 Основные определения и свойства. Число π |
| Формулы для площади круга и его частей |
| Формулы для длины окружности и ее дуг |
| Площадь круга |
| Длина окружности |
| Длина дуги |
| Площадь сектора |
| Площадь сегмента |
- Основные определения и свойства
- Формулы для площади круга и его частей
- Формулы для длины окружности и её дуг
- Площадь круга
- Длина окружности
- Длина дуги
- Площадь сектора
- Площадь сегмента
- Как найти площадь части окружности
- Площадь круга
- Сектор круга. Площадь сектора
- Сегмент. Площадь сегмента
- Сегмент круга
- Формулы вычисления параметров сегмента
Основные определения и свойства
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Дуга |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Круг |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сектор |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сегмент |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Правильный многоугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Площадь круга |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Площадь сектора |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Площадь сегмента |  |
| Площадь круга |
|
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Длина окружности |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Длина дуги |  |
| Длина окружности |
|
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Как найти площадь части окружности
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:
O — центр круга, OA — радиус круга.
Площадь круга
Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
где S — площадь круга, а r — радиус круга.
Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
| D = 2r, значит r = | D | . |
| 2 |
Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
| S = π( | D | ) 2 = π | D 2 | = π | D 2 | . |
| 2 | 2 2 | 4 |
Сектор круга. Площадь сектора
Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Формула площади сектора:
| S = | πr 2 | · n = | πr 2 n | , |
| 360 | 360 |
где S — площадь сектора. Выражение
| πr 2 n |
| 360 |
можно представить в виде произведения
| πr 2 n | = n · | πr | · | r | , |
| 360 | 180 | 2 |
| где | nπr | — это длина дуги сектора. |
| 180 |
Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:
| S = | sr | , |
| 2 |
где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.
Сегмент. Площадь сегмента
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:
Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.
Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:
| S = | r | (s — BC), |
| 2 |
где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги: