Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Четырехугольники
Содержание
  1. теория по математике 📈 планиметрия
  2. Выпуклый четырехугольник
  3. Виды и свойства выпуклых четырехугольников
  4. Прямоугольник
  5. Квадрат
  6. Параллелограмм
  7. Трапеция
  8. Виды трапеций
  9. Средняя линия трапеции
  10. Многоугольник. Нахождение диагоналей вписанного четырехугольника. Теорема Птоломея.
  11. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  12. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  13. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  14. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  15. Параллелограмм
  16. Параллелограмм и его свойства
  17. Признаки параллелограмма
  18. Прямоугольник
  19. Признак прямоугольника
  20. Ромб и квадрат
  21. Свойства ромба
  22. Трапеция
  23. Средняя линия треугольника
  24. Средняя линия трапеции
  25. Координаты середины отрезка
  26. Теорема Пифагора
  27. Справочный материал по четырёхугольнику
  28. Пример №1
  29. Признаки параллелограмма
  30. Пример №2 (признак параллелограмма).
  31. Прямоугольник
  32. Пример №3 (признак прямоугольника).
  33. Ромб. Квадрат
  34. Пример №4 (признак ромба)
  35. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  36. Пример №5
  37. Пример №6
  38. Трапеция
  39. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  40. Центральные и вписанные углы
  41. Пример №8
  42. Вписанные и описанные четырёхугольники
  43. Пример №9
  44. Пример №10
  45. 📺 Видео

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональОпределение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Видео:Пробный ЕГЭ 2013 В6 диагональ прямоугольника ABCD #6Скачать

Пробный ЕГЭ 2013 В6 диагональ прямоугольника ABCD #6

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональНа рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональСвойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:как найти диагональ.Скачать

как найти диагональ.

Многоугольник. Нахождение диагоналей вписанного четырехугольника. Теорема Птоломея.

Обозначим стороны вписанного четырехугольника ABCD через a, b, с, d и его диагонали через x и y .Проведем AK ^ BС и СL ^ AD.

Так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2d, то, если угол B острый, угол D должен быть тупым.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Поэтому из треугольников ABС и ADС можем написать:

x 2 = a 2 + b 2 – 2b . BK [1];

x 2 = с 2 + d 2 + 2d . DL [2].

Прямоугольные треугольники ABK и СDL подобны, т.к. они содержат по равному острому углу (углы B и СDL равны, потому что каждый из них служит дополнением до 2d к углу ADС).

Из их подобия выводим:

откуда BK . с = DL . a [3].

Таким образом, мы получим три уравнения с тремя неизвестными x, BK и DL.

Чтобы исключить BK и DL , уравняем в первых двух уравнениях последние члены, для чего умножим уравнение [1] на сd , а уравнение [2] на ab .

Сложив затем результаты и, приняв во внимание уравнение [3], найдем:

(ab + сd)x 2 = a 2 сd + b 2 сd + с 2 ab + d 2 ab =aс(ad + bс) + bd(bс+ad)=(aс + bd)(ad+bс),

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ.

Заметим, что в числителе подкоренной величины первый множитель — сумма произведений противоположных сторон, а второй — сумма произведений сторон, сходящихся в концах определяемой диагонали, знаменатель же представляет сумму произведений сторон, сходящихся в концах другой диагонали.

После этого мы можем, по аналогии, написать следующую формулу для диагонали y:

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ.

Следствие 1.

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Действительно, перемножив выражения, выведенные для x и для y, получим:

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ.

Это предложение известно под именем теоремы Птоломея.

Следствие 2.

Отношение диагоналей вписанного четырехугольника равно отношению суммы произведений сторон, сходящихся в концах первой диагонали, к сумме произведений сторон, сходящихся в концах второй диагонали.

Действительно, разделив те же два равенства, найдем:

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ.

Эти два следствия удобны для запоминания. Из них можно обратно вывести формулы для x и y (перемножением или делением равенств, определяющих xy и x/y).

Видео:Как найти диагональ... Диагональни топишСкачать

Как найти диагональ... Диагональни топиш

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Видео:Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональуглы Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональявляются внешними.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональКак найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональКак найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональто параллелограмм Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональявляется ромбом.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство теоремы 1.

Дано: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональромб.

Докажите, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство (словестное): По определению ромба Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональравнобедренный. Медиана Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(так как Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональТак как Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональявляется прямым углом, то Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Аналогичным образом можно доказать, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

План доказательства теоремы 2

Дано: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональравнобедренная трапеция. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Докажите: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональтогда Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпроведем параллельную прямую к прямой Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональчерез точку Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ— середину стороны Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпроведите прямую параллельную Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональКакая фигура получилась? Является ли Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональтрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональМожно ли утверждать, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. Пусть дан треугольник Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи его средняя линия Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональПроведём через точку Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпрямую параллельную стороне Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональт.е. совпадает со средней линией Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональТ.е. средняя линия Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпараллельна стороне Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональТеперь проведём среднюю линию Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональТ.к. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональто четырёхугольник Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональПо теореме Фалеса Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональТогда Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство: Через точку Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи точку Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональсередину Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональчерез Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональрадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи точка Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкоторая является серединой отрезка Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональто Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональа отсюда следует, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

2) По теореме Фалеса, если точка Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональявляется серединой отрезка Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональто на оси абсцисс точка Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

3) Координаты середины отрезка Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональс концами Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональточки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональнаходятся так:

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональто, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ— прямоугольный.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональтакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональКак найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Решение:

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(АВ CD, ВС-секущая), Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(ВС || AD, CD — секущая), Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. По свойству углов четырёхугольника, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Следовательно, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо двум сторонами и углу между ними.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональПри помощи циркуля сравните длины отрезков Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказать: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. Проведём через точки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпрямые Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпараллельные ВС. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо стороне и прилежащим к ней углам. У них Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпо условию, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак противоположные стороны параллелограммов Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональПроведём прямую Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Через точки Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональпроведём прямые, параллельные прямой Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказать: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Поэтому Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРКак найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак вертикальные, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональвнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональравнобедренный. Поэтому Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональсоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональКак найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. По свойству внешнего угла треугольника, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональКак найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Из доказанного в первом случае следует, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональизмеряется половиной дуги AD, a Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ— половиной дуги DC. Поэтому Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональкак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказать: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Тогда Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Докажем, что Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ. По свойству равнобокой трапеции, Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Тогда Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональвписанного в окружность. Действительно,

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Следовательно, четырёхугольник Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Как найти диагональ четырехугольника зная стороны и одну диагональ

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Диагональ прямоугольника образует угол 50° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Диагональ прямоугольника образует угол 50° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадратаСкачать

18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадрата

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Найти диагональ квадратаСкачать

Найти диагональ квадрата

8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

8 класс, 7 урок, Прямоугольник

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольника

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ
Поделиться или сохранить к себе: