Как найти ранг системы векторов (4 видео)

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A_v А₂. А , необходимо:

1) составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений

2) привести эту систему к равносильной разрешенной системе вида

3) записать базис системы векторов Б = (А_рА₂, . А ), включив в него векторы, соответствующие разрешенным неизвестным;
4) записать разложения векторов по базису; коэффициентами разложения вектора А. по этому базису являются координаты соответствующего вектора

в разрешенной системе уравнений, т.е.

Система векторов, состоящая из п векторов, ранг которой равен г, может иметь несколько базисов. Число возможных базисов системы векторов определяется как число меньшее или равное числу сочетаний из п по г.

Пример 3.3. Найти ранг и базис системы векторов

разложения векторов по базису, перейти к новому базису и найти число возможных базисов системы.

Решение. Составим систему уравнений A _t ay + А₂х₂ + . + А„х_п = 0, которая в координатной записи имеет вид

Приведение данной системы уравнений с помощью преобразований Жордана к равносильной разрешенной приведено в ниже следующей таблице.

Разрешенная система имеет вид

В базис системы векторов включаем 1-й и 2-й векторы Б_: = (A_VA₂), которые соответствуют разрешенным неизвестным х₁ и х₂. Ранг системы векторов равен числу векторов, вошедших в базис, т.е. г = 2.

Запишем разложения векторов по базису. Коэффициентами разложения вектора А₃ являются координаты вектора А’₃ = (3, -2), т.е. коэффициенты при х₃ в разрешенной системе уравнений (в последних трех строках таблицы), они образуют столбец, расположенный под х₃ А₃ = ЗЛ₁ — 2А_г Аналогично, коэффициентами разложения вектора А₄ являются координаты вектора А’₄ = (4, 1) А₄ = 4А_у + 1 А_т

Для нахождения нового базиса необходимо выбрать новый разрешающий элемент. Пусть этим элементом будет элемент я₉₄ = 1.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Базис и ранг системы векторов

Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

1) часть является линейно независимой системой векторов;
2) каждый вектор системы разлагается по векторам части.

Диагональная система векторов является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части.

Если система уравнений

является разрешенной, то векторы-коэффициенты при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную часть системы векторов А_г, А₂, . А_п.

Векторы системы разлагаются по базису этой системы единственным образом.

Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен г, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из г векторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.

Построение базиса системы векторов А^, А₂, . А_п и разложений векторов по базису:

1. Рассмотреть систему уравнений А₁х₁+ А₂х₂ + . + А_пх_п = 0 и найти равносильную ей разрешенную систему уравнений

2. Найти диагональную часть системы векторов А, А’₂ , . А’_п.
3. Отметить векторы системы Ар А₂, . А_п, соответствующие диагональной части системы А, А’₂ , . А_п; они образуют базис системы -^•1,-^2» •••>
4. Разложить вектор Aj по диагональной части системы А’_г , А’₂ , . А_п ; вектор А,, 1

Разрешенная система уравнений, равносильная исходной, имеет вид

0 ’ А 4 = 1 ’ А 5 = 1

Разложим теперь векторы А₂ и А₃ по базису А_1г А₃, А₄. Для этого сначала разложим соответствующие векторы А₂ и А’₅ по диагональной системе А’₄ , А’₃ , А₄ , имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты:

Векторы А₂ и А₅ разлагаются по базису Ар А₃, А₄ с теми же коэффициентами, что и векторы А’₂ и А₃ по диагональной системе А₄ , А’₃ , А₄ :

Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

4.47. Найти базис системы векторов

содержащий вектор А₅, и все векторы, не входящие в этот базис, разложить по базису.

4.48. Найти базис системы векторов

содержащий векторы А₂ и А₃, и векторы, не входящие в этот базис, разложить по базису.

4.49. Найти два базиса системы векторов

единственными общими векторами которых служат А₂ и А₄.

Найти все базисы системы векторов:

4.53. Ai = (1, 0, 1, 0),

4.54. Доказать, что линейно зависимая система ненулевых векторов содержит два различных базиса.
4.55. Доказать, что система векторов, имеющая только один базис, линейно независима.
4.56. Вектор разлагается по остальным векторам системы A_lf А₂, . А_т, которая не содержит нулевых векторов. Доказать, что система A_lt А₂, . » А_т обладает базисом, который не содержит вектора Ар
4.57. Вектор А_г не разлагается по остальным векторам системы Ар А₂, . А_т, которая не содержит нулевых векторов. Доказать, что каждый базис системы векторов A_lf А₂, . А_тсодержит вектор Ар
4.58. Каждый вектор системы Ар А₂, . А_т разлагается по своей части В₁₉ В₂, . В_k. Доказать, что каждый базис системы векторов Вр В₂, является базисом системы Ар А₂, . А_т.
4.59. Найти какой-нибудь базис системы ненулевых векторов Ар А₂, А₃, А₄, если каждый вектор этой системы разлагается по предыдущим векторам.
4.60. Доказать, что если в системе Ар А₂, . А_т, А₁ Ф 0, вычеркнуть все векторы, которые разлагаются по предыдущим векторам, то получится базис системы Ар А₂, . А_т.
4.61. Каждая линейная комбинация векторов Вр В₂, . В_т, отличная от нулевого вектора, не разлагается по системе векторов Ар А₂, . »А_п. Доказать, что объединение базисов систем векторов Ар А₂, . А_п и Вр В₂, . В_т будет базисом объединенной системы Ар А₂, . А_п, Вр В₂, . В_т.
4.62. Найти все различные базисы системы ненулевых векторов Ар А₂, А₃, А₄, если каждый вектор этой системы разлагается по предыдущим векторам.
4.63. В системе векторов Ар А₂, А₃, А₄, А₅ ранга 3 векторы А₁ и А₃, а также А₂ и А₄ пропорциональны. Найти все базисы этой системы.

4.64. В системе А_1? А₂, А₃, А₄ ранга 3 вектор А₄ = 2А₁ — А₃. Найти все базисы этой системы векторов.
4.65. Система ненулевых векторов А₁,А₂, . A_k+1, содержащая два пропорциональных вектора, имеет ранг k. Сколько различных базисов содержит эта система?
4.66. Система векторов А_х — А₂, А₂ — А₃, А₃ — А₄, А₄ + Aj линейно независима и вектор В не разлагается по этой системе. Найти ранг системы векторов Ар А₂, А₃, А₄, В.
4.67. Доказать, что ранг системы А_г + В_±, А₂ + В₂, . А_п + В_п не превосходит ранга системы векторов Ар А₂, . А_п, Вр в₂. в_п.
4.68. Ранг системы векторов Ар А₂, . А_п равен г. Найти ранг системы векторов Ар А₂ — Ар . А_п — А_п _ j.
4.69. Пусть ранг системы векторов Ар А₂, . А_т равен k. Доказать, что каждая часть системы векторов Ар А₂, . А_т, содержащая более k векторов, линейно зависима.
4.70. Ранг некоторой части системы векторов равен рангу всей системы векторов. Доказать, что каждый базис этой части является базисом всей системы векторов.
4.71. Доказать, что ранг системы векторов Ар А₂, . Ар A_{fe +} p . А_т не превосходит суммы рангов ее частей Ар А₂, . А_йиА_й+р . А _то.
4.72. Пусть ранг системы векторов Ар А₂, . А_т равен г и вектор В не разлагается по системе Ар А₂, . А_т. Доказать, что ранг системы векторов Ар А₂, . А_т, В равен г -I- 1.
4.73. Каждый вектор системы A_lf А₂, . А_т ранга г разлагается по векторам системы ВрВ₂,В_п ранга r+ 1. Доказать, что в системе Вр В₂, . В_п найдется такой вектор, который не разлагается по системе Ар А₂, . А_т.
4.74. Векторы Вр В₂, . В_г образуют базис системы A_lfА₂, . А_т hAj — ненулевой вектор, не входящий в этот базис. Доказать, что в системе Вр В₂, . В_г найдется такой вектор B_z,

Видео:19. Ранг матрицы. Ранг системы векторовСкачать

86. Ранг системы векторов и ранг матрицы. Основная теорема о двух системах векторов

Теорема 1. Пусть даны две системы векторов A1, A2, . AK, и B1, B2, . BM, которые обладают свойствами:

1) первая система линейно независима;

2) каждый вектор первой системы линейная комбинация векторов второй системы.

Тогда k £ m, т. е. число векторов первой системы не больше числа векторов второй системы.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу векторов второй системы, т. е. по M.

Пусть M=1. Докажем, что K=1. Допустим противное, что K>1. Тогда по второму условию каждый вектор системы A1, A2, . AK линейно выражается через вектор B1, т. е. AI = aIBI ; I=1,2. K, где все числа aI ≠ 0 ; I=1,2. K. Действительно, в противно случае какой-нибудь вектор AI = 0 и по свойству система A1, A2, . AK линейно зависим, что противоречит условию. Тогда из первых двух равенств первой системы получаем, что

Отсюда вектора A1, A2 образуют линейно зависимую подсистему системы векторов A1, A2, . AK, что противоречит свойству. Установленное противоречие доказывает справедливость теоремы при M=1.

Предположим, что утверждение теоремы справедливо для любой системы второго вида, содержащей M — 1 вектор, и докажем его для системы содержащей M векторов. По второму условию имеем систему K равенств :