Как найти нормированный вектор ортогональный к векторам

Определение 1. Два вектора A и B из E Называются ортогональными, Если их скалярное произведение равно нулю.

Определение 2. Система ненулевых векторов B1, B2, . BM называется Ортогональной системой векторов, если различные векторы этой системы попарно ортогональны: BIBJ = 0 (I, J = 1, 2,…, M; I ≠ J).

Теорема 1. Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть A1, A2 , . AK — Ортогональная система ненулевых векторов из V. Доказывая линейную независимость системы A1, A2 , . AK допустим, что выполняется равенство:

Скалярно умножим обе части этого равенства на AI , I = 1, 2, . K, получим в силу свойств 1, 2

В силу ортогональности системы отсюда находим aI(AIAI) = 0 . Так как AI ≠ 0 и скалярное произведение невырожденное, то AIAI ≠ 0. Таким образом

AI = 0 для всех I = 1, 2, . K. Таким образом система векторов A1, A2 , . AK линейно независима. 

Теорема 2. Для любой линейно независимой системы векторов A1, A2, . AM существует ортогональная система векторов B1, B2, . BM таких, что каждый вектор BJ (J = 1, 2,…, M) линейная комбинация векторов BJ (J = 1, 2,…, J).

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по K. При K =1 вторая система состоит из одного вектора B1 ≠ 0 и поэтому ортогональна. Предположим, что теорема справедлива для K-1 векторов A1, A2 , . AK-1, т. е. и поэтим векторам найдена ортогональная система ненулевых векторов B1, B2 , . BK-1 с указанными выше свойствами. Докажем утверждение для K векторов. Для этого ищем вектор BK в виде:

Где значения коэффициентов b1 , b2 . , bK-1 находим из условия ортогональности BK векторам B1, B2 , . BK-1:

Которое можно записать в виде

Так как по предположению BJBI = 0 при всех I = 1, 2, . K —1, I ≠ J, то находим

При таком выборе коэффициентов aI вектор BK ортогонален векторам B1, B2 , . BK-1 и полученная ситема векторов B1, B2 , . BK ортогональна.

Отсюда следует, что система A1, A2 , . AK линейно зависима, а это противоречит условию.

Определение 3. Базис пространства En называется Ортогональным, если он образует ортогональную систему векторов.

Определение 4. Ортогональный базис E1, E2, . EN называется Ортонормированным, если все его векторы единичную длину.

Теорема 4. Любое N-мерное евклидово пространство обладает ортогональным базисом.

Теорема 5. Любое N-мерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Теорема 6. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений соответствующих координат

Определение 7. Вектор A евклидова пространства называется Нормированным, если его длина равна единице, т. е. |A| =1.

Определение 8. Ортогональный базис евклидова пространства En называется Ортонормированным, если все вектора базиса нормированные, т. е. базис Е1, E2, . еN ортонормированный, если выполняются условия:

Теорема 7. Любое конечномерное евклидово пространство Еn обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Скалярное произведение в евклидовом пространстве невырожденное. Поэтому по следствю теоремы 2 Еn Обладает ортогональным базисом B1, B2 , . BN . Тогда легко показать, что система векторов

Е1 = , E2 = , . еN =

— линейно независима. Она образует ортонормированный базис Еn. Действительно,

ЕI×EJ =,

ЕI×EI =,

Пример 1. Ортогонализовать систему векторов A1 = (1, 0, 0) , A2 = =(-1,1, 0), A3 = (4, -2, 2) (скалярное произведение определено в примере 1). Пусть B1 = (1, 0, 0).

И ищем V2 = (-1, 1, 0), V3 = (4, -2, 2) линейно независима и образует базис пространства R3

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Видео:Единичный векторСкачать

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = и b ¯ = записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = и b ¯ = условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Как найти нормированный вектор ортогональный к векторам

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Высшая математика

Если длина вектора равна единице, он называется нормированным вектором : (x , x ) = 1, |x| = 1.

Если все векторы системы векторов нормированы, то система векторов называется нормированной системой.

Если векторы системы векторов e ₁, e ₂, . e_n попарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированной системой: (e_i, e_j) = 0, если i ≠ j , (e_i, e_i) = 1.

📸 Видео

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. ТемаСкачать

Ортогональность. ТемаСкачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Проекция вектора на вектор.Скачать

§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора, перпендикулярного векторамСкачать

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать