Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 2. Найти А +В, если

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Задача 3. Найти АВ , если

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Задача 5. Найти Как дополнить вектор до ортогонального базиса , если

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 6. Найти Как дополнить вектор до ортогонального базиса , если

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 7. Вычислить определитель

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Мы сами можем проверить результат, Известно, что Как дополнить вектор до ортогонального базиса . Так ли это?

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Задача 11. Вычислить :

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Раскроем скобки и получим:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Так как Как дополнить вектор до ортогонального базиса , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Представим число z в тригонометрической форме.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса , следовательно, а=1, b =1 и Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Применим формулу Муавра:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса ,

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса , Как дополнить вектор до ортогонального базиса , Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса ; Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 Как дополнить вектор до ортогонального базиса х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z1, z2, z 3, z 4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k 1, k 2, k 3, k 4) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов Как дополнить вектор до ортогонального базиса и Как дополнить вектор до ортогонального базиса до ортонормированного базиса.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса , Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса , Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Пусть z = (z1, z2, z 3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e 1, e 2, e 3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e 1, e 2, e 3 — базис L , преобразование Как дополнить вектор до ортогонального базиса — проектирование L на координатную плоскость векторов e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x 1, x 2, x 3) — координаты вектора x в базисе e 1, e 2, e 3, т.е. x = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x 1, l x 2, 0) = l ( x 1, x 2, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e 1, e 2, e 3. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A j следующим образом:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Откуда следует, что

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е 1 , е2, е3, е4 имеет матрицу

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Выпишем матрицу перехода от базиса е 1234 к новому базису:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Теперь найдем матрицу преобразования В j в новом базисе по формуле В j =Т -1 А j Т.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

= (2 — Как дополнить вектор до ортогонального базиса )(3+ Как дополнить вектор до ортогонального базиса )(2+ Как дополнить вектор до ортогонального базиса )+3-2(3+ Как дополнить вектор до ортогонального базиса )-5(2+ Как дополнить вектор до ортогонального базиса ) =

= Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса +3-6-2 Как дополнить вектор до ортогонального базиса -10-5 Как дополнить вектор до ортогонального базиса =

= 12+4 Как дополнить вектор до ортогонального базиса -3 Как дополнить вектор до ортогонального базиса -7 Как дополнить вектор до ортогонального базиса -13 = Как дополнить вектор до ортогонального базиса ,

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Получим собственные значения: Как дополнить вектор до ортогонального базиса или Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Но, в тоже время, Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Беря значением Как дополнить вектор до ортогонального базиса = -1, получаем с.л.а .у . :

Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Таким образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению Как дополнить вектор до ортогонального базиса = -1, является вектор Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы: Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса ,

после чего получим Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса , получим, что Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Найдем невырожденное линейное преобразование.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса , Как дополнить вектор до ортогонального базиса , Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Решение: Приведем данную форму к каноническому виду:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса = =2 Как дополнить вектор до ортогонального базиса = Как дополнить вектор до ортогонального базиса

= Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса ,

Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса

получим канонический вид квадратичной формы:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса .

Видео:Ортогональное дополнение. ПримерСкачать

Ортогональное дополнение. Пример

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Видео:Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

y=begin y_1&cdots& y_n end^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] , a [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] .

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf,mathbfrangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] , а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] длина вектора [math]mathbf[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf|= sqrt[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf,mathbf_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf,mathbf_nrangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf= x_1 mathbf_1+ldots+x_n mathbf_n[/math] на [math]mathbf_1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Видео:§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

§48 Ортонормированный базис евклидова пространства

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^=S^T[/math] .

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det<G (mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Видео:Ортогональное дополнение. ТемаСкачать

Ортогональное дополнение. Тема

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] называются изоморфными [math](mathbbleftrightarrow mathbb’)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbfin mathbb[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb^n

(mathbfleftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbbleftrightarrow mathbb^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] пространства [math]mathbb[/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция вектора на подпространство

Пусть Е — евклидово пространство, а L — его подпространство. Множество L 1 — векторов в Е, ортогональных к каждому вектору подпространства L, называют ортогональным дополнением к подпространству L.

Теорема 8.6. Ортогональное дополнение IA к подпространству L евклидова пространства Е является подпространством в Е.

> Пусть уi,y2 € ZA. Тогда для любого вектора х ? L имеем: (ж, г/1) = 0 и (х,у2) = 0. Следовательно,

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

т.е. вектор у + у2 ортогонален любому вектору х € L. Это означает, что У12 € ZA. Мы доказали, что сумма любых двух векторов множества ZA принадлежит ZA. Аналогично для любого действительного числа Л и любого хL имеем:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

т.е. вектор Л у ортогонален любому вектору х е L, а значит, принадлежит ZA. Таким образом, множество ZA замкнуто относительно сложения векторов и умножения векторов на числа и, следовательно, является подпространством. ?

Теорема 8.7. Конечномерное евклидово пространство Е является прямой суммой любого своего подпространства L и его ортогонального дополнения ZA, т.е. ортогональное дополнение к подпространству является его прямым дополнением.

> Пусть в пространстве L выбран ортогональный базис, состоящий из векторов ai, 02, . а&. Дополним его до ортогонального базиса пространства Е векторами fk+i, fk+2, •••, fn и по построенному базису

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

разложим произвольный вектор х из Е. Тогда получим Как дополнить вектор до ортогонального базисагде положено

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Вектор у принадлежит подпространству Z, поскольку он является линейной комбинацией векторов базиса в L. Покажем, что вектор z принадлежит ортогональному дополнению LА Для этого замечаем, что по построению векторы fk+i, fk+2, fn ортогональны базисным

векторам ai, Это очевидное следствие теоремы о размерности суммы подпространств (см. теорему 4.23). ?

Следствие 8.3. Ортогональным дополнением к подпространству ZA является подпространство L.

> Так как каждый вектор из L ортогонален каждому вектору из ZA, то подпространство L содержится в (ZA)A Кроме того, выполняются соотношения Е = L 0 ZA, Е = (L— L )- L ф ZA, и по предыдущему следствию подпространства L и (ZA) 1 — имеют одинаковую размерность. Поэтому эти подпространства совпадают. ?

Следствие 8.4. Если L — подпространство в евклидовом пространстве Е, то любой вектор хЕ имеет разложение

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

где хо G L, х 1 — G /А. Такое разложение единственно.

> Это утверждение — фактически расшифровка утверждения, что Е = L Ф ZA. ?

Пример 8.9. В четырехмерном пространстве Е± скалярное произведение в заданном базисе определено формулой (8.5). Построить ортогональное дополнение ZA для подпространства L = (а^аг), где a, = (1,1,1, l) r , а2 = (1, -1,1,1) т .

Решение. Векторы а и а2 составляют базис в L. Дополним эту систему до базиса в Е± векторами Ъ и 62, удовлетворяющими условиям Как дополнить вектор до ортогонального базиса

и положим L = (61,62)- Векторы 61, 62 являются решениями системы из двух уравнений (ai,x) = 0, (а,2,х) = 0, и в качестве их можно взять любую фундаментальную систему решений, например, 61 = (—1,0,1,0) т , 62 = (—1,0,0,1) т . Из выбора векторов 61 и 62 следует, что они составляют базис в L L , т.е. L = L L . ?

Пусть L — подпространство евклидова пространства Е. Каждый вектор у ? Е может быть единственным способом представлен в виде

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

где уо ? L, а вектор у 1 — ортогонален к каждому вектору из L, т.е. у 1 — ? L х . Вектор уо называют ортогональной проекцией вектора у на пространство L и обозначают прьУ, а вектор y L называют ортогональной составляющей вектора у. Очевидно, что если у ? L, то прьу = у, и, наоборот, если прьу = : Действительно, пусть у — произвольный вектор, опущенный из конца вектора х на подпространство L и х 1 — — ортогональная составляющая вектора х, т.е. перпендикуляр, опущенный из конца вектора х на подпространство L. Тогда

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

поскольку концы векторов у их 1 лежат в L. Поэтому

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

так как векторы у — х 1 — их 1 ортогональны. ?

Доказанные утверждения является естественным обобщением известного из элементарной геометрии утверждения о том, что перпендикуляр короче любой наклонной, опущенной из той же точки на плоскость.

Длину ортогональной составляющей х 1 — вектора х принимают за кратчайшее расстояние от вектора х до подпространства L.

Ортогональная проекция вектора у на подпространство L является частным случаем проекции вектора на подпространство параллельно подпространству L2, являющемуся прямым дополнением к L (см. разд. 4.11). В случае ортогональной проекции Ь2 = Ь 1 .

На практике при отыскании ортогональной проекции вектора х на подпространство L = (ai, а2, •••?> &fc) поступают следующим образом. В разложении

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

вектора х на ортогональную проекцию жо = npLT и ортогональную составляющую х 1 — вектор Xq можно представить в виде линейной комбинации Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Тогда равенство х = Хо + х 1 принимает вид:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Для отыскания коэффициентов oi, 02, . о& умножим равенство (8.16) скалярно на векторы а, а2, . ак- Учитывая, что (а^аг 1- ) = = 2,х ± ) = . = (ак,х?*?) = 0, получаем систему линейных уравнений

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

относительно неизвестных оц, а2, . а к. Из этой системы находят коэффициенты oi, а2, . о^. В матричной форме равенство (8.15) и система (8.17) записываются в виде

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

где А = (oi, а2. а*,) — матрица, для которой столбцами являются столбцы координат векторов а, а2, . а&; о (01,02, . о*;) т — столбец высоты к. Использование системы (8.17), или, что тоже самое системы (8.19), указывает на то (см. п.8.21), что отыскание коэффициентов ai, а2, . ак для равенства (8.15) равносильно решению методом наименьших квадратов системы А о = х с неизвестным столбцом

Если система векторов oi, 2, • ••, ftfc линейно независимая, то в равенстве (8.19) матрица А т А невырожденная, так как она представляет собой матрицу Грама этой системы векторов (см. теорему 8.1). В этом случае из уравнения (8.19) однозначно определяется столбец а: Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Учитывая равенство (8.18), заключаем, что Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Пример 8.10. Для вектора х = (3,6,0) т найти ортогональную проекцию Xq на подпространство L = (а^аг) и ортогональную составляющую т х , если ay = (1, —1,0) т , т .

Решение. Запишем xq = npL.x в виде хд = ау ау + Коэффициенты ау и «2 можно найти, решив систему (8.17), которая в данном случае имеет вид:

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Вычислим все скалярные произведения. В результате получим

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Решая систему относительно неизвестных од иаг, находим, что од = = су2 = 3. Таким образом, пр/,т = Зау + Заг = (0,3,3) т и х^ = = х — npLT = (3,3, —3) т .

Поскольку векторы а у, а2 линейно независимые, то можно также воспользоваться формулой (8.20). Вычислив

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Как дополнить вектор до ортогонального базиса Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Заметим, что если е = (ei, е2п) — ортоиормированный базис в евклидовом пространстве Е, а подпространство L является линейной оболочкой части базисных векторов, например, L = (ei, е2. е*,), то для любого вектора

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

ортогональная проекция прь-т совпадает с суммой слагаемых в разложении х по базису, соответствующих векторам, порождающим L. а ортогональная проекция — с суммой всех остальных слагаемых, т.е.

Как дополнить вектор до ортогонального базиса

Например, для вектора х = (1,2, 3,4,5) т проекция на подпространство L = (б1,е2,ез) равна Xq = (1,2,3,0,0) т , и его ортогональная составляющая х 1 — = (0,0,0,4, 5) т . ?

💡 Видео

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейная оболочка. Базис и размерность

Базис линейного пространства (01)Скачать

Базис линейного пространства (01)

Ортогональное дополнение (задача 1366)Скачать

Ортогональное дополнение (задача 1366)

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.

ОртогональностьСкачать

Ортогональность

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

2 42 Ортогональность векторовСкачать

2 42 Ортогональность векторов

Ортогональность. ТемаСкачать

Ортогональность. Тема
Поделиться или сохранить к себе: