодня разбираемся с геометрией чисел 4 и 8, то есть строим квадраты, октагоны, октаграммы и несколько узоров, на них основанных. Но для начала определимся с терминами:

• Слова, оканчивающиеся на –гон обозначают фигуру с количеством сторон n (выпуклый многоугольник). У октагона восемь сторон, у декагона – десять и так далее.
• Слова, оканчивающиеся на –грамма обозначают n-конечную звезду (звездчатый многоугольник). Октограмма – восьмиконечная звезда, гексаграмма – шестиконечная и так далее.

Если для каждого числа сторон существует единственный правильный выпуклый многоугольник, то звездчатых, наоборот, будет несколько, в зависимости от того, как соединяются точки. Чем больше лучей, тем больше вариантов. (прим. пер. – Вообще, кому интересно, на википедии написано чуть подробнее, и есть понятная картинка)

Еще два понятие, которые мы часто будем использовать для описания фигур – статическая и динамическая. Статическая лежит на своей стороне, динамическая – опирается на угол.

Эти определения довольно точно выражают чувства, которые вызывают эти фигуры. (Да, геометрия и чувства в одном предложении, вы не ослышались.)

При построении любой фигуры мы должны сперва решить, будет ли она статической или динамической, так как от этого будет зависеть выбор метода построения. И не только от этого: мы далеко не всегда начинаем с нуля, часто нужно вписаться в имеющиеся построения, начать с заданной точки, сегмента, окружности, соотношения. Каждая из этих ситуаций требует особого подхода.

Я не буду рассматривать все, потому что тысячи их, но покажу как минимум по паре для каждой фигуры, чтобы вы попробовали строить всякие штуки по-разному.

Видео:4K Как начертить квадрат циркулем по заданной стороне, how to draw a squareСкачать

Фигуры

Видео:2026 Найдите площадь квадрата описанного около окружности радиуса 14Скачать

Квадрат (лежащий на одной из сторон)

В соответствии с заголовком этот метод используется, когда одна из сторон квадрата задана или когда вам надо с чего-то начать (в этом случае до Шага 1 проведите сторону, на которой будете строить свой квадрат).

Шаг 1

С раскрывом циркуля на АВ проведите дугу с центром в А. Во всех дальнейших построениях раскрыв циркуля останется неизменным.

Шаг 2

Переместите иглу в точку В и проведите дугу, пересекающую первую в точке С.

Шаг 3

Переместите иглу в точку С и проведите дугу, также пересекающую первую (с центром в А) в точке D.

Шаг 4

Переместите иглу в D и проведите дугу, пересекающую проведенную в шаге 3 в точке E.

Шаг 5

Соедините Е и А, чтобы найти F. В это мы проделали для того, чтобы найти перпендикуляр к АВ через точку А.

Шаг 6

Последняя дуга: поместите иглу в точку F и проведите дугу, чтобы найти точку G. Эту дуга будет пересекать дугу с центром в В.

Шаг 7

Соедините G, Fи B, чтобы закончить построение квадрата.

Хотя описанный метод и полезен, я заметила, что традиционно в искусстве отдают предпочтение другому, тому, где построение начинается от заданной окружности. Возможно, это дань символизму, напоминание о Единице (символ которой – окружность), начале всех начал, а возможно, он просто более ясный.

Однако, совсем отказываться от предыдущего метода не стоит. Если все, что у вас есть, это древнющий ржавый циркуль, раскрыв которого раз и навсегда установил еще ваш прадедушка, то следующий метод вам не подойдет.

Динамичный квадрат (вписанный в окружность)

Наша отправная точка– окружность с одним проведенным диаметром. Начали вы с диаметра или с окружности – неважно.

Шаг 1

Постройте перпендикуляр к диаметру, делящий его пополам, как во второй части(ссылка). Начните с рисования двух пересекающихся дуг…

Шаг 2

… и соедините две точки пересечения. Перпендикуляр пересечет окружность в двух точках, и мы таким образом получим 4 определенные точки на окружности.

Шаг 3

Соедините 4 точки.

Статический квадрат (на основе вписанной окружности)

Шаги 1-2

Те же, что в прошлый раз: начинаем с круга с горизонтальным диаметром, ищем перпендикуляр так, чтобы окружность оказалась разделена на 4 части.

Шаг 3

Устанавливаем раскрыв циркуля равным радиусу и проводим две дуги с центрами в двух начальных точках. Точкой соприкосновения дуг окажется центр окружности.

Шаг 4

Повторяем то же для двух точек, полученных после построения перпендикуляра. Эти 4 дуги определяют 4 точки, лежащие вне окржности.

Шаг 5

Соедините 4 точки.

Теперь только два шага отделяют нас от того, чтобы получить две четырехконечные звезды.

Статическая и динамическая четырехконечные звезды

Шаг 6

Соедините 4 точки, лежащие на окружности с 4 углами статического квадрата, как показано на рисунке:

Шаг 7

Обведите нужную вам звезду.

Статические октагон и октаграмма (вписанные в квадрат)

Шаг 1

Начните с квадрата, проведите диагонали.

Шаг 2

Установите иглу в А и с раскрывом циркуля от А до центра квадрата найдите две точки на сторонах квадрата.

Шаги 3-5

Повторите шаг 2 для точек В, С и D.

Шаг 6

Для октагона: соедините восемь найденных точек.

Для октаграммы соедините точки как показан на рисунке. Получится, что вы соединяете точки через одну. Обратите, что классическая октаграмма образована при взаимном повороте двух квадратов.

Еще одну октаграмму можно получить, если пропускать точки через две.

Обратите внимание, что меньшая октаграмма точно вписывается в большую.

Динамичный октагон (вписанный в круг)

Шаги 1-4

Такие же, как при построении статического октагона. Остановитесь до момента, когда нужно соединять точки.

Шаг 5

Соедините внешние точки по диагонали. Диагонали пересекут окружность в новых 4 точках, то есть теперь она разбита на 8 частей.

Шаг 6

Для динамичного октагона соедините эти 8 точек.

Для динамичной октаграммы соедините точки через одну, как показано ниже, нарисовав два квадрата.

плитки из центрального Ирана, XIV век

Узоры

До настоящего момента мы строили только отдельные фигуры, теперь у нас достаточно знаний, чтобы начать складывать из этих фигур мозаичные узоры. Что еще нужно знать перед началом работы с мозаикой: только квадраты, а также равносторонние треугольники и шестиугольники складываются друг с другом, не оставляя между собой пустот.

Все прочие, включая октагоны, приведут к появлению промежутков различной формы. Это является недостатком, например, при выборе формы упаковки, поскольку при перевозке проявляется нерациональное использование пространства. В случае с искусством никакой это не недостаток: небольшие пространства работают в противовес крупным формам, позволяя создать контраст по цвету и размеру, или, наоборот, в слиянии получить новые необычные формы.

Но вернемся к нашему упражнению. С использованием восьмиугольных форм можно получить три различных простых узора на основе общей базовой структуры. Структура эта основана на четырех окружностях вокруг пятой, а, следовательно, образует сетку из квадратов, которая также носит название сетки пяти окружностей. Позвольте заметить, на случай если вам попадется термин, что структуры (сетки) на основе квадратов также носят название √2-сетки. Все эти термины значат, что мы работаем с числами 4 и 8 (и 12, и 16, и далее по мере прибавления 4).

При построении сетки невозможно переоценить важность очень точной работы, особенно теперь, когда от фигур мы переходим к узорам. Убедитесь, что карандаш как следует заточен и не спешите.

Сетка пяти окружностей

Шаг 1

Нарисуйте отрезок по горизонтали и окружность, центр которой лежит на этом отрезке, имея ввиду, что стороны квадратов в сетке равны диаметрам окружностей, и эта первая окружность будет центром сетки.

Шаг 2

Найдитеипостройтеперпендикуляр. Он должен быть как минимум равен отрезку, но может быть и длиннее.

Шаги 3 и 4

Следующий шаг – знакомые нам дуги, только в этот раз рисуйте полные окружности. В итоге у нас должна получиться основа основ: пять окружностей, которые дали сетке имя.

Шаг 5

Постройте еще 4 окружности с указанными на рисунке центрами…

Шаг 6

Шаг 7

И еще восемь с центрами, указанными на рисунке ниже. Обратите внимание, что центры новых окружностей окажутся в точках пересечения предыдущих. Таким образом структуру можно расширять до бесконечности, но мы пока добавим только еще один блок.

Шаг 8

Впишите стеку в квадрат, добавив окружности по углам.

Теперь у нас есть 25 окружностей, но большинство было нужно только чтобы построить сетку. Для начала работы над узором нам понадобится только 9 соприкасающихся окружностей, вписанные в соответствующие квадраты.

Шаг 9

Последний шаг в построении сетки – добавить диагонали. Углов у окружностей нет, но есть точки соприкосновения. Их и соединяем, сначала в одну сторону…

Добавляем недостающие соединением точек пересечения уже построенных диагоналей с окружностями по углам сетки.

Теперь перед нами сетка, которая ляжет в основу всех следующих построений. Можно еще построить квадрат, в который впишется сетка целиком, но это необязательно.

Узор из динамичных октагонов

Дополнительные построения не требуются: каждая окружность уже разделена на 8. Все, что от вас требуется, — соединить точки в каждой окружности.

Узорчатый пол в гробнице Итмад-Уд-Даулы, фото Дэвида Кастора (David Castor)

Дыхание милостивого

Это поэтическое название принадлежит узору, в котором октаграммы прилежат друг к другу, образуя крестообразные пустоты. Отправная точка снова сетка пяти окружностей.

Шаг 1

Динамичные квадраты уже есть – они образованы диагоналями. Добавляем горизонтальные стороны вторых квадратов…

Шаг 2

Шаг 3

Теперь обводим звезду, образованную наложением квадратов.

В том, что получилось, можно увидеть, откуда появилось название узора: октаграммы – “выдыхающие” квадраты (они расшираются), кресты – “вдыхающие” (они сжимаются).

Плитки из узора (развернутого на 45º), найденные в Иране, фотограф ean-Pierre Dalbéra.

Узор из статичных октагонов

Этот узор основан на статичных октагонах, которые мы уже научились строить немного раньше. Осталось только привязать наше умение к сетке. К счастью, нам нужно построить только самые удаленные от центра точки, все остальное сойдется само.

Шаг 1

Иглу циркуля устанавливаем в вершину внешнего квадрата и берем раскрыв, равный расстоянию от этой точки до центра ближайшей угловой окружности. Отмечаем на сторонах квадрата две точки.

Повторяем аналогичные построения для всех угловых окружностей и получаем еще 6 точек.

Продолжаем построения с иглой циркуля во внешних вершинах квадратов, образованных диагоналями.

Использование более мягкого карандаша позволит вам лучше понять, как новые линии ложатся на имеющуюся сетку: соедините им периферийные точки, которые вы только что наметили. Это новая сетка с новыми пересечениями.

Соедините эти пересечения, чтобы получить восьмиугольники, лежащие на одной стороне.

И напоследок: вот какой узор получится, если вы соедините лини, по которым октагоны накладываются друг на друга:

На сегодня все. Оперируя только числами 4 и 8 мы научились строить квадраты и октагоны, а также четырех- и восьмиконечные звезды, структуру на основе квадратов и 4 узора на основе этой структуры (а их можно придумать гораздо больше, чем 4).

В следующий раз все то же самое проделываем с числами 6 и 12.

Соответствие круга и квадрата в перспективе.

Анализируя различные положения квадрата и окружности относительно точки зрения и линии горизонта а также правила их изображения в перспективе легко обнаружить общие закономерности. Геометричес­кая связь этих фигур определяется тем, что вокруг любой окружности можно описать квадрат, а также в лю­бой квадрат можно вписать окружность.

Как вписать окружность в квадрат?

Рассмотрите рисунок 48. Квадрат и вписанная в него окружность имеют общий центр — точку пересече­ния диагоналей квадрата. Окружность касается сторон квадрата в точках 1,2,3,4.Точки касания делят стороны квадрата пополам. Для того чтобы изобразить вписанную в квадрат окружность (в перспективном рисунке — эл­липс) необходимо определить положение осей эллипса и найти точки, задающие его размеры (точки 1 — 4).

Горизонтальный квадрат.

Найдите точки касания на перспективном рисунке горизонтально расположенного квадрата (рис.49): для этого через точку пересечения диагоналей проведите прямые, параллельные сторонам квадрата и ухо­дящие с ними в одну точку схода.

Окружность, лежащая в горизонтальной плоскости, изображается в виде эллипса с вертикальной и го­ризонтальной осями. Проведите через точку пересечения диагоналей вертикальную линию — малую ось эллип­са. Большая ось эллипса перпендикулярна малой оси и проходит через точку, смещенную от пересечения ди­агоналей квадрата (центра окружности) ближе к зрителю (рис.50). Таким образом, мы получили две оси эл­липса и четыре точки, определяющие его габариты. Продолжите рисунок: сначала легкими движениями ка­рандаша наметьте эллипс, затем уточните линию, добиваясь того, чтобы она действительно касалась сторон квадрата в точках 1,2,3,4. Проверьте симметричность полученного эллипса относительно его осей (рис. 51).

перспективный рисунок простых геометрических тел

Вертикальный квадрат.

При вертикальном положении квадрата точки 1,2,3,4найдите, как и в предыдущем примере: прове­дите через точку пересечения диагоналей квадрата прямые, параллельные его сторонам (рис.52). Несколь­ко сложнее определить направление осей эллипса. Для решения этой задачи представьте, что изображаемый нами эллипс является основанием цилиндра, лежащего на горизонтальной плоскости (рис. 53). Ось цилиндра всегда перпендикулярна большой оси эллипса основания и совпадает с его малой осью. Проведите ось ци­линдра через точку пересечения диагоналей квадрата. Ее направление можно найти, опираясь на знание и опыт рисования куба, или взять с натуры, если таковая имеется. Таким образом, мы определили положение малой оси эллипса. А большая ось будет ей перпендикулярна и пройдет через точку, смещенную от пересе­чения диагоналей — центра окружности — ближе к зрителю (рис.54). На двух осях и по четырем точкам сна­чала наметьте эллипс легкими линиями, а затем уточните рисунок (рис.55).

Заметим, что эллипс, вписанный в квадрат, часто получается несимметричным относительно осей, а потому его приходится уточнять и, как следствие, изменять очертания квадрата. В этом случае работа идет как бы методом последовательных приближений и исправлений, что трудно и долго. Часто на рисунках остаются не вполне правильные квадраты и не вполне правильные эллипсы, а лишь фигу­ры, близкие к ним. Правильный эллипс нарисовать легче, чем построить правильный квадрат в перспекти­ве, поэтому задачу грамотного изображения квадрата современная методика рисования предлагает решать с помощью эллипса, вокруг которого описывается квадрат.