- Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
- Геометрия. 10 класс
- Параллельность прямых и плоскостей
- Параллельные прямые
- Признак параллельности прямых
- Параллельные прямая и плоскость
- Признак параллельности прямой и плоскости
- Свойство прямой, параллельной данной плоскости
- Параллельные плоскости
- Признаки параллельности плоскостей
- Свойства параллельных плоскостей
- 📽️ Видео
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости называются скрещивающимися. Прямая и плоскость в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.
, так как 
Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
= = 
Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.
Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.
.
Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.
Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Основание перпендикуляра — это его конец, лежащий в плоскости.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного от этой точки на плоскость.
Наклонная, проведенная из данной точки к данной плоскости, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, который лежит в плоскости, — это основание наклонной. Проекция наклонной — это отрезок, который соединяет основания перпендикуляра (точку С) и наклонной (точку А).
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.
Так как 
, то .
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Видео:Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые | МатематикаСкачать
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- признаки скрещивающихся прямых;
- определение углов с сонаправленными сторонами;
- доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
- доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.
Глоссарий по теме
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
- Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.
- Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
- Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.
Открытый электронный ресурс:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)
Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые
На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.
Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.
Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:
Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен
Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).
- Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
Теорема доказана.
Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD
Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:
|
|
|
