Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Комплексные числа
Как изобразить комплексное число с помощью вектораАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Как изобразить комплексное число с помощью вектораСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКомплексно сопряженные числа
Как изобразить комплексное число с помощью вектораМодуль комплексного числа
Как изобразить комплексное число с помощью вектораДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Как изобразить комплексное число с помощью вектораИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Как изобразить комплексное число с помощью вектораАргумент комплексного числа
Как изобразить комплексное число с помощью вектораТригонометрическая форма записи комплексного числа
Как изобразить комплексное число с помощью вектораФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Как изобразить комплексное число с помощью вектораУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Как изобразить комплексное число с помощью вектораИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

По этой причине

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и Как изобразить комплексное число с помощью векторау которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Деление на нуль запрещено.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Тогда оказывается справедливым равенство:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Как изобразить комплексное число с помощью вектора(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Как изобразить комплексное число с помощью вектора(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
0φ = 2kπКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Первый
квадрант
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Положительная
мнимая
полуось
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Второй
квадрант
Как изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектораКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
ПримерыКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Расположение
числа z
Первый
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как изобразить комплексное число с помощью вектора
АргументКак изобразить комплексное число с помощью вектора
ПримерыКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Расположение
числа z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как изобразить комплексное число с помощью вектора
АргументКак изобразить комплексное число с помощью вектора
ПримерыКак изобразить комплексное число с помощью вектора
Расположение
числа z
Второй
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как изобразить комплексное число с помощью вектора
АргументКак изобразить комплексное число с помощью вектора
ПримерыКак изобразить комплексное число с помощью вектора

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение
числа z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и yТретий
квадрант
Знаки x и yОтрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и yЧетвёртый
квадрант
Знаки x и y
z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

4. Показательная форма комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Как изобразить комплексное число с помощью вектораи Как изобразить комплексное число с помощью векторазаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть Как изобразить комплексное число с помощью вектора— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z0 , где Как изобразить комплексное число с помощью вектораназывают такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

следствием которых являются равенства

Как изобразить комплексное число с помощью вектора(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

Как изобразить комплексное число с помощью вектора(10)

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса Как изобразить комплексное число с помощью векторас центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

то по формуле (10) получаем:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательнуюСкачать

Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательную

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i 0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть Как изобразить комплексное число с помощью вектора .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а yмнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и Как изобразить комплексное число с помощью вектора называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора Как изобразить комплексное число с помощью вектора . Длина вектора Как изобразить комплексное число с помощью вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Как изобразить комплексное число с помощью вектора называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа Как изобразить комплексное число с помощью вектора – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого k ( k =0;1;1;2;2…): Как изобразить комплексное число с помощью вектора , где arg zглавное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора Как изобразить комплексное число с помощью вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число Как изобразить комплексное число с помощью вектора можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол Как изобразить комплексное число с помощью вектора ( k =0;1;1;2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа Как изобразить комплексное число с помощью вектора в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z 1 имеем Как изобразить комплексное число с помощью вектора . Поэтому Как изобразить комплексное число с помощью вектора .

Для действительного числа Как изобразить комплексное число с помощью вектора . Поэтому

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов Как изобразить комплексное число с помощью вектора , и исходящим из конца вычитаемого Как изобразить комплексное число с помощью вектора в конец уменьшаемого Как изобразить комплексное число с помощью вектора (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел Как изобразить комплексное число с помощью вектора и Как изобразить комплексное число с помощью вектора . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z 1 и Как изобразить комплексное число с помощью вектора называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть Как изобразить комплексное число с помощью вектора , если Как изобразить комплексное число с помощью вектора .

Пусть Как изобразить комплексное число с помощью вектора , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби Как изобразить комплексное число с помощью вектора на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Как изобразить комплексное число с помощью вектора .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна Как изобразить комплексное число с помощью вектора .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна Как изобразить комплексное число с помощью вектора .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел Как изобразить комплексное число с помощью вектора , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть Как изобразить комплексное число с помощью вектора , если ω n = z .

Пусть Как изобразить комплексное число с помощью вектора , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: Как изобразить комплексное число с помощью вектора . Сравнивания части этого равенства, получим: Как изобразить комплексное число с помощью вектора . Отсюда Как изобразить комплексное число с помощью вектора (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого Как изобразить комплексное число с помощью вектора корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a ib Как изобразить комплексное число с помощью вектора

В разложение многочлена Как изобразить комплексное число с помощью вектора комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения Как изобразить комплексное число с помощью вектора , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Видео:Аргумент комплексного числа. Часть 1Скачать

Аргумент комплексного числа.  Часть 1

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №39. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. изображение комплексного числа на плоскости- точками;
  2. изображение комплексного числа на плоскости- векторами;

3) определение модуля комплексного числа.

Глоссарий по теме:

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b)

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке

Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображаются точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Пример. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; — i; — 1 + i; 2 – 3i (рис.3).

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Модуль комплексного числа

Как отмечалось выше, комплексное число также можно изображать радиус-вектором Как изобразить комплексное число с помощью вектора(рис. 4).

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число z=a+bi, называется модулем этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули комплексно сопряженных чисел равны. Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Иногда еще модуль комплексного числа обозначается как r или ρ.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Найдите модуль комплексного числа z=5-3i

  1. Как изобразить комплексное число с помощью вектора
  2. Как изобразить комплексное число с помощью вектора
  3. 4
  4. 5

Решим данное задание, используя определение модуля.

Т.к. Re z=5, Im z= -3, то искомое значение

Как изобразить комплексное число с помощью вектора

Верный ответ: 2. Как изобразить комплексное число с помощью вектора

№2. Тип задания: рисование.

Изобразите вектором на комплексной плоскости точку z=2+3i

Разобьем z=2+3i на две части: z1=2 и z2= 3i. Отметим на плоскости точки О и А, соединим их:

🔍 Видео

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскостиСкачать

1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскости

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математикаСкачать

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математика

Александр Чирцов про комплексные числа и вектораСкачать

Александр Чирцов про комплексные числа и вектора

10 класс, 33 урок, Комплексные числа и координатная плоскостьСкачать

10 класс, 33 урок, Комплексные числа и координатная плоскость

11 класс, 10 урок, Извлечение корней из комплексных чиселСкачать

11 класс, 10 урок, Извлечение корней из комплексных чисел

✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис ТрушинСкачать

✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: