Условие
Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что
угол BAC = угол OBC + угол OCB
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если угол ABC = 55 градусов
Точка о центр окружности описанной вокруг остроугольного
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.
а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус описанной окружности треугольника ABC равен 12, а cos∠BAC = 0,6.
а) Пусть 
тогда 
как углы при основании равнобедренного треугольника OBC. Из условия 
следует, что 
Тогда 
Откуда, по свойству вписанных углов, следует, что точки О, В, К, С лежат на одной окружности.
б) По условию, 
тогда 
Рассмотрим 
в нем 
В обозначениях пункта а): 
тогда 
так как четырехугольник OBKC вписанный.
Рассмотрим треугольник KBC:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Задание №1200УсловиеТочка M — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника NPK , Q — центр вписанной в него окружности, W — точка пересечения высот. Известно, что angle PNK=angle MPK+angle MKP. а) Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной около треугольника PMK . б) Найдите угол MQW , если angle NPK=47^. Решениеа) Чтобы доказать, что точки P , M , Q и K лежат на одной окружности, можно воспользоваться одним из признаков, например доказать, что angle PMK=angle PQK. Найдём эти углы. M — центр окружности, описанной около треугольника NPK , тогда как центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу, angle PMK=2angle PNK. Запишем сумму углов треугольника PMK и воспользуемся полученным и заданным в условии равенствами. angle PMK+angle MPK+angle MKP= 2angle PNK+angle PNK= 3angle PNK= 180^, Q — центр вписанной в треугольник NPK окружности, поэтому Q — точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, angle PMK=angle PQK, поэтому точки P , M , Q и K лежат на одной окружности. б) W — точка пересечения высот треугольника NPK . Найдём угол MQW , для этого докажем сначала, что и точка W лежит на той же окружности, что и точки P , M , Q и K . Если провести высоту треугольника ( например, из вершины P ) , то образуются прямоугольные треугольники, сумма острых углов каждого такого треугольника равна 90^. Например, angle WPK+angle PKN=90^, аналогично можно получить: angle WKP+angle NPK=90^. angle PWK= 180^-angle WPK-angle WKP= 180^-(90^-angle PKN)-(90^-angle NPK)= angle PKN+angle NPK= 120^, angle PMK=angle PQK=angle PWK, потому точки P , M , Q , W и K лежат на одной окружности.
Так как angle PNK=60^, angle NPK=47^, получаем: angle NKP=73^. В равнобедренном треугольнике PMK , angle MPK=frac<180^-angle PMK>2=30^. Учитывая, что PW perp NK, получаем: angle WPK=90^-angle NKP=17^. Отсюда angle WPM=angle MPK-angle WPK=13^. angle KPW= 90^-angle NKP= 90^-73^= 17^, значит, angle MPK>angle QPK>angle KPW, поэтому лучи PW , PQ и PM пересекают дугу окружности в порядке, указанном на рисунке. Четырёхугольник PMQW вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180^ и angle MQW= 180^-angle WPM= 180^-13^= 167^. |
