Как найти координаты центра вписанной окружности

Центр и радиус вписанной окружности в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

Центр и радиус вписанной окружности в треугольник через координаты его вершинКак найти координаты центра вписанной окружности

Известны координаты вершин треугольника и известный координаты точки. Нужно установить принадлежность точки треугольнику.
Существует несколько способов определения. лежит-ли точка внутри треугольника или снаружи:

1. Метод сравнения площадей — по формуле Герона находятся площади 3-х треугольников которые образует точка с каждой стороной треугольника, далее находится площадь самого треугольника и сравнивается с суммой 3ех предыдущих треугольников, если суммы равны то значит точка принадлежит треугольнику.

2. Метод относительности — выбирается ориентация движения по вершинам треугольника, например по часовой стрелке. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Если точка для всех прямых, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.

3. Метод геометрического луча — из точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении. Вычисляется количество пересечений со сторонами, если кол-во нечётное, то значит точка лежит внутри многоугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность в треугольнике

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Пример

В приведенном ниже примере, O является центров окружности.

Как найти координаты центра вписанной окружности

Метод расчета центра окружности вписанного в треугольник

Даны точки вершин треугольника A(5,7), B(6,6) и C(2,-2). Итак, нам известны координаты точек вершин треугольника x1,y1, x2,y2 и x3,y3.
Для нахождения точки центра вписанной окружности необходимо найти уравнение биссектрисы.

Шаг 1 :

Давайте рассчитаем средние точки всех сторон треугольника AB, BC и CA заданных координатами x и y

  • Средняя точка стороны = x1+x2/2, y1+y2/2
  • Средняя точка AB = 5+6/2, 7+6/2 = (11/2, 13/2)
  • Средняя точка BC = 6+2/2, 6-2/2 = (4, 2)
  • Средняя точка CA = 2+5/2, -2+7/2 = (7/2, 5/2)

Шаг 2 :

Далее, найдем углы сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Пожалуйста, обратите внимание, что угол обозначается буквой ‘m’.

  • Угол AB (m) = 6-7/6-5 = -1.
  • Угол BC (m) = -2-6/2-6 = 2.
  • Угол CA (m) = 7+2/5-2 = 3.

Шаг 3 :

Теперь, давайте вычислить угол биссектрисы сторон AB, BC и CA.

  • Угол биссектрисы = -1/угол линии (стороны).
  • Угол биссектрисы стороны AB = -1/-1 = 1
  • Угол биссектрисы стороны BC = -1/2
  • Угол биссектрисы стороны CA = -1/3

Шаг 4 :

После того, как мы находим угол перпендикулярных линий, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис с углом и серединой. Уравнение перпендикуляра АВ с серединами (11/2, 13/2) и углом 1.

Уравнение центра окружности y-y1 = m(x-x1)

Упростив, мы получим уравнение -x + y = 1

Кроме того, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис линий BE и CF.

Для BC с средней точкой (4,2) и углом -1/2 y-2 = -1/2(x-4)

Упростив, мы получим уравнение x + 2y = 8

Для CA с средней точкой (7/2,5/2) и углом -1/3 y-5/2 = -1/3(x-7/2)

Упростив, мы получим уравнение x + 3y = 11

Шаг 5 :

Найдем значения x и y решив любые 2 из указанных 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y равны (2,3) которые являются координатами центра (o) вписанной окружности в треугольник.

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

Найти центр и радиус окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как найти координаты центра вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как найти координаты центра вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как найти координаты центра вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как найти координаты центра вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как найти координаты центра вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как найти координаты центра вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как найти координаты центра вписанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как найти координаты центра вписанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как найти координаты центра вписанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как найти координаты центра вписанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как найти координаты центра вписанной окружности.

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак найти координаты центра вписанной окружности
Равнобедренный треугольникКак найти координаты центра вписанной окружности
Равносторонний треугольникКак найти координаты центра вписанной окружности
Прямоугольный треугольникКак найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти координаты центра вписанной окружности.

Как найти координаты центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти координаты центра вписанной окружности.

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Произвольный треугольник
Как найти координаты центра вписанной окружности
Равнобедренный треугольник
Как найти координаты центра вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Как найти координаты центра вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Как найти координаты центра вписанной окружности
Произвольный треугольник
Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти координаты центра вписанной окружности.

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как найти координаты центра вписанной окружности.

Равнобедренный треугольникКак найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Равносторонний треугольникКак найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как найти координаты центра вписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как найти координаты центра вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как найти координаты центра вписанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как найти координаты центра вписанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как найти координаты центра вписанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как найти координаты центра вписанной окружности

Как найти координаты центра вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎬 Видео

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Быстро и легко определяем центр любой окружностиСкачать

Быстро и легко определяем центр любой окружности

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике

№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2Скачать

№578. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х2+y2+z2 = 49; б) (x — 3)2

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Центр вписанной окружностиСкачать

Центр вписанной окружности

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математикаСкачать

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математика

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Как найти центр окружности с помощью циркуля и линейкиСкачать

Как найти центр окружности с помощью циркуля и линейки

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Координаты и радиус окружностиСкачать

Координаты и радиус окружности
Поделиться или сохранить к себе: