Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Содержание
  1. Через диагонали и угол между ними
  2. Через стороны и противолежащие углы
  3. Площадь вписанного четырехугольника в окружность
  4. Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус
  5. Площадь четырехугольника
  6. Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
  7. Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
  8. Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
  9. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
  10. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
  11. Таблица с формулами площади четырехугольника
  12. Площадь частных случаев четырехугольников
  13. Определения
  14. Площади четырехугольников
  15. Формулы для площадей четырехугольников
  16. Вывод формул для площадей четырехугольников
  17. 📸 Видео

Через диагонали и угол между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Видео:Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Видео:ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать

Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить (вар. 4)

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскизформула
1диагональ и угол между нимиКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
2стороны и углы между этими сторонамиКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
3стороны
(по Формуле Брахмагупты)
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
4стороны и радиус вписанной окружностиКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
5стороны и углы между нимиКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Видео:Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Площади четырехугольников

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиФормулы для площадей четырехугольников
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиВывод формул для площадей четырехугольников
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Сможешь найти площадь четырехугольника? Его вершины лежат на окружностиСкачать

Сможешь найти площадь четырехугольника? Его вершины лежат на окружности

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

a и b – основания,
h – высота

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами,
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиS = ab
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
ПараллелограммКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
КвадратКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиS = a 2
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиS = 4r 2
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
РомбКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
ТрапецияКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиS = m h
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
ДельтоидКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиS = ab sin φ
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Произвольный выпуклый четырёхугольникКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Вписанный четырёхугольникКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – смежные стороны

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – основания,
h – высота

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами,
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Параллелограмм
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Квадрат
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиS = a 2

где
a – сторона квадрата

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиS = 4r 2

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Ромб
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Трапеция
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Дельтоид
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонамиКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Вписанный четырёхугольник
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
Прямоугольник
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – смежные стороны

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a – сторона квадрата

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – основания,
h – высота

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

ДельтоидКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Произвольный выпуклый четырёхугольникКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникКак можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами
(рис.6).

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Как можно найти площадь четырехугольника с разными сторонами

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

📸 Видео

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Геометрия Как найти площадь четырехугольника, если нет формулыСкачать

Геометрия Как найти площадь четырехугольника, если нет формулы

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

Геометрия: считаем ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА | Математика 8-11 классСкачать

Геометрия: считаем ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА | Математика 8-11 класс

Площадь произвольного четырехугольникаСкачать

Площадь произвольного четырехугольника

Вирусная задача. Найти площадь четырёхугольника.Скачать

Вирусная задача. Найти площадь четырёхугольника.

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.
Поделиться или сохранить к себе: