Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε1(2;1;3), ε2(3;-2;1), ε3(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =
213
3-21
1-3-4

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1α2α3, что имеет место равенство:
X = &#9451ε1 + &#9452ε2 + &#9453ε3
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α1;1α1;3α1😉 + (3α2;-2α2;1α2😉 + (1α3;-3α3;-4α3😉
(7;0;7) = (2α1 + 3α2 + 1α3;1α1 -2α2 -3α3;3α1 + 1α2 -4α3)
По свойству равенства векторов имеем:
1 + 3α2 + 1α3 = 7
1 -2α2 -3α3 = 0
1 + 1α2 -4α3 = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X =
2
1
0

X = 2ε1 + ε2

В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

5.1.6. Примеры решения задач по теме «Линейные операторы и квадратичные формы»

Пусть Е1, Е2, Е3, Е4 – базис в векторном пространстве. Разложить вектор

Выпишите матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе. Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Выпишем матрицу перехода от старого базиса к новому, столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Строки этой матрицы являются коэффициентами в формулах преобразования старых координат через новые.

Координаты вектора Х в старом базисе: Х = (1; 2; -1; 3). Пусть в новом базисе он имеет координаты: X = (X, Y, Z, T). Тогда, используя матрицу Т, найдем связь между старыми и новыми координатами:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Следовательно, в новом базисе Х = (-1; 3; -4; 3).

Найти матрицу А’ оператора А:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому.

Искомая матрица А’ = T-1 A T, где Т – матрица перехода из старого базиса к новому. Составим матрицу Т :

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Ответ: Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Для определения собственных чисел составьте характеристическое уравнение:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Координаты собственных векторов RI = (Xi, Yi) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке LI.

Составим характеристическое уравнение:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найдем собственные векторы:

1) для L = -2 координаты собственного вектора R1 = (X1, Y1) должны удовлетворять системе уравнений, коэффициенты которых получены из элементов строк определителя, стоящего в левой части характеристического уравнения, при подстановке L = -2:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Если Х1 = 1, то У1 = -1, и R1= (1; -1). Остальные собственные векторы коллинеарны вектору (1; -1), и общий вид собственного вектора, соответствующего L = -2: R1 = С1(1; -1), где С1 – произвольная постоянная.

2) для L = 6 координаты собственного вектора R2 (X2; Y2) удовлетворяют системе:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Пусть Х2 = 3, тогда У2 = 5, и R2 = (3; 5). Соответственно общий вид второго собственного вектора: R2 = С2(3; 5).

Ответ: собственные числа L1 = -2, L2 = 6; собственные векторы R1 = С1(1; -1),

В пространстве 3-мерных векторов задан оператор

Где I – базисный вектор декартовой системы координат.

Выяснить геометрический смысл этого оператора.

Множитель Xi – скалярное произведение, то есть число, поэтому вектор (Xi)I коллинеарен оси Ох.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Оператор А переводит произвольно направленный вектор Х в вектор

KI, коллинеарный оси Ох, поскольку первый множитель – скалярное произведение, то есть число. Из определения скалярного произведения следует, что

Следовательно, А – оператор проектирования на ось Ох.

Оператор осуществляет проектирование вектора Х на ось Ох;

Привести матрицу А линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис, если

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы линейного оператора, задайте базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид, и составьте матрицу перехода к новому базису.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным числам.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Подставим в строки определителя L = 2 и найдем связь между координатами собственного вектора R2 = (X2, Y2, Z2):

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Та же зависимость получается для координат третьего собственного вектора R3 = (X3, Y3, Z3). Выберем значения двух координат каждого из этих векторов так, чтобы R2 и R3 были линейно независимы.

Пусть Х2 = 1, У2 = 0, тогда Z2 = -3, и R2 = (1; 0; -3).

Получен базис из линейно независимых собственных векторов R1, R2, R3 , в котором матрица оператора примет диагональный вид.

Составим матрицу перехода к новому базису:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найдем матрицу, обратную к Т:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Тогда в базисе из собственных векторов матрица оператора

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Ответ: в базисе (1; 1; 1), (1; 0; -3), (0; 1; 3) матрица оператора

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Линейный оператор А задан в некотором базисе матрицей

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найти собственные числа и собственные векторы оператора А-1 – оператора, обратного к А.

Собственные числа обратного оператора являются обратными к собственным числам данного оператора, а их собственные векторы одинаковы.

Характеристическое уравнение для А:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найдем матрицу обратного оператора:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Соответствующее характеристическое уравнение:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Составить матрицу квадратичной формы 3Х2 – 10Ху + 8У2 и найти ее собственные числа.

Матрица квадратичной формы А11Х2 + 2А12Ху + А22У2 является

Симметрической (Aij = Aji) и имеет вид:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

В нашей задаче А11 = 3, А12 = -5, А22 = 8. Следовательно,

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Составим характеристическое уравнение, корнями которого являются собственные числа:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Ответ: матрица квадратичной формы Как найти координаты y вектора y a x матрицы,

Собственные числа Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найти базис, в котором квадратичная форма 2Х2 + 4Ху + 5У2 будет иметь канонический вид, и указать этот вид.

Канонический вид квадратичной формы:

1) во-первых, не содержит произведения Ху;

2) во-вторых, коэффициенты при Х2 и У2 равны собственным числам матрицы квадратичной формы.

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, состоит из нормированных собственных векторов матрицы квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Собственные числа: L1 = 1, L2 = 6.

Для L1 = 1 координаты вектора R1 = <X1, Y1> определяются уравнением

Х1 + 2У1 = 0, Х1 = -2У1. Если У1 = 1, то Х1 = -2, и R1 = C. Найдем значение С из условия, что вектор R1 нормирован, то есть его длина равна 1:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Итак, базис имеет вид:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

И в этом базисе квадратичная форма примет вид: L1Х2 + L2У2, то есть Х2 + 6У2.

Ответ: в базисе Как найти координаты y вектора y a x матрицыквадратичная форма имеет канонический вид: Х2 + 6У2.

Указать преобразование координат, приводящее квадратичную форму

8Х2 – 12Ху + 17У2 к каноническому виду.

Матрица преобразования координат имеет вид:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы.

Найдем базис из нормированных собственных векторов.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты новых базисных векторов R1, R2 в старом базисе:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Строки этой матрицы определяют коэффициенты уравнений, выражающих старые координаты через новые:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Где Х, У – координаты в старом базисе, а Х’, Y’ – в новом.

Таким образом, найдено искомое преобразование.

Ответ: Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Привести к каноническому виду квадратичную форму 5Х2 – 12Ху.

Матрица преобразования координат имеет вид:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Где R1 = (X1, Y1) и R2 = (X2, Y2) – нормированные собственные векторы. В новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Матрица перехода к базису из собственных векторов:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Подставим найденные выражения в квадратичную форму:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как и следовало ожидать, в новом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, причем коэффициенты при Х2 и У2 совпадают с собственными числами матрицы квадратичной формы.

Найти преобразование координат, приводящее квадратичную форму

X2 + Y2 + 5Z2 – 6Xy + 2Xz – 2Yz к каноническому виду.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Матрица преобразования координат:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Для заданной квадратичной формы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Составим и решим характеристическое уравнение:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

(Мы не останавливаемся подробно на способах решения уравнений высших порядков. В данном случае, например, один из корней был найден перебором делителей свободного члена, а затем левая часть разложена на множители.)

Найдем нормированные собственные векторы:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Матрица перехода к новому базису:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Задает преобразование координат:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Заметим, что в новых координатах квадратичная форма примет вид:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Где коэффициенты являются собственными числами, стоящими в той же последовательности, что и соответствующие собственные векторы в матрице Т.

Ответ: Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Матрица линейного оператора примеры

Видео:Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор Как найти координаты y вектора y a x матрицы, найдём его образ, это будет вектор Как найти координаты y вектора y a x матрицы. Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем Как найти координаты y вектора y a x матрицы, Как найти координаты y вектора y a x матрицы,…, Как найти координаты y вектора y a x матрицы. Аналогично находим образы для Как найти координаты y вектора y a x матрицы,…, Как найти координаты y вектора y a x матрицы. Из координат образа вектора Как найти координаты y вектора y a x матрицысоставляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

Как найти координаты y вектора y a x матрицыТеперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

Как найти координаты y вектора y a x матрицыКак найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицыКак найти координаты y вектора y a x матрицы.

Аналогично для умножения на константу:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1 = 1, x2 = 0, а затем x1 = 0, x2 = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).

Матрица линейного оператора:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.

Если задана система Как найти координаты y вектора y a x матрицыиз n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов Как найти координаты y вектора y a x матрицы(возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть Как найти координаты y вектора y a x матрицы– матрица оператора в базисе Как найти координаты y вектора y a x матрицы. По условию, Как найти координаты y вектора y a x матрицыдля всех индексов Как найти координаты y вектора y a x матрицы. Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: Как найти координаты y вектора y a x матрицы, при этом столбцы матрицы Как найти координаты y вектора y a x матрицы– это векторы Как найти координаты y вектора y a x матрицы, а столбцы матрицы Как найти координаты y вектора y a x матрицы– векторы Как найти координаты y вектора y a x матрицы. Тогда матрица Как найти координаты y вектора y a x матрицыможет быть найдена в виде Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

Как найти координаты y вектора y a x матрицыв систему векторов Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Здесь Как найти координаты y вектора y a x матрицы, Как найти координаты y вектора y a x матрицы, Как найти координаты y вектора y a x матрицы, и получаем:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида Как найти координаты y вектора y a x матрицыи Как найти координаты y вектора y a x матрицы. Построим матрицу одного из этих операторов, Как найти координаты y вектора y a x матрицы. Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Аналогично, Как найти координаты y вектора y a x матрицы,

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора Как найти координаты y вектора y a x матрицы:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы Как найти координаты y вектора y a x матрицы, Как найти координаты y вектора y a x матрицы, Как найти координаты y вектора y a x матрицы,…, Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы, Как найти координаты y вектора y a x матрицы, Как найти координаты y вектора y a x матрицы, аналогично получим Как найти координаты y вектора y a x матрицы,…, Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Матрица этого линейного оператора:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 – Как найти координаты y вектора y a x матрицы| 7588 – Как найти координаты y вектора y a x матрицыили читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор Как найти координаты y вектора y a x матрицы, следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

связывающее вектор-прообраз Как найти координаты y вектора y a x матрицыс вектором-образом Как найти координаты y вектора y a x матрицы

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B – два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы

и обозначим через A, B и C – соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если Как найти координаты y вектора y a x матрицыКак найти координаты y вектора y a x матрицы. Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства Как найти координаты y вектора y a x матрицыон ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть Как найти координаты y вектора y a x матрицы

Видео:Матрица переходаСкачать

Матрица перехода

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида Как найти координаты y вектора y a x матрицы, сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы Как найти координаты y вектора y a x матрицыи Как найти координаты y вектора y a x матрицысоответственно. Пусть задано отображение

y=Ax,(1)

где Am×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы,(2)
Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов Как найти координаты y вектора y a x матрицыи Как найти координаты y вектора y a x матрицыв R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

Как найти координаты y вектора y a x матрицы(3)

является разложением x в по базису Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Применим оператор A к базисным векторам Как найти координаты y вектора y a x матрицы:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы(4)

где aij − координаты полученного вектора в базисе Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Как найти координаты y вектора y a x матрицыКак найти координаты y вектора y a x матрицы

Сделаем следующее обозначение:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе Как найти координаты y вектора y a x матрицыимеет координаты yi, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2. n с коэффициентами aij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами aij:

Как найти координаты y вектора y a x матрицы(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax.(9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах Как найти координаты y вектора y a x матрицыи Как найти координаты y вектора y a x матрицы.

Видео:Матрицы и векторыСкачать

Матрицы и векторы

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и Bmxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx= Ax+ Bx, x∈R,(10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:

Cej= Aej+ Bej=n(aij+bij) ej
j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица Как найти координаты y вектора y a x матрицы,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B.(11)

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx= A( Bx), x ∈ R.(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB.(13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax)(14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA.(15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

Видео:5 4 Координаты Преобразование координат при замене базисаСкачать

5 4  Координаты  Преобразование координат при замене базиса

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

Видео:Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.Скачать

Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

Видео:Как найти координаты вектора?Скачать

Как найти координаты вектора?

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

📹 Видео

Замена базиса. ТемаСкачать

Замена базиса. Тема

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Базис линейного пространства. Матрица переходаСкачать

Базис линейного пространства. Матрица перехода
Поделиться или сохранить к себе: