Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополамОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополамСвойства хорд и дуг окружности
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополамТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополамДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополамТеорема о бабочке

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
КругКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
РадиусКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
ХордаКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
ДиаметрКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
КасательнаяКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
СекущаяКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Окружность
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак доказать что центр окружности делит диаметр пополамДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак доказать что центр окружности делит диаметр пополамЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак доказать что центр окружности делит диаметр пополамБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак доказать что центр окружности делит диаметр пополамУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак доказать что центр окружности делит диаметр пополамДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Пересекающиеся хорды
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам
Пересекающиеся хорды
Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Тогда справедливо равенство

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательнаяСкачать

№634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная

Диаметр делит хорду пополам

Если диаметр делит хорду пополам, каково их взаимное расположение?

Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен этой хорде.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополамДано: окружность (O;R),

AB — диаметр, CD — хорда,

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополамСоединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности.

Так как OC=OD (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD.

Так как CP=PD, то OP — медиана треугольника COD, проведённая к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его высотой.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

§ 20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.

На рисунке 287 изображена окружность с центром O , M — точка пересечения диаметра CD и хорды AB , CD ⊥ AB . Надо доказать, что AM = MB .

Проведём радиусы OA и OB . В равнобедренном треугольнике AOB ( OA = OB ) отрезок OM — высота, а значит, и медиана, т. е. AM = MB . Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.

На рисунке 288 показаны все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. На рисунке 288, а они не имеют общих точек, на рисунке 288, б — имеют две общие точки, на рисунке 288, в — одну.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 288, в прямая a — касательная к кругу с центром в точке O , A — точка касания.

Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 289 изображён отрезок AB , который касается окружности в точке С .

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

На рисунке 290 изображена окружность с центром O , A — точка касания прямой a и окружности. Надо доказать, что OA ⊥ a .

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Предположим, что это не так, т. е. отрезок OA — наклонная к прямой a . Тогда из точки O опустим перпендикуляр OM на прямую a (рис. 291). Поскольку точка A — единственная общая точка прямой a и круга с центром O , то точка M не принадлежит этому кругу. Отсюда OM = MB + OB , где точка B — точка пересечения окружности и перпендикуляра OM . Отрезки OA и OB равны как радиусы окружности. Таким образом, OM > OA. Получили противоречие: перпендикуляр OM больше наклонной OA . Следовательно, OA ⊥ a . Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

(признак касательной к окружности)

Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке O , отрезок OA — её радиус, точка A принадлежит прямой a , OA ⊥ a . Докажем, что прямая a — касательная к окружности.

Пусть прямая a не является касательной, а имеет ещё одну общую точку B с окружностью (рис. 292). Тогда ∆ AOB — равнобедренный ( OA = OB как радиусы). Отсюда ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Получаем противоречие: в треугольнике AOB есть два прямых угла. Следовательно, прямая a является касательной к окружности. Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Докажите это следствие самостоятельно.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

Решение. На рисунке 293 изображена окружность с центром O . Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Надо доказать, что AB = AC .

Проведём радиусы OB и OC в точки касания. По свойству касательной OB ⊥ AB и OC ⊥ AC . В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC . Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

507. Начертите окружность с центром O , проведите хорду AB . Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.

508. Начертите окружность с центром O , проведите хорду CD . Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде CD .

509. Начертите окружность, отметьте на ней точки A и B . Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках A и B .

510. Проведите прямую a и отметьте на ней точку M . Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой a в точке M . Сколько таких окружностей можно провести?

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

511. На рисунке 294 точка O — центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB . Докажите, что ∠ AOD = ∠ BOD .

512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

514. Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?

515. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB — хорда окружности, ∠ BAD = 35° (рис. 295). Найдите ∠ AOB .

516. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB — хорда окружности, ∠ AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ∠ BAC .

517. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?

518. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°. Докажите, что:

1) прямая BC является касательной к окружности с центром A , проходящей через точку C ;

2) прямая AB не является касательной к окружности с центром C , проходящей через точку A .

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB , перпендикулярную ему. Докажите, что ∠ AOB = 120°.

521. Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB ; 2) радиуса окружности.

522. В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Найдите длину хорды CD .

523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB , A и B — точки касания, ∠ OAB = 20°. Найдите ∠ AMB .

524. Через концы хорды AB , равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C . Найдите ∠ ACB .

525. Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB — диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD . Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .

526. Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB .

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

527. Отрезки AB и BC — соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ ABC = 30°. Через точку A провели касательную к окружности, пересекающую прямую BC в точке D . Докажите, что ∆ ABD — равнобедренный.

528. Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD — также диаметр.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.

530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.

531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.

532. Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B , пересекаются в точке K , ∠ AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK .

533. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC .

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

534. Через точку C проведены касательные AC и BC к окружности, A и B — точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку M , лежащую в одной полуплоскости с точкой C относительно прямой AB , и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M .

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Упражнения для повторения

535. Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.

536. Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку M выбрали так, что треугольник AMB — равнобедренный с основанием AB . Докажите, что ∆ CMD также является равнобедренным с основанием CD .

537. На стороне MK треугольника MPK отметили точки E и F так, что точка E лежит между точками M и F , ME = EP , PF = FK . Найдите угол M , если ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BM , из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK , ∠ ABM = ∠ KMC . Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Как доказать что центр окружности делит диаметр пополам

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?

💡 Видео

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Геометрия Радиус ОС окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательнаяСкачать

Геометрия Радиус ОС окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Как найти центр круга в мастерской (4 способа)Скачать

Как найти центр круга в мастерской (4 способа)

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс
Поделиться или сохранить к себе: