Алгебраическая форма записи комплексных чисел |
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
Комплексно сопряженные числа |
Модуль комплексного числа |
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме |
Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости |
Аргумент комплексного числа |
Тригонометрическая форма записи комплексного числа |
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа |
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме |
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа |
- Алгебраическая форма записи комплексных чисел
- Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
- Комплексно сопряженные числа
- Модуль комплексного числа
- Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
- Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
- Аргумент комплексного числа
- Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
- Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
- Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
- Как изобразить комплексное число с помощью вектора
- Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
- 🔍 Видео
Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Пусть x и y — произвольные вещественные числа.
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .
Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .
Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде
z = x + i y . | (1) |
где использован символ i , называемый мнимой единицей .
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:
i 2 = – 1 . | (2) |
По этой причине
Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
Комплексно сопряженные числа
Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .
Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:
Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.
Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Видео:Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
(3) |
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
(4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
Положительная вещественная полуось | 0 | φ = 2kπ | ||
Первый квадрант | ||||
Положительная мнимая полуось | ||||
Второй квадрант | ||||
Отрицательная вещественная полуось | Положительная вещественная полуось | |||
Знаки x и y | ||||
Главное значение аргумента | 0 | |||
Аргумент | φ = 2kπ | |||
Примеры |
Расположение числа z | Первый квадрант |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Положительная мнимая полуось |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Второй квадрант |
Знаки x и y | |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Отрицательная вещественная полуось | ||||||||||
Знаки x и y | Третий квадрант | ||||||||||
Знаки x и y | Отрицательная мнимая полуось | ||||||||||
Знаки x и y | Четвёртый квадрант | ||||||||||
Знаки x и y | |||||||||||
z = r (cos φ + i sin φ) , | (5) |
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .
Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :
cos φ + i sin φ = e iφ . | (6) |
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
z = r e iφ , | (7) |
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.
Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Корнем n — ой степени из числа z0 , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения
z n = z0 . | (8) |
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства
следствием которых являются равенства
(9) |
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
(10) |
причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:
Пример 1 . Найти все корни уравнения
то по формуле (10) получаем:
Пример 2 . Решить уравнение
Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:
Видео:Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательнуюСкачать
Как изобразить комплексное число с помощью вектора
VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними
Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i ∙0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть .
Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.
Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).
Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.
Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2π k ( k =0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.
Используя формулу Эйлера
комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).
Функция e i φ – периодическая с основным периодом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .
Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
Решение. Для z 1 имеем . Поэтому .
Для действительного числа . Поэтому
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 – z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов , и исходящим из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Найдем произведение комплексных чисел и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
4. Частным двух комплексных чисел z 1 и называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть , если .
Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .
Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .
Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел , представив их в тригонометрической и показательной форме.
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть , если ω n = z .
Пусть , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда (корень арифметический). Окончательно получаем:
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Видно, что для любого корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:
Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a – ib
В разложение многочлена комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
Видео:Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №39. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- изображение комплексного числа на плоскости- точками;
- изображение комплексного числа на плоскости- векторами;
3) определение модуля комплексного числа.
Глоссарий по теме:
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b)
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Пример. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; — i; — 1 + i; 2 – 3i (рис.3).
Модуль комплексного числа
Как отмечалось выше, комплексное число также можно изображать радиус-вектором (рис. 4).
Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.
Модуль вычисляется по формуле:
То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.
Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как r или ρ.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: единичный выбор
Найдите модуль комплексного числа z=5-3i
- 4
- 5
Решим данное задание, используя определение модуля.
Т.к. Re z=5, Im z= -3, то искомое значение
Верный ответ: 2.
№2. Тип задания: рисование.
Изобразите вектором на комплексной плоскости точку z=2+3i
Разобьем z=2+3i на две части: z1=2 и z2= 3i. Отметим на плоскости точки О и А, соединим их:
🔍 Видео
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскостиСкачать
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математикаСкачать
Александр Чирцов про комплексные числа и вектораСкачать
10 класс, 33 урок, Комплексные числа и координатная плоскостьСкачать
11 класс, 10 урок, Извлечение корней из комплексных чиселСкачать
✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис ТрушинСкачать