О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
- Определение равнобедренного треугольника
- Признаки равнобедренного треугольника
- Свойства равнобедренного треугольника
- Примеры решения задач
- Любая высота равнобедренного треугольника
- Свойства высоты равнобедренного треугольника
- Свойства высоты в равнобедренном треугольнике
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Пример задачи
- 🎥 Видео
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Видео:Любая высота равнобедренного треугольника является ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Видео:Любая биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Любая высота равнобедренного треугольника
Укажите номера верных утверждений.
1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна 180°.
3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны» — верно, по третьему признаку подобия треугольников.
2) «Сумма смежных углов равна 180°» — верно, по теореме о смежных углах.
3) «Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой» — неверно, верным будет являться утверждение «Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является его биссектрисой».
Видео:№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторонаСкачать
Свойства высоты равнобедренного треугольника
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.
Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Свойства высоты в равнобедренном треугольнике
Свойство 1
В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.
Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.
Свойство 2
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.
- BD – высота, проведенная к основанию AC;
- BD – медиана, следовательно, AD = DC;
- BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β.
- BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.
Свойство 3
Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:
1. Длина высоты ha, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:
2. Длина высоты hb, проведенной к боковой стороне b, равняется:
p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:
3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:
Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.
Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать
Пример задачи
Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.
Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:
Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.
Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:
Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):
🎥 Видео
Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
ВЫСОТА через СИНУС / равнобедренный треугольник / #планиметрия #27327Скачать
Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольникаСкачать
Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Любая медиана равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Признаки равнобедренного треугольника - геометрия 7 классСкачать
КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать
№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать