Как найти единичный вектор по вектору

Единичный вектор

Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.

Как найти единичный вектор по вектору

i — единичный вектор оси абсцисс;

j — единичный вектор оси ординат;

k — единичный вектор оси аппликат.

ijk, i=j=k=1

В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:

i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)

Единичные векторы являются некомпланарными.

Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.

a=xij+zk

где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Единичный вектор определяется по формуле:

Как найти единичный вектор по вектору

Дан вектор а = (1; 2; -2)

Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а

Находим длину вектора a

затем вычисляем единичный вектор e

Содержание
  1. Векторное произведения единичных векторов
  2. Единичные векторы: характеристики, как получить, примеры
  3. Содержание:
  4. Модуль, направление и смысл
  5. Характеристики единичного вектора
  6. Единичные векторы в пространстве
  7. Как получить / рассчитать единичный вектор?
  8. Произвольный вектор через единичный вектор
  9. Графическое представление
  10. Примеры единичных векторов
  11. Перпендикулярные единичные векторы i, j и k
  12. Закон Кулона
  13. Упражнение решено
  14. Решение
  15. Ссылки
  16. Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения
  17. Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры
  18. Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением
  19. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
  20. Скалярное произведение векторов
  21. Векторное произведение векторов
  22. Смешанное произведение векторов
  23. Основные понятия векторной алгебры
  24. Прямоугольные декартовы координаты
  25. Координатная ось
  26. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости
  27. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
  28. Полярные координаты
  29. Определители 2-го и 3-го порядков
  30. Понятия связанного и свободного векторов
  31. Линейные операции над векторами
  32. Сложение векторов
  33. Умножение вектора на число
  34. Координаты и компоненты вектора
  35. Линейные операции над векторами в координатах
  36. Проекция вектора на ось
  37. Основные свойства проекций
  38. Скалярное произведение векторов
  39. Свойства скалярного произведения
  40. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
  41. Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы
  42. Векторное произведение векторов
  43. Свойства векторного произведения
  44. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  45. Смешанное произведение векторов
  46. Геометрический смысл смешанного произведения
  47. Смешанное произведение в координатах
  48. Двойное векторное произведение

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Орт вектора.  Нормировать вектор.  Найти единичный вектор

Векторное произведения единичных векторов

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.

Как найти единичный вектор по вектору

На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов

Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.

Как найти единичный вектор по вектору

Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).

iхj=k

Пример 2
Найти векторное произведение jхi.

Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Единичные векторы: характеристики, как получить, примеры

Видео:Единичный векторСкачать

Единичный вектор

Содержание:

В единичные векторы — это те, модуль, величина или размер которых равны числовому значению. Единичные векторы полезны для указания направления других неединичных векторов.

Помните, что векторы — это математические объекты, которые математически представляют физические величины, зависящие от направления, такие как сила, скорость, ускорение и другие.

Независимо от физической величины, с которой они связаны, единичные векторы лишены единиц измерения, и их размер всегда равен 1, чистому числу.

Например, скорость частицы, движущейся со скоростью 3 м / с в положительном направлении декартовой оси X, обозначается: v = (3 м / с) я, где жирным шрифтом обозначены векторные величины. В этом примере модуль v составляет 3 м / с, а модуль единичного вектора я равно 1 (без единиц).

Видео:Единичные векторы Декартовой системы координатСкачать

Единичные векторы Декартовой системы координат

Модуль, направление и смысл

Учитывая, насколько важно установить ориентацию этих величин для того, чтобы узнать их влияние, векторы имеют три важные характеристики: величину или модуль, связанный с размером вектора, направление и смысл. При представлении векторной величины необходимо четко указать эти аспекты.

Теперь единичный вектор может иметь любое направление и любое значение, но величина всегда должна быть равна 1.

Единичные векторы используются для обозначения конкретного направления в пространстве или на плоскости. Если, например, нам нужно работать со всеми силами, которые действуют вдоль горизонтальной оси, то единичный вектор в этом направлении помогает нам отличать эти силы от других, направленных в другом направлении.

А чтобы отличить их от неединичных векторов, в печатных буквах обычно используется жирный шрифт, а сверху ставится каретка, например:

Видео:2 37 Нахождение орта вектораСкачать

2 37 Нахождение орта вектора

Характеристики единичного вектора

Математически единичный вектор:

Итак, мы можем установить, что:

-Модуль единичного вектора всегда равен 1, не имеет значения, является ли это силой, скоростью или другим вектором.

-Унитарные векторы имеют определенное направление, а также смысл, например единичный вектор в вертикальном направлении, который может иметь смысл вверх или вниз.

-Единичные векторы имеют точку происхождения. Когда она представлена ​​декартовой системой координат, эта точка совпадает с началом системы: (0,0), если это плоскость, или (0,0,0), если вектор находится в трехмерном пространстве.

-Также с единичными векторами вы можете выполнять все операции сложения, вычитания и умножения векторов, которые выполняются с использованием обычных векторов. Следовательно, можно умножать единичный вектор на скаляр, а также выполнять точечное произведение и кросс-произведение.

-С помощью единичного вектора в определенном направлении могут быть выражены другие векторы, которые также ориентированы в этом направлении.

Видео:найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

Единичные векторы в пространстве

Чтобы выразить любой вектор в пространстве или на плоскости, можно использовать набор единичных векторов, перпендикулярных друг другу, которые образуют ортонормированный базис. Каждое из трех предпочтительных направлений пространства имеет собственный единичный вектор.

Вернемся к примеру сил, направленных по горизонтальной оси. Это ось абсцисс, которая имеет две возможности: вправо и влево. Предположим, у нас есть единичный вектор на оси x, направленный вправо, который мы можем обозначить любым из следующих способов:

Любой из них действителен. Теперь предположим, что сила F1 величиной 5 Н вдоль этой оси и направленной вправо такую ​​силу можно выразить как:

Если бы сила была направлена ​​вдоль оси x, но в противоположном направлении, то есть влево, то для установления этой разницы можно было бы использовать отрицательный знак.

Например, сила величиной 8 Н, расположенная по оси x и направленная влево, будет выглядеть так:

А для векторов, которые не направлены вдоль декартовых осей, также есть способ представить их в терминах ортогональных единичных векторов, используя их декартовы компоненты.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Как получить / рассчитать единичный вектор?

Чтобы вычислить единичный вектор в направлении любого произвольного вектора v, применяется следующая формула:

Это модуль или величина вектора v, квадрат которого рассчитывается так:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Произвольный вектор через единичный вектор

В качестве альтернативы вектор v можно выразить так:

То есть произведение его модуля и соответствующего единичного вектора. Именно это и было сделано ранее, когда говорилось о силе величиной 5 Н, направленной вдоль положительной оси x.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Графическое представление

Графически это видно на этом изображении, где вектор v он синего цвета, а соответствующий единичный вектор в его направлении — красным.

В этом примере вектор v его величина больше, чем у единичного вектора, но объяснение справедливо, даже если это не так. Другими словами, у нас могут быть векторы, которые, например, в 0,25 раза больше единичного вектора.

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

Примеры единичных векторов

Видео:Единичные векторы и инженерная запись (видео 34) | Криволинейное движение | ФизикаСкачать

Единичные векторы и инженерная запись (видео 34) | Криволинейное движение | Физика

Перпендикулярные единичные векторы i, j и k

Как мы видели ранее, перпендикулярные единичные векторы я, j Y k они очень полезны для представления любого другого вектора на плоскости или в пространстве, а также для выполнения векторных операций. В терминах этих векторов произвольный вектор v представлен как:

v = vИкся + vYj + vzk

Где VИкс, vY и Vz — прямоугольные компоненты вектора v, которые являются скалярами — жирным шрифтом они не выделяются в печатном тексте.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Закон Кулона

Единичные векторы часто появляются в физике. Вот, например, закон Кулона, который количественно описывает взаимодействие двух точечных электрических зарядов.

В нем говорится, что сила F Притяжение или отталкивание между указанными зарядами пропорционально их произведению, обратно пропорционально квадрату расстояния, которое их разделяет, и направлено в направлении единичного вектора, соединяющего заряды.

Этот вектор обычно представлен:

А закон Кулона в векторной форме выглядит так:

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Упражнение решено

Найдите единичный вектор в направлении вектора v = 5я + 4j -8kв условных единицах.

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Векторное произведение векторов | Высшая математика

Решение

Применяется определение единичного вектора, данное выше:

Но сначала мы должны вычислить модуль вектора, который, поскольку он состоит из трех компонентов, определяется:

|v| 2 = (5) 2 + (4) 2 + (-8) 2 = 25 + 16 + 64 = 105

Поэтому модуль v это:

Искать единичный вектор просто:

Что в конечном итоге приводит нас к следующему:

v = 0.488 я + 0.390 j – 0.781 k

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Ссылки

  1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
  2. Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли.
  3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
  4. Джамбаттиста, А. 2010. Физика. 2-й. Эд. Макгроу Хилл.
  5. Резник, Р. (1999). Физический. Том 1. 3-е изд. На испанском языке. Compañía Editor Continental S.A. de C.V.

История машин: от истоков до наших дней

Каковы жизненно важные функции живых существ?

Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом Как найти единичный вектор по вектору( Как найти единичный вектор по вектору— точка начала, Как найти единичный вектор по вектору— точка конца вектора), либо Как найти единичный вектор по вектору. В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

Как найти единичный вектор по вектору

2. Длиной (модулем) вектора Как найти единичный вектор по векторуназывается длина отрезка Как найти единичный вектор по вектору. Модуль вектора обозначается Как найти единичный вектор по вектору.

3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор Как найти единичный вектор по векторунаправления вектора Как найти единичный вектор по векторуназывается ортом вектора Как найти единичный вектор по векторуи определяется по формуле Как найти единичный вектор по вектору.

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают Как найти единичный вектор по вектору; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: Как найти единичный вектор по вектору. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по векторуявляется существование такого числа Как найти единичный вектор по вектору, что Как найти единичный вектор по вектору.

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор Как найти единичный вектор по векторуназывается противоположным вектору Как найти единичный вектор по вектору, если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

Как найти единичный вектор по вектору

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

Как найти единичный вектор по вектору

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

Как найти единичный вектор по вектору

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Как найти единичный вектор по вектору

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

Как найти единичный вектор по вектору

11. Произведением вектора Как найти единичный вектор по векторуна число Как найти единичный вектор по векторуназывается вектор Как найти единичный вектор по вектору, который имеет :

  • модуль, равный Как найти единичный вектор по вектору;
  • направление, одинаковое с Как найти единичный вектор по вектору, если Как найти единичный вектор по вектору.
  • направление, противоположное с Как найти единичный вектор по вектору, если Как найти единичный вектор по вектору.

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

  • переместительный: Как найти единичный вектор по вектору
  • сочетательный: Как найти единичный вектор по вектору
  • распределительный: Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры

Задача:

Пусть даны точки Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору

1) Найти координаты векторов

Как найти единичный вектор по вектору

2) Написать разложение этих векторов по базису Как найти единичный вектор по вектору

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение Как найти единичный вектор по вектору

5) Найти угол между векторами Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору.

6) Найти разложение вектора Как найти единичный вектор по векторупо базису Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору

Решение:

1) Вычислим координаты векторов Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору(нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору, аналогично, Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору

2) Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

Как найти единичный вектор по вектору

5) Разложить вектор Как найти единичный вектор по векторупо векторам Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору— это значит представить вектор Как найти единичный вектор по векторув виде линейной комбинации векторов Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору, т. е.

Как найти единичный вектор по вектору, где Как найти единичный вектор по вектору. Имеем Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору, но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору.

Как найти единичный вектор по вектору

Задача:

а). Даны векторы Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по векторув некотором базисе. Показать, что векторы Как найти единичный вектор по векторуобразуют базис и найти координаты вектора Как найти единичный вектор по векторув этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если Как найти единичный вектор по вектору.

Как найти единичный вектор по вектору

Найдем координаты вектора Как найти единичный вектор по векторув базисе Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору.

Как найти единичный вектор по вектору

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Как найти единичный вектор по вектору

Решим систему методом Крамера:

Как найти единичный вектор по вектору

Ответ: Как найти единичный вектор по вектору.

Как найти единичный вектор по вектору

Задача:

Даны координаты вершин тетраэдра Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору. Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника Как найти единичный вектор по вектору; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину Как найти единичный вектор по векторупараллельно медиане, проведенной из вершины Как найти единичный вектор по векторутреугольника Как найти единичный вектор по вектору; 3) координаты точки, симметричной точке Как найти единичный вектор по векторуотносительно плоскости Как найти единичный вектор по вектору. Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем координаты т. Как найти единичный вектор по векторусередины отрезка Как найти единичный вектор по вектору(рис. 16): Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Точка Как найти единичный вектор по векторупересечения медиан треугольника делит медиану Как найти единичный вектор по векторув отношении Как найти единичный вектор по вектору, считая от вершины Как найти единичный вектор по вектору. Найдем координаты точки Как найти единичный вектор по вектору:

Как найти единичный вектор по вектору

2) Найдем направляющий вектор прямой Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору. Уравнение прямой, проходящей через вершину Как найти единичный вектор по векторупараллельно прямой Как найти единичный вектор по вектору:

Как найти единичный вектор по вектору

3) Найдем уравнение плоскости Как найти единичный вектор по вектору:

Как найти единичный вектор по вектору

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости Как найти единичный вектор по векторуи проходящей через т. Как найти единичный вектор по вектору: Как найти единичный вектор по вектору. Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору.

Найдем координаты точки Как найти единичный вектор по векторупересечения плоскости Как найти единичный вектор по векторуи найденной прямой: Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору

Координаты точки Как найти единичный вектор по векторусимметричной точке Как найти единичный вектор по векторуотносительно плоскости Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору.

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан Как найти единичный вектор по векторууравнение прямой Как найти единичный вектор по вектору; 3) координаты симметричном точки Как найти единичный вектор по вектору.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Координаты вектора, перпендикулярного векторамСкачать

Координаты вектора, перпендикулярного векторам

Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

1°. Любые две точки Как найти единичный вектор по векторупространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается Как найти единичный вектор по векторуили Как найти единичный вектор по векторуДлина вектора, обозначаемая Как найти единичный вектор по вектору, АВ или Как найти единичный вектор по векторуа, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Как найти единичный вектор по векторуТогда длина вектора найдется так:

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора Как найти единичный вектор по векторуназываются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Как найти единичный вектор по векторуРавные векторы имеют равные координаты.

Векторы Как найти единичный вектор по векторуназываются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления: Как найти единичный вектор по вектору

Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается Как найти единичный вектор по вектору

2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Если начало Как найти единичный вектор по векторусовмещено с концом Как найти единичный вектор по векторуто начало Как найти единичный вектор по векторусовпадает с началом Как найти единичный вектор по векторуа конец — с концом Как найти единичный вектор по вектору(рис. 3.1).

2.Если начала векторов Как найти единичный вектор по векторусовмещены, то начало Как найти единичный вектор по векторусовпадает с концом Как найти единичный вектор по вектору, а конец Как найти единичный вектор по векторусовпадает с концом Как найти единичный вектор по вектору(рис. 3.2).

3.При умножении вектора Как найти единичный вектор по векторуна число (скаляр) Как найти единичный вектор по векторудлина вектора умножается на Как найти единичный вектор по вектору, а направление сохраняется, если Как найти единичный вектор по векторуи изменяется на противоположное, если Как найти единичный вектор по вектору(рис. 3.3).

Вектор Как найти единичный вектор по векторуназывается ортом, или единичным вектором вектора Как найти единичный вектор по векторуего длина равна единице:Как найти единичный вектор по вектору

3°. Запись ci — Как найти единичный вектор по векторуозначает, что вектор Как найти единичный вектор по векторуимеет координаты Как найти единичный вектор по векторуили Как найти единичный вектор по векторуразложен по базису Как найти единичный вектор по вектору— орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом

Как найти единичный вектор по вектору

4°. Числа Как найти единичный вектор по векторуназываются направляющими косинусами вектора Как найти единичный вектор по вектору— углы между вектором Как найти единичный вектор по векторуи координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор Как найти единичный вектор по вектору— орт вектора Как найти единичный вектор по вектору. Для любого вектора справедливо: Как найти единичный вектор по вектору

5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть Как найти единичный вектор по векторутогда

Как найти единичный вектор по вектору

Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.

6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов Как найти единичный вектор по вектору, устанавливаемое равенством Как найти единичный вектор по векторуможет быть записано соотношениями Как найти единичный вектор по векторуиз которых следует пропорциональность их координат: Как найти единичный вектор по вектору

Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если Как найти единичный вектор по векторуто векторы Как найти единичный вектор по вектору).

7°. Система векторов Как найти единичный вектор по векторуназывается линейно независимой, если равенство

Как найти единичный вектор по вектору

( Как найти единичный вектор по вектору— действительные числа) возможно только при Как найти единичный вектор по векторуЕсли же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе Как найти единичный вектор по векторуто система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.

Решение:

Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): Как найти единичный вектор по вектору(рис. 3.4).

Как найти единичный вектор по вектору

Найдем длины сторон: Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору
Нетрудно видеть, что Как найти единичный вектор по векторуСледовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой Как найти единичный вектор по векторуи катетами Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.

Решение:

Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):

Как найти единичный вектор по вектору

Имеем Как найти единичный вектор по векторузначит, ABCD — трапеция.

Пример:

Найти орт и направляющие косинусы вектора Как найти единичный вектор по вектору

Решение:

Имеем Как найти единичный вектор по векторуВ соответствии с п. 3°, 4°

Как найти единичный вектор по векторуи направляющие косинусы вектора Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по векторупричем Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Определить точку В, которая является концом вектора Как найти единичный вектор по вектору, если его начало совпадает с точкой

Решение:

Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)

Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору

Следовательно, Как найти единичный вектор по векторуОтвет. В(5, -5,3).

Пример:

Вектор Как найти единичный вектор по векторуразложить по векторам

Как найти единичный вектор по вектору

Решение:

Необходимо найти такие числа х, у, z, что Как найти единичный вектор по векторут.е.

Как найти единичный вектор по вектору

Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Ответ. Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Показать, что система векторов Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по векторулинейно независима.

Решение:

В данном случае равенство (1) имеет вид Как найти единичный вектор по вектору, или Как найти единичный вектор по векторуОтсюда получаем систему уравнений

Как найти единичный вектор по вектору

из которой следует, что Как найти единичный вектор по векторуЭто подтверждает линейную независимость данных векторов.

Пример:

Показать, что система векторов Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по векторулинейно зависима.

Решение:

Равенство (1) равносильно системе уравнений

Как найти единичный вектор по вектору

Она имеет ненулевое решение, например, Как найти единичный вектор по векторуТаким образом, Как найти единичный вектор по векторуОтсюда видно, что Как найти единичный вектор по векторут.е. вектор Как найти единичный вектор по векторулинейно выражается через Как найти единичный вектор по векторуОчевидно, что Как найти единичный вектор по векторуможно выразить через Как найти единичный вектор по вектору— через Как найти единичный вектор по вектору

Скалярное произведение векторов

1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла Как найти единичный вектор по векторумежду ними:

Как найти единичный вектор по вектору

Из Как найти единичный вектор по вектору(рис. 3.7) имеем Как найти единичный вектор по вектору( Как найти единичный вектор по вектору— проекция вектора Как найти единичный вектор по векторуна направление вектора Как найти единичный вектор по вектору).

Итак, Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

При этом Как найти единичный вектор по векторуесли же Как найти единичный вектор по вектору, т. е. Как найти единичный вектор по векторупоскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).

3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:

Как найти единичный вектор по вектору

Примеры с решениями

Пример:

Перпендикулярны ли векторы Как найти единичный вектор по векторуесли Как найти единичный вектор по вектору

Решение:

Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) Как найти единичный вектор по векторув нашем случае

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Найти проекцию вектора Как найти единичный вектор по векторуна направление вектора Как найти единичный вектор по вектору

Решение:

Имеем Как найти единичный вектор по вектору(п. 1°). Подставив сюда выражение для Как найти единичный вектор по векторуиз п. 3°, получим

Как найти единичный вектор по вектору

Ответ Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по векторунайти внутренние углы треугольника ABC.

Решение:

Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору

При помощи таблиц находим Как найти единичный вектор по векторуДля нахождения других углов нам понадобится вектор Как найти единичный вектор по векторукоторый является суммой Как найти единичный вектор по вектору: Как найти единичный вектор по векторупоэтому Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.

Пример:

Найти координаты вектора Как найти единичный вектор по векторуесли Как найти единичный вектор по векторугде Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по вектору

Решение:

На рис. 3.9 имеем Как найти единичный вектор по векторуИз условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Как найти единичный вектор по векторуПоложим Как найти единичный вектор по векторуУсловие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы

Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору

Векторное произведение векторов

1°. Векторы Как найти единичный вектор по векторуприведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора Как найти единичный вектор по векторуна плоскость векторов Как найти единичный вектор по векторуто кратчайший поворот от Как найти единичный вектор по векторусовершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).

Как найти единичный вектор по вектору

2°. Векторным произведением ненулевых векторов Как найти единичный вектор по векторуназывается вектор Как найти единичный вектор по вектору, обозначаемый Как найти единичный вектор по векторуудовлетворяющий следующим трем условиям.

1) Как найти единичный вектор по векторувектор Как найти единичный вектор по вектору перпендикулярен плоскости векторов Как найти единичный вектор по вектору

2) Вектор Как найти единичный вектор по векторунаправлен так, что векторы Как найти единичный вектор по векторуобразуют правую тройку.

3) Как найти единичный вектор по векторут.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Как найти единичный вектор по вектору(рис. 3.11), таким образом, Как найти единичный вектор по вектору

Если векторы Как найти единичный вектор по векторуколлинеарны, то под Как найти единичный вектор по векторупонимается нулевой вектор:Как найти единичный вектор по вектору

3°. Если известны координаты векторов-сомножителей Как найти единичный вектор по векторуто для отыскания координат векторного произведения служит формула

Как найти единичный вектор по вектору

в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.

Примеры с решениями

Пример:

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В<3,2,1), С(1,0,1).

Решение:

Найдем координаты векторов Как найти единичный вектор по векторуОпределим координаты векторного произведения Как найти единичный вектор по вектору(рис. 3.12):

Как найти единичный вектор по вектору

Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Как найти единичный вектор по векторуПлощадь треугольника Как найти единичный вектор по векторуравна Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Построить параллелограмм на векторах Как найти единичный вектор по векторуи Как найти единичный вектор по векторувычислить его площадь и высоту, опущенную на Как найти единичный вектор по вектору.

Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Как найти единичный вектор по векторуОтдельно вычисляем векторное произведение:

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору

Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов Как найти единичный вектор по векторуназывается число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение Как найти единичный вектор по вектору, а другой — вектор Как найти единичный вектор по вектору. Обозначение: Как найти единичный вектор по векторуЕсли Как найти единичный вектор по векторуобразуют правую тройку, то Как найти единичный вектор по векторуЕсли Как найти единичный вектор по векторуобразуют левую тройку, то Как найти единичный вектор по вектору

Модуль смешанного произведения векторов Как найти единичный вектор по векторуравен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Как найти единичный вектор по векторуУсловие Как найти единичный вектор по векторуравносильно тому, что векторы Как найти единичный вектор по векторурасположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство

Как найти единичный вектор по вектору

Объем тетраэдра с вершинами в точках Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по векторуможно вычислить по формуле Как найти единичный вектор по векторугде

Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору

2°. Условие Как найти единичный вектор по векторуравносильно условию линейной независимости Как найти единичный вектор по вектору, а тогда любой вектор Как найти единичный вектор по векторулинейно выражается через них, т. е. Как найти единичный вектор по векторуДля определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах Как найти единичный вектор по вектору

Решение:

Искомый объем Как найти единичный вектор по векторуПоскольку

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

2) Введем векторы Как найти единичный вектор по векторуКак найти единичный вектор по вектору.Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен

Как найти единичный вектор по вектору

3) Площадь грани ABC

Как найти единичный вектор по вектору

4) Объем пирамиды Как найти единичный вектор по векторуотсюда Как найти единичный вектор по вектору
Ответ. Как найти единичный вектор по вектору

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Основные понятия векторной алгебры

Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору

Видео:#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам.  Направляющие косинусы

Прямоугольные декартовы координаты

Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.

Оnределение:

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси Как найти единичный вектор по векторунекоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).

Пусть М — произвольная точка оси Как найти единичный вектор по вектору. Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).

Как найти единичный вектор по вектору

Оnределение:

Ось Как найти единичный вектор по векторус точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L 1 и L 2. Зададим на каждой из nрямых L 1 и L 2 ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).

Как найти единичный вектор по вектору

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:

Как найти единичный вектор по вектору

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).

Как найти единичный вектор по вектору

Замечание:

Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L 1 , L 2 и L 3 . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L 1 , L 2 и L 3 превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).

Как найти единичный вектор по вектору

Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:

Как найти единичный вектор по вектору

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.

Оnределение:

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М 11 ) и М 22 )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

Как найти единичный вектор по вектору

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М 11 , у1 и М22 , y2) вычисляется по следующей формуле

Как найти единичный вектор по вектору

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM1M2 (pиc. l l). По теореме Пифагора

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .

Замечание:

Расстояние между точками Как найти единичный вектор по векторув пространстве вычисляется по следующей формуле

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Задача:

Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).

Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением

Как найти единичный вектор по вектору

и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Как найти единичный вектор по вектору

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .

Задача:

Пусть F л (-с, 0) и F n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до Fл и до F n равна 2а.

Вычислим расстояния между точками М и F л и между точками М и F n . Имеем

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Перенесем второй корень в правую часть

Как найти единичный вектор по вектору

Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим

Как найти единичный вектор по вектору

С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству

Как найти единичный вектор по вектору

Полагая b 2 = а 2 — с 2 и деля обе части nоследнего соотноwения на а 2 b 2 , nолучаем уравнение эллипса

Как найти единичный вектор по вектору

Деление отрезка в данном отношении:

Как найти единичный вектор по вектору

Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М1М2 и числа λ 1 и λ 2 . Предположим сначала, что отрезок М1М2 не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

то из последних двух соотношений получаем, что

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Точка М лежит между точками М1 и М2 , поэтому либо х 1 х > х 2 . В любом из этих случаев разности х1 — х и х — х 2 имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

В случае, когда отрезок М1М2 параллелен оси Оу, х 1 = х 2 = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х 1 = х 2 . Справедливость формулы

Как найти единичный вектор по вектору

доказывается аналогичным рассуждением .

Задача:

Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М1 ( х 1 , у 1 ), М2 ( х 2 , у 2 ) и М3 ( х 3 , у 3 ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам

Как найти единичный вектор по вектору

где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М3 М’. Так как М’ — середина отрезка М1М2, то

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М1М2М3 через координаты его вершин:

Как найти единичный вектор по вектору

Замечание:

Как найти единичный вектор по вектору

Полярные координаты

Предположим, что задана точка О, ось Как найти единичный вектор по вектору.содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).

Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси Как найти единичный вектор по векторуи лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.

Точка О называется полюсом, Как найти единичный вектор по вектору— полярной осью.

Ясно, чтоКак найти единичный вектор по векторуЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.

Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.

Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равныйКак найти единичный вектор по вектору. Тогда

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

(рис.18). В свою очередь Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г, Как найти единичный вектор по вектору

Определители 2-го и 3-го порядков

Определителем второго порядка называется число

Как найти единичный вектор по вектору

Обозначение:

Как найти единичный вектор по вектору

Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а11, а22 элементов главной диагонали вычесть произведение а12, а21 элементов его побочной диагонали (рис. 20).

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Как найти единичный вектор по вектору

По правилу (1) имеем

Как найти единичный вектор по вектору

С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Как найти единичный вектор по вектору

Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Пусгь теперь даны девять чисел aij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

Как найти единичный вектор по вектору

и вычисляемое по следующему правилу:

Как найти единичный вектор по вектору

Первый индекс i элемента aij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.

Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а11, а22, а33 главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а11, а22, а33 и а11, а22, а33 элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а13, а22, а31 элементов побочной диагонали, а также произведения а12, а21, а33 и а11, а23, а32 — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Как найти единичный вектор по вектору

Применяя правило треугольника, находим

Как найти единичный вектор по вектору

Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).

Свойство:

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами

Как найти единичный вектор по вектору

Свойство:

При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.

Свойство:

Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя

Как найти единичный вектор по вектору

Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).

Свойство:

Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.

Свойство:

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство:

Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка

Как найти единичный вектор по вектору

Минором Mij элемента aij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a23 будет определитель

Как найти единичный вектор по вектору

Алгебраическим дополнением элемента Aij называется минор Mij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент aij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:

Как найти единичный вектор по вектору

Теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства

Как найти единичный вектор по вектору

Покажем, например, что

Как найти единичный вектор по вектору

Пользуясь формулой (2), получаем, что

Как найти единичный вектор по вектору

Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.

Пример:

Как найти единичный вектор по вектору

Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим

Как найти единичный вектор по вектору

Понятия связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).

Как найти единичный вектор по вектору

В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Определение:

Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).

Обозначение:

Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример:

Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.

Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:

  1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
  2. Если АВ = CD, той CD = АВ.
  3. Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы

CD = АВ.

Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).

Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор Как найти единичный вектор по векторуоднозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).

Как найти единичный вектор по вектору

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой

Как найти единичный вектор по вектору = а

(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.

Как найти единичный вектор по вектору

Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: Как найти единичный вектор по вектору= а. От полученной точки А отложим вектор b: Как найти единичный вектор по вектору= b. Полученный в результате вектор Как найти единичный вектор по векторуназывается суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство

а + b = b + а

Как найти единичный вектор по вектору

Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор Как найти единичный вектор по вектору, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Как найти единичный вектор по вектору

Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: Как найти единичный вектор по вектору= а; от полученной точки А отложим вектор b: Как найти единичный вектор по вектору= b; отточки В — вектор с: Как найти единичный вектор по вектору= с (рис. 11). По определению суммы Как найти единичный вектор по вектору— а + b и Как найти единичный вектор по вектору= (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство

(а +b) + с = а + (b + с),

т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:

а + b + с.

Как найти единичный вектор по вектору

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:

Как найти единичный вектор по вектору

Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример:

Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Умножение вектора на число

Определение:

Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).

Как найти единичный вектор по вектору

Обозначение: а||b.

Замечание:

Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.

Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, Как найти единичный вектор по вектору= n, Как найти единичный вектор по вектору= Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.

Как найти единичный вектор по вектору

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.

Определение:

Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что

2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ Как найти единичный вектор по вектору

(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор

Как найти единичный вектор по вектору

есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Как найти единичный вектор по вектору

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что

Как найти единичный вектор по вектору

Векторы Как найти единичный вектор по векторуколлинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,

Как найти единичный вектор по вектору

поэтому найдутся числа х, у, z такие, что

Как найти единичный вектор по вектору

а = xi + yj + zk. (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.

Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае

а = .

Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Как найти единичный вектор по вектору

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = < х1, у1, z1 > и b = <х2, у2, z2> равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.

Как найти единичный вектор по вектору

Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).

Линейные операции над векторами в координатах

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = < х1, у1, z1>, b = < х2, у2, z2 > — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.

Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Найти координаты вектора Как найти единичный вектор по векторуначало которого находится в точке М1 ( х1, у1, z1 ). а конец — в точке M2 (х2, у2, z2).
Из рис. 22 видно, что Как найти единичный вектор по вектору= r2 — r1 , где r2, r1 — радиус-векторы точек М1 и M2 соответственно. Поэтому

Как найти единичный вектор по вектору

— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор Как найти единичный вектор по вектору, определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).

Как найти единичный вектор по вектору

Определение:

Проекцией вектора Как найти единичный вектор по векторуна ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение: Как найти единичный вектор по вектору

Основные свойства проекций

  1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)Как найти единичный вектор по вектору
  2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора a и b.

Определение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством

Как найти единичный вектор по вектору

(1)
где φ, или в иной записи (Как найти единичный вектор по вектору), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать

Как найти единичный вектор по вектору

(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что

(a, b) = 0.

Свойства скалярного произведения

  1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.

Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:

Как найти единичный вектор по вектору

2. Скалярное произведение коммутативно:

(а, b) = (b, а).

Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:

(а + b, с) = (а, с) + (b, c).

Как найти единичный вектор по вектору

4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения

(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).

  • Действительно, пусть λ > 0. Тогда

Как найти единичный вектор по вектору

поскольку при λ > 0 углы (Как найти единичный вектор по вектору) и (λКак найти единичный вектор по вектору) равны (рис.28).

Аналогично рассматривается случай λ Как найти единичный вектор по вектору

Замечание:

В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

Как найти единичный вектор по вектору

Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

Как найти единичный вектор по вектору

Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:

Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.

(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:

(а, а) = а 2 .

Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)

Как найти единичный вектор по вектору

С другой стороны,

Как найти единичный вектор по вектору

так что из (5) следует, что (6)

Как найти единичный вектор по вектору

— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению

(а, b) = |а| • |b| • cos φ,

где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)

Как найти единичный вектор по вектору

(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Найти угол между векторами a = и d = . Пользуясь формулой (8), находим

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

или, в координатной записи, (9)

Как найти единичный вектор по вектору

где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).

Пример:

Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда

Как найти единичный вектор по вектору

Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:

Как найти единичный вектор по вектору

(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны

x=cos φ, y = sin φ.

Как найти единичный вектор по вектору

Векторное произведение векторов

Определение:

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что

1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);

2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;

3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).

Как найти единичный вектор по вектору

Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.

Как найти единичный вектор по вектору

По определению длина векторного произведения (1)

Как найти единичный вектор по вектору

численно равна площади Как найти единичный вектор по векторупараллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

|[a, b]| = Как найти единичный вектор по вектору.

Свойства векторного произведения

  1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).

Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.

Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так

Как найти единичный вектор по вектору

2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)

Как найти единичный вектор по вектору

В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).

Как найти единичный вектор по вектору

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению

Как найти единичный вектор по вектору

4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения

Как найти единичный вектор по вектору

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = < х1, у1, z1>, b = < х2, у2, z2 >. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)

Как найти единичный вектор по вектору

Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)

Как найти единичный вектор по вектору

Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)

Как найти единичный вектор по вектору

Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:

  1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.

Искомая площадь Как найти единичный вектор по вектору= |[а, b]. Поэтому находим

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).

Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= Как найти единичный вектор по векторуи b = Как найти единичный вектор по вектору, получаем

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Замечание:

Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем

Как найти единичный вектор по вектору

Смешанное произведение векторов

Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:

([a, b], с).

Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).

Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.

Как найти единичный вектор по вектору

Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем

Как найти единичный вектор по вектору

где Как найти единичный вектор по вектору— площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).

Как найти единичный вектор по вектору

Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что

Как найти единичный вектор по вектору

Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что

Как найти единичный вектор по вектору

Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,

(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).

Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:

Смешанное произведение в координатах

Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:

Как найти единичный вектор по вектору

Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору

— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.

Как найти единичный вектор по вектору

Пример:

Проверить, компланарны ли векторы

Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель

Как найти единичный вектор по вектору

Разлагая его по элементам первой строки, получим

Как найти единичный вектор по вектору

Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула

[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Как найти единичный вектор по вектору

Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору Как найти единичный вектор по вектору

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Поделиться или сохранить к себе: