Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольного

Задача 8276 Точка О — центр окружности, описанной.

Условие

Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольного

Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что

угол BAC = угол OBC + угол OCB

а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б) Найдите угол OIH, если угол ABC = 55 градусов

Видео:Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольного

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.

а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус описанной окружности треугольника ABC равен 12, а cos∠BAC = 0,6.

а) Пусть Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольноготогда Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногокак углы при основании равнобедренного треугольника OBC. Из условия Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногоследует, что Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногоТогда Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногоОткуда, по свойству вписанных углов, следует, что точки О, В, К, С лежат на одной окружности.

б) По условию, Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольноготогда Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногоРассмотрим Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногов нем Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногоВ обозначениях пункта а): Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольноготогда Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольноготак как четырехугольник OBKC вписанный.

Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольного

Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольного

Рассмотрим треугольник KBC:

Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольногоТочка о центр окружности описанной вокруг остроугольного

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

Задание №1200

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Условие

Точка M — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника NPK , Q — центр вписанной в него окружности, W — точка пересечения высот. Известно, что angle PNK=angle MPK+angle MKP.

а) Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника PMK .

б) Найдите угол MQW , если angle NPK=47^.

Видео:Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУСкачать

Через центр О окружности, описанной около остроугольного треугольника ДВИ МГУ

Решение

а) Чтобы доказать, что точки P , M , Q и K лежат на одной окружности, можно воспользоваться одним из признаков, например доказать, что angle PMK=angle PQK. Найдём эти углы.

M — центр окружности, описанной около треугольника NPK , тогда как центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу, angle PMK=2angle PNK.

Запишем сумму углов треугольника PMK и воспользуемся полученным и заданным в условии равенствами.

angle PMK+angle MPK+angle MKP= 2angle PNK+angle PNK= 3angle PNK= 180^,

Q — центр вписанной в треугольник NPK окружности, поэтому Q — точка пересечения биссектрис треугольника.

Значит, angle PMK=angle PQK, поэтому точки P , M , Q и K лежат на одной окружности.

б) W — точка пересечения высот треугольника NPK . Найдём угол MQW , для этого

докажем сначала, что и точка W лежит на той же окружности, что и точки P , M , Q и K . Если провести высоту треугольника ( например, из вершины P ) , то образуются прямоугольные треугольники, сумма острых углов каждого такого треугольника равна 90^. Например, angle WPK+angle PKN=90^, аналогично можно получить: angle WKP+angle NPK=90^.

angle PWK= 180^-angle WPK-angle WKP= 180^-(90^-angle PKN)-(90^-angle NPK)= angle PKN+angle NPK= 120^, angle PMK=angle PQK=angle PWK, потому точки P , M , Q , W и K лежат на одной окружности.

Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольного

Так как angle PNK=60^, angle NPK=47^, получаем: angle NKP=73^. В равнобедренном треугольнике PMK , angle MPK=frac<180^-angle PMK>2=30^. Учитывая, что PW perp NK, получаем: angle WPK=90^-angle NKP=17^. Отсюда angle WPM=angle MPK-angle WPK=13^.

angle KPW= 90^-angle NKP= 90^-73^= 17^, значит, angle MPK>angle QPK>angle KPW, поэтому лучи PW , PQ и PM пересекают дугу окружности в порядке, указанном на рисунке.

Четырёхугольник PMQW вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180^ и angle MQW= 180^-angle WPM= 180^-13^= 167^.

🔍 Видео

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

Точка O – центр окружности, ∠BOC=160° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, ∠BOC=160°  ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 НайдитеСкачать

Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 Найдите

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мно

Геометрия В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружностиСкачать

Геометрия В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружности

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

ОГЭ Задание 26 Подобные треугольникиСкачать

ОГЭ Задание 26 Подобные треугольники

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольникаСкачать

36 Где лежит центр окружности, описанной около произвольного треугольника

Окружность с центром в точке O описана ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Окружность с центром в точке O описана ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ЕГЭ Задание 16 Первый признак подобия треугольниковСкачать

ЕГЭ Задание 16 Первый признак подобия треугольников

Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

Пирамиды,  в которых высота проходит через центр описанной около основания окружности

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математике
Поделиться или сохранить к себе: