Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности

Как найти диаметр окружности через касательную

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости.

Круг — часть плоскости, лежащая внутри окружности, а также сама окружность.

Если говорить проще, окружность — это замкнутая линия, как, например, обруч и велосипедное колесо. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, как блинчик или вырезанный из картона кружок.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Как узнать диаметр. Формулы

В данной теме нам предстоит узнать три формулы:

1. Общая формула.

Исходя из основных определений нам известно, что значение диаметра равно двум радиусам: D = 2 × R, где D — диаметр, R — радиус.

2. Если перед нами стоит задача найти диаметр по длине окружности

D = C : π, где C — длина окружности, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Чтобы получить правильный ответ, можно поделить столбиком или использовать онлайн-калькулятор.

3. Если есть чертеж окружности

  • Начертить внутри круга прямую горизонтальную линию. Ее месторасположение не играет значительной роли.
  • Отметить точки пересечения прямой и окружности.
  • Начертить при помощи циркуля две окружности одного радиуса (больше, чем радиус первоначальной окружности), первую — с центром в точке A, вторую — с центром в точке B.
  • Провести прямую через две точки, в которых произошло пересечение. Отметить точки пересечения полученной прямой с окружностью. Диаметр равен этому отрезку.
  • Теперь осталось измерить диаметр круга при помощи линейки. Получилось!

Эти простые формулы могут пригодиться не только на школьных уроках, но и если вы решите освоить профессию дизайнера интерьера, архитектора или модельера одежды.

Видео:№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.Скачать

№795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как найти диаметр окружности через касательнуюОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как найти диаметр окружности через касательнуюСвойства хорд и дуг окружности
Как найти диаметр окружности через касательнуюТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти диаметр окружности через касательнуюДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как найти диаметр окружности через касательнуюТеорема о бабочке

Как найти диаметр окружности через касательную

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак найти диаметр окружности через касательную
КругКак найти диаметр окружности через касательную
РадиусКак найти диаметр окружности через касательную
ХордаКак найти диаметр окружности через касательную
ДиаметрКак найти диаметр окружности через касательную
КасательнаяКак найти диаметр окружности через касательную
СекущаяКак найти диаметр окружности через касательную
Окружность
Как найти диаметр окружности через касательную

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак найти диаметр окружности через касательную

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак найти диаметр окружности через касательную

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак найти диаметр окружности через касательную

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак найти диаметр окружности через касательную

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак найти диаметр окружности через касательную

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак найти диаметр окружности через касательную

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак найти диаметр окружности через касательнуюДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак найти диаметр окружности через касательнуюЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак найти диаметр окружности через касательнуюБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак найти диаметр окружности через касательнуюУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак найти диаметр окружности через касательнуюДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как найти диаметр окружности через касательную

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак найти диаметр окружности через касательную

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак найти диаметр окружности через касательную

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак найти диаметр окружности через касательную

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак найти диаметр окружности через касательную

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак найти диаметр окружности через касательную

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак найти диаметр окружности через касательную

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти диаметр окружности через касательную

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак найти диаметр окружности через касательную
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак найти диаметр окружности через касательную
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак найти диаметр окружности через касательную
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак найти диаметр окружности через касательную

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти диаметр окружности через касательную

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Пересекающиеся хорды
Как найти диаметр окружности через касательную
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как найти диаметр окружности через касательную
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как найти диаметр окружности через касательную
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как найти диаметр окружности через касательную
Пересекающиеся хорды
Как найти диаметр окружности через касательную

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как найти диаметр окружности через касательную

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Тогда справедливо равенство

Как найти диаметр окружности через касательную

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как найти диаметр окружности через касательную

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти диаметр окружности через касательную

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как найти диаметр окружности через касательную

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как найти диаметр окружности через касательную

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как найти диаметр окружности через касательную

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Как найти диаметр окружности через касательную

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как найти диаметр окружности через касательную

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Как найти диаметр окружности через касательную

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Как найти диаметр окружности через касательную

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Как узнать диаметр окружности.Скачать

Как узнать диаметр окружности.

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

🔥 Видео

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ПЛОЩАДЬ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР КРУГА, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ПЛОЩАДЬ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс
Поделиться или сохранить к себе: