Как найти равные векторы в параллелепипеде abcda1b1c1d1

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Как найти равные векторы в параллелепипеде abcda1b1c1d1Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

  • а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1)=
430
212
-3-25
=20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16=-12.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]=
ijk
430
212
=6i — 8j — 2k,

Теперь найдём модуль этого вектора:

SABCD= |[AB AD]|=√(36+64+4)=2√(26).
[AD AA1]=
ijk
212
-3-25
=9i — 16jk,

SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.

  • в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h SABCD. С этой формулы видим:
    h=
    V
    SABCD
    =
    12
    2√(26)
    =
    6
    √(26)
    =
    3√(26)
    13
    .
  • г) Косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов
    cos(λ1)=
    (AB B1D)
    |AB| * |B1D|
    .

    Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
    B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
    Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
    |AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
    Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
    Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

    cos(λ1)=
    4
    5√(10)
    =
    2√(10)
    25
    .

    д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
    Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

    cos(λ2)=
    6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1)
    2√(26) * 13√(2)
    =
    46√(13)
    169
    .

    Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.

    Видео:№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

    №359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

    Правило параллелепипеда. Разложение вектора

    Вы будете перенаправлены на Автор24

    Видео:№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

    №330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1

    Правило параллелепипеда

    Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

    Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

    Как найти равные векторы в параллелепипеде abcda1b1c1d1

    Доказательство.

    Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

    Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

    Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

    Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

    №358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

    Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

    Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

    Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

    Произвольный вектор $overrightarrow

    $ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.

    Математически это можно записать следующим образом

    Доказательство.

    Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

    [overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow

    =overrightarrow]

    Рассмотрим следующий рисунок:

    Как найти равные векторы в параллелепипеде abcda1b1c1d1

    Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

    Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

    Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

    Так как векторы $overrightarrow

    $ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

    Так как векторы $overrightarrow

    $ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

    Тогда, получаем, что

    Существование разложения доказано.

    Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow

    $ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:

    Вычтем эти разложения друг из друга

    Из этого получаем

    Теорема доказана.

    Прямоугольный параллелепипед (продолжение)

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Как найти равные векторы в параллелепипеде abcda1b1c1d1

    Данный урок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Прямоугольный параллелепипед (продолжение)». На этом занятии мы продолжим изучать прямоугольный параллелепипед. Вначале повторим основные свойства этой геометрической фигуры, затем решим несколько задач с использованием этих свойств.

    🎬 Видео

    №327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, нСкачать

    №327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, н

    №355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарныСкачать

    №355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны

    10 класс, 44 урок, Правило параллелепипедаСкачать

    10 класс, 44 урок, Правило параллелепипеда

    Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

    Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)

    10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

    10 класс, 43 урок, Компланарные векторы

    Равенство векторов. 9 класс.Скачать

    Равенство векторов. 9 класс.

    №338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1Скачать

    №338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + OC1=OC+OA1

    №361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторыСкачать

    №361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторы

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    №329. Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипедаСкачать

    №329. Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда

    Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

    Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

    Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

    Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

    Геометрия. 10 класс. Коллинеарность и компланарность векторов /13.04.2021/Скачать

    Геометрия. 10 класс. Коллинеарность и компланарность векторов /13.04.2021/

    Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

    Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

    ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

    ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

    Угол между векторами. 9 класс.Скачать

    Угол между векторами. 9 класс.
  • Поделиться или сохранить к себе: