Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (9; 2), (1; 6), (0; 4).

Площадь четырехугольника равна разности площади прямоугольника и четырех прямоугольных треугольников. Поэтому

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Приведем другое решение.

Пусть А(8; 0), В(9; 2), С(1; 6), D(0; 4). Найдем стороны четырехугольника:

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Тогда площадь прямоугольника Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Задачи на координатной сетке

Видео:ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Задачи на координатной сетке

Площадь фигур на координатной сетке или плоскости можно решить несколькими способами:

1. Достроить фигуру до прямоугольника или квадрата.

2. Найти площадь прямоугольника.

3. Найти площади всех дополнительных фигур (чаще всего это прямоугольные треугольники или трапеции).

4. Из площади прямоугольника вычесть все площади дополнительных фигур.

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(0;5), (4;7), (7;0), (11;2)$.

1. Достроим параллелограмм до прямоугольника

2. Найдем длину и ширину прямоугольника:

Чтобы найти длину стороны, параллельную какой либо оси, надо из большей координаты отнять меньшую координату.

Длина стороны $EF= 11$, стороны $FK= 7$. Подставим в формулу площади данные и сделаем вычисления: $S_= 11·7=77$.

3. Найдем площади дополнительных (ненужных) фигур:

4. Из площади прямоугольника вычтем все площади дополнительных фигур и таким образом получим площадь искомого параллелограмма.

  • Второй способ

1. Если линии фигуры идут ровно по клеточкам и можно посчитать длины сторон, высот и т.д., то считаем клеточки и определяем величины.

2. Подставляем известные значения в формулу площади.

  • Третий способ.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:

$S=/+В-1$, где $Г$ — количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);

$В$ — количество узлов внутри фигуры.

Узел – это уголок клетки или пересечение линий

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 см × 1$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Отметим красными точками узлы на границе фигуры (Г), а желтыми – узлы внутри фигуры (В).

Подставим данные в формулу Пика: $S=/+6-1=3.5+6-1=8.5$

Площади некоторых фигур

Площадь треугольника:

  1. $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
  3. Для равностороннего треугольника $S=<a^√3>/$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников:

  1. Прямоугольник $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
  2. Ромб $S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
  3. Трапеция $S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
  4. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
  5. Параллелограмм $S=a·h_a$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.

Площадь круга:

$S=π·R^2$, где $π=3.14, R$ — радиус окружности.

Площадь сектора:

$S=<S_n°>/=/$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Площадь кольца:

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= — cos BOC$;

$ctg BOA= — ctg BOC$.

Углы в окружности.

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Найдите величину угла MPK. Ответ дайте в градусах.

Угол $МРК$ равен половине градусной меры дуги $МК$, так как он вписанный. Чтобы отыскать градусную меру дуги, посмотрим, на сколько таких дуг мы можем разделить всю окружность, потом $360°$ разделим на полученное количество.

Дуга $МК$ отсекается хордой, занимающей две клетки. Разделим такими хордами всю окружность, получилось $8$ дуг.

$360:8=45°$, составляет градусная мера дуги $МК$.

Прямые на координатной плоскости

Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.

Пусть точка $М$ – середина отрезка $ВА$. Чтобы найти абсциссу данной точки, надо найти среднее арифметическое абсцисс концов отрезка:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости имеет вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – это коэффициенты.

Уравнение можно задать с помощью формулы:

Точки пересечения прямой с осями координат:

Если прямая пересекает ось Ох, то в уравнении прямой координата $у = 0$, а если прямая пересекает ось Оу, то уравнении прямой координата $х = 0$.

Две прямые на координатной плоскости будут параллельны, если в уравнениях прямых будут равны коэффициенты k.

Если уравнение первой прямой: $y=k_x+b_1$;

Уравнение второй прямой: $y= k_x+b_2$, то при параллельности прямых, $k_1=k_2$.

Площади четырехугольников

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиФормулы для площадей четырехугольников
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиВывод формул для площадей четырехугольников
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

a и b – основания,
h – высота

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости,
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиS = ab
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
ПараллелограммКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
КвадратКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиS = a 2
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиS = 4r 2
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
РомбКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
ТрапецияКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиS = m h
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
ДельтоидКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиS = ab sin φ
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Произвольный выпуклый четырёхугольникКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Вписанный четырёхугольникКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – смежные стороны

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – основания,
h – высота

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости,
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Параллелограмм
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Квадрат
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиS = a 2

где
a – сторона квадрата

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиS = 4r 2

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Ромб
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Трапеция
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Дельтоид
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскостиКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Вписанный четырёхугольник
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
Прямоугольник
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – смежные стороны

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a – сторона квадрата

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – основания,
h – высота

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

ДельтоидКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Произвольный выпуклый четырёхугольникКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникКак найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости
(рис.6).

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Как найти площадь четырехугольника на координатной плоскости

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

🔥 Видео

Найти площадь четырехугольника!Скачать

Найти площадь четырехугольника!

Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.Скачать

Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь треугольника на координатной плоскостиСкачать

Площадь треугольника на координатной плоскости

Как найти площадь трапеции, заданной на координатной плоскостиСкачать

Как найти площадь трапеции, заданной  на координатной  плоскости

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольника

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольника

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. ЗадачиСкачать

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. Задачи

Геометрические головоломки. Найти площадь четырехугольника АВСДСкачать

Геометрические головоломки. Найти площадь четырехугольника АВСД
Поделиться или сохранить к себе: