Дана окружность радиуса r четыре окружности (7 видео)

Дана окружность радиуса r четыре окружности

Содержание

Разделы
Дополнительно
Задача по математике — 4192
Задача по математике — 4193
Задача по математике — 4194
Задача по математике — 4195
Задача по математике — 4196
Задача по математике — 4197
Задача по математике — 4198
Задача по математике — 4199
Задача по математике — 4200
Задача по математике — 4201
Задача по математике — 4202
Задача по математике — 4203
Задача по математике — 4204
Задача по математике — 4205
Задача по математике — 4206
Дана окружность радиуса r четыре окружности
Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514
Главная > Документ
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
📸 Видео

Видео:№640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательныеСкачать

Разделы

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Дополнительно

Задача по математике — 4192

Каждая из трёх окружностей радиуса $r$ касается двух других. Найдите площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям.

Задача по математике — 4193

Каждая из трёх окружностей радиуса $r$ касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключёнными между точками касания.

Задача по математике — 4194

Две окружности радиуса $r$ касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса $R$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Найдите радиус $r$, если $AB=12$, $R=8$.

Задача по математике — 4195

Две окружности радиуса $r$ касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса $R$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Найдите радиус $R$, если $AB=11$, $r=5$.

Задача по математике — 4196

Две касающиеся окружности с центрами $O_$ и $O_$ касаются внутренним образом окружности радиуса $R$ с центром $O$. Найдите периметр треугольника $OO_O_$.

Задача по математике — 4197

Дана окружность радиуса $R$. Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четырёх окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырёх окружностей.

Задача по математике — 4198

В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.

Задача по математике — 4199

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ взята точка $M$ так, что $AM=a$, $MC=b$. В треугольники $ABM$ и $CBM$ вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком $BM$.

Задача по математике — 4200

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BCD$, касаются стороны $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=3$, $MD=2$, $DN=2$, $NC=4$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Задача по математике — 4201

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность радиуса $frac<sqrt>$, вписанная в треугольник $ABD$, касается стороны $AB$ в точке $M$, а окружность радиуса $sqrt$, вписанная в треугольник $BCD$, касается стороны $BC$ в точке $N$. Известно, что $BM=6$, $BN=5$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Задача по математике — 4202

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$ так, что окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BCD$, касаются. Известно, что $AD=2$, $CD=4$, $BD=5$. Найдите радиусы окружностей.

Задача по математике — 4203

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность $S_$, вписанная в треугольник $ABD$, касается отрезка $BD$ в точке $M$; окружность $S_$, вписанная в треугольник $BCD$, — в точке $N$. Отношение радиусов окружностей $S_$ и $S_$ равно $frac$. Известно, что $BM=3$, $MN=ND=1$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Задача по математике — 4204

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найдите углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры этих окружностей, если высота исходного треугольника равна $h$.

Задача по математике — 4205

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB$ и $AC$ равны 4 и 3 соответственно. Точка $D$ делит гипотенузу $BC$ пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ADC$ и $ABD$.

Задача по математике — 4206

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=sqrt$, $BC=4$, $AC=sqrt$ проведена медиана $BD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $MN$.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Дана окружность радиуса r четыре окружности

§ 23. Метод геометрических мест точек в задачах на построение

Известно, что если смешать синий и жёлтый цвета, то получим зелёный.

Пусть на плоскости надо найти точки, обладающие какими-то двумя свойствами одновременно. Если синим цветом покрасить точки, обладающие первым свойством, а жёлтым — обладающие вторым свойством, то понятно, что зелёные точки будут обладать сразу двумя свойствами. В этом и состоит идея метода ГМТ, которую проиллюстрируем следующими задачами.

Задача 1. Постройте треугольник по трём данным его сторонам.

Решение. Пусть даны три отрезка, длины которых равны a , b , c (рис. 327). Надо построить треугольник ABC , в котором AB = c , AC = b , BC = a .

Проведём произвольную прямую. С помощью циркуля отложим на ней отрезок CB , равный a (рис. 328). Понятно, что задача свелась к построению третьей вершины треугольника, точки A .

Воспользуемся тем, что точка A обладает сразу двумя свойствами:

1) принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точки B на расстояние c , т. е. окружности с центром в точке B радиуса с (см. рис. 328);

2) принадлежит геометрическому месту точек, равноудалённых от точки C на расстояние b , т. е. окружности с центром в точке С радиуса b (см. рис. 328).

В качестве точки A можно выбрать любую из двух образовавшихся зелёных точек.

Полученный треугольник ABC является искомым, так как в нём AB = c , AC = b , BC = a .

Из описанного построения следует, что если каждый из трёх данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Задача 2. Постройте фигуру, все точки которой принадлежат данному углу, равноудалены от его сторон и находятся на заданном расстоянии a от его вершины.

Решение. Искомые точки принадлежат сразу двум геометрическим местам точек: биссектрисе данного угла и окружности с центром в его вершине и радиусом, равным a .

Построим биссектрису угла и указанную окружность (рис. 329). Их пересечением является искомая точка X .

Задача 3. Постройте центр окружности радиуса R , проходящей через данную точку M и касающуюся данной прямой a .

Решение. Поскольку окружность касается прямой a , то её центр находится на расстоянии R от этой прямой. Геометрическим местом точек, удалённых от данной прямой на данное расстояние, являются две параллельные прямые (см. упражнение 498). Следовательно, центр окружности находится на прямой b или на прямой с (рис. 330).

Геометрическое место точек, являющихся центрами окружностей радиуса R , проходящих через точку M , — это окружность данного радиуса с центром в точке M . Поэтому в качестве центра искомой окружности можно выбрать любую из точек пересечения окружности с одной из прямых b или с (рис. 331).

Построение для случая, когда данная точка принадлежит данной прямой, рассмотрите самостоятельно.

Задача 4. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Решение. Построим окружность данного радиуса и проведём хорду AB , равную стороне искомого треугольника. Тогда концы хорды являются двумя вершинами искомого треугольника. Понятно, что третья вершина принадлежит одновременно построенной окружности и окружности с центром в точке O , являющейся серединой хорды AB , и радиусом, равным данной медиане. Каждый из треугольников ABС 1 и ABС 2 (рис. 332) является искомым. Поскольку эти треугольники равны, то задача имеет единственное решение.

622. Даны прямая m и точки A и B вне её (рис. 333). Постройте на прямой m точку, равноудалённую от точек A и B .

623. Точки A и B принадлежат прямой m . Постройте точку, удалённую от прямой m на расстояние a и равноудалённую от точек A и B . Сколько решений имеет задача?

624. Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A , причём АВ ≠ АС . Постройте точку M , принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что MB = MC .

625. Точки B и C принадлежат разным сторонам угла A . Постройте точку D , принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что DC = BC . Сколько решений может иметь задача?

626. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.

627. Для данной окружности постройте точку, являющуюся её центром.

628. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, центр которой принадлежит данной прямой.

629. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

630. Найдите все точки, принадлежащие данной окружности и равноудалённые от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?

631. Даны две пересекающиеся прямые m и n и отрезок AB . Постройте на прямой m точку, удалённую от прямой n на расстояние AB . Сколько решений имеет задача?

632. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°. На катете AC постройте точку D , удалённую от прямой AB на расстояние CD .

633. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

634. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из данных сторон.

635. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

636. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

637. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

638. Между двумя параллельными прямыми дана точка. Постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых. Сколько решений имеет задача?

639. Постройте окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся данной прямой m в данной точке B .

640. Даны две параллельные прямые и секущая. Постройте окружность, касающуюся этих трёх прямых.

641. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

642. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

643. Постройте равносторонний треугольник по радиусу описанной окружности.

644. Три прямые попарно пересекаются и не проходят через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от всех трёх прямых. Сколько решений имеет задача?

645. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

646. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме катетов.

647. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности катетов.

648. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности гипотенузы и другого катета.

649. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и разности боковой стороны и высоты, опущенной на основание.

650. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.

651. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон.

652. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и разности двух других сторон.

653. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и сумме двух других сторон.

654. Постройте треугольник по стороне, разности углов, прилежащих к этой стороне, и сумме двух других сторон.

655. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

656. Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

657. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности.

658. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

659. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Упражнения для повторения

660. На рисунке 334 ∠ A = 46°, ∠ ACB = 68°, ∠ DEC = 120°. Найдите углы треугольников EFC и DBE .

661. Через середину O стороны MK треугольника MKN провели прямую, перпендикулярную стороне MK и пересекающую сторону MN в точке C . Известно, что MC = KN , ∠ N = 50°. Найдите угол MCO .

662. В треугольнике ABC из вершины прямого угла C провели высоту CH и биссектрису CM . Длина отрезка HM в 2 раза меньше длины отрезка CM . Найдите острые углы треугольника ABC .

663. На рисунке 335 BD = DC , DN ⊥ BC , ∠ BDM = ∠ MDA . Найдите сумму углов MBN и BMD .

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

664. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 336, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Когда сделаны уроки

Из истории геометрических построений

Умение достигать результат, используя минимальные средства, всегда считалось признаком высокого мастерства. Видимо, поэтому в Древней Греции в значительной степени было развито искусство выполнять геометрические построения с помощью только двух инструментов: дощечки с ровным краем (линейки) и двух заострённых палочек, связанных на одном конце (циркуля). Такое ограничение в выборе инструментов историки связывают с древнегреческой традицией, считавшей прямую и окружность самыми гармоничными фигурами. Так, в своей книге «Начала» великий учёный Евклид описывал построения геометрических фигур, при которых использовались лишь циркуль и линейка.

Существует много задач на построение. С некоторыми из них вы уже успели познакомиться. Однако есть три задачи на построение, которые сыграли в развитии математики особую роль. Эти задачи стали знаменитыми.

Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

Задача о трисекции угла (от латинских tria — «три» и section — «разрезание») . Разделить угол на три равные части.

Задача об удвоении куба. Построить куб, объём которого в 2 раза больше объёма данного куба.

Эти задачи занимали умы людей на протяжении тысячелетий. Их пытались решить и такие выдающиеся учёные древности, как Гиппократ Хиосский, Евдокс Книдский, Евклид, Эратосфен, Аполлоний Пергский, Герон, Папп, Платон, Архимед, и гении Нового времени Рене Декарт, Франсуа Виет, Исаак Ньютон. И лишь в середине XIX века была доказана их неразрешимость, т. е. невозможность выполнить указанные построения с использованием лишь циркуля и линейки. Этот результат был получен средствами не геометрии, а алгебры, благодаря переводу этих задач на язык уравнений.

Когда вы решали задачи на построение, особенно те, которые отмечены знаком , вы, по-видимому, испытали сложности, связанные с ограниченностью набора инструментов. Поэтому предложение ещё больше сузить возможности применяемых приборов может показаться вам по меньшей мере неожиданным. Однако ещё в Х веке персидский математик Мохаммед Абу-ль-Вефа описал решение целого ряда задач на построение с помощью линейки и циркуля, раствор которого нельзя было менять. Совсем удивительной является теорема, опубликованная в 1797 году итальянским математиком Лоренцо Маскерони (1750–1800): всякое построение, выполнимое циркулем и линейкой, можно проделать одним циркулем. При этом Маскерони обусловливал следующее: поскольку одним циркулем провести прямую нельзя, то прямая считается построенной, если построены какие-нибудь две её точки.

В ХХ веке была обнаружена книга датского учёного Георга Мора (1640–1697), в которой он также описал построения одним циркулем. Поэтому сформулированную выше теорему называют теоремой Мора — Маскерони.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Учебное пособие. Пенза-2012 удк 514

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

§ 13. Площадь круга и его частей.

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга , а данное расстояние радиусом круга .

Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 1).

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга (рис. 2, 3).

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус:

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

где R – радиус круга, п  – градусная мера соответствующего центрального угла. Если центральный угол  задан в радианах, то:

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле:

где п  – градусная мера соответствующего центрального угла, который содержит круговой сегмент; – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.

Знак «–» надо ставить тогда, когда (рис. 2).

Знак «+» надо ставить тогда, когда (рис. 3).

Задача 1. В круг радиуса R вписаны три равных круга, касающихся данного и попарно друг друга. Вычислить площадь криволинейной фигуры, заключенной между точками касания этих кругов.

Искомая площадь Q равна площади равностороннего треугольника АВС без утроенной площади сектора Аnm. Пусть радиус вписанной окружности равен r , тогда АВ = 2 r , откуда:

Найдем r : , , отсюда

, то есть .

Тогда .

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со стороной а . Радиусы этих кругов равны а . Определить площадь их общей части.

В круг радиуса R вписаны шесть равных кругов, каждый из которых касается данного круга и двух соседних. Вычислить площадь фигуры, ограниченной этими шестью кругами.

Найти радиус круга, если площадь круга на Q квадратных единиц больше вписанного в него правильного двенадцатиугольника.

Окружность радиуса R с центром в точке О разделена точками А, В, С, D, Е, F на шесть равных частей. Определить площадь фигуры СОЕ, ограниченной дугой ОС с центром в точке В, дугой ОЕ с центром в точке F и дугой СЕ с центром в точке А.

круг с центром на стороне АВ треугольника АВС касается двух других его сторон. Найти площадь круга, если длины сторон треугольника 13, 14 и 15 см.

Из точки, взятой на окружности радиуса R , проведены две равные хорды. Угол между хордами равен  . Найти площадь части круга, заключенной между этими хордами.

Доказать, что площадь круга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, равновелика сумме площадей кругов, построенных на катетах.

На сторонах ромба описаны как на диаметрах полуокружности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и b . Определить площадь полученной розетки.

Между точками А и В проведены две дуги, обращенные выпуклостью в одну сторону: дуга АМВ содержит 240, дуга АNВ – 120. Расстояние между серединами этих дуг равно а . Определить площадь луночки.

Два круга одинакового радиуса расположены так, что расстояние между их центрами равно радиусу. Найти отношение площади пересечения кругов и площади вписанного в это пересечение квадрата.

Контрольная работа №1.

«Треугольники. Четырехугольники. Окружности».

В прямоугольном треугольнике CNP из вершины N прямого угла проведены биссектриса NК и медиана NМ. Найти катеты треугольника CNP, если , .

Один из углов трапеции равен , а боковые стороны при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия и одно из оснований равны соответственно 10 и 8 см.

Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника равно k. Найти косинус угла при основании треугольника.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Вариант 2

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, делящая гипотенузу на отрезки m и n. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.

Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4 см, а длины непараллельных сторон – 20 и 13см. Найти высоту трапеции.

В окружность вписан равнобедренный треугольник, основание которого равно , а угол при основании равен . Кроме того, вне треугольника построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причем точка касания является серединой основания. Найти радиус второй окружности.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Вариант 3

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на стороне ВС взята точка М так, что . Найти отношение ВК к КЕ, если ВЕ – высота треугольника, а К – точка пересечения ВЕ и АМ.

К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12см и высотой 8см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника.

Величина одного из углов параллелограмма равна 60 0 , а меньшая диагональ равна см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к большой стороне, равна см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Вариант 4

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

Основания равнобедренной трапеции a и b, острый угол . Найти радиус описанной окружности.

Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол . Найти отношение радиусов.

Контрольная работа №2.

Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно p , а угол при меньшем основании равен 120 .

Отношение величин двух углов треугольника равно 2, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см. Длина третьей стороны равна 5 см. Вычислить площадь треугольника.

В равносторонний треугольник АВС со стороной 2 см вписан круг. Точка А является центром второго круга с радиусом 1 см. Найти площадь пересечения этих кругов.

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота, трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга.

В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Найти площадь треугольника.

Центр равностороннего треугольника со стороной, равной 6 см, совпадает с центром окружности радиуса 2 см. Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8. Определить стороны трапеции, если угол при основании содержит 30 .

В треугольнике АВС известны: АВ=13 см, ВС=15 см, АС=14 см. Найти площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.

Сторона правильного треугольника равна a . Определить площадь части треугольника, лежащей вне круга радиуса a /3 , центр которого совпадает с центром треугольника.

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в 2 раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.

Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и медианой, проведенными к большей по величине стороне.

Внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найдите площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

Треугольник вписан в окружность радиуса 12. Известно, что и . Найдите .

(Ответ: )

Точки , и – основания высот треугольника . Углы треугольника равны 90 о , 60 о и 30 о . Найдите углы треугольника .

(Ответ: или

или или )

Высоты треугольника пересекаются в точке H. Известно, что . Найдите угол .

(Ответ: или )

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке H. Известно, что отрезок СH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

(Ответ: или )

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.

Медиана и биссектриса прямоугольного треугольника () пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если , .

(Ответ: )

На сторонах , и треугольника взяты соответственно точки и , причем , , . В каком отношении отрезок делит отрезок ?

Около треугольника описана окружность с центром , угол равен 60 о . В треугольник вписана окружность с центром . Найдите угол .

(Ответ: или )

В треугольнике проведены высоты и , – центр вписанной окружности. Известно, что , . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника . (Ответ: 24 или )

Точки D и E – основания высот непрямоугольного треугольника АВС, проведенных из вершин А и С соответственно. Известно, что , и . Найдите сторону АС.

(Ответ: или )

В треугольнике АВС АВ=6, ВС=8, АС=4. Точка D лежит на прямой ВС так, что . Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом при вершине А. Точка D – середина гипотенузы. Точка симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол .

(Ответ: , если , , если )

Точки K, M и N лежат на сторонах соответственно АВ, ВС и АС треугольника АВС, причем AMKN – параллелограмм, площадь которого составляет площади треугольника АВС. Найдите диагональ MN параллелограмма, если известно, что АВ=21, АС=12 и .

(Ответ: 13 или )

Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании равен 0,8.

(Ответ: 18 или 21)

В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P – точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом . На двух его сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

(Ответ: или )

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так, что . Найдите ВС, если АВ=12.

(Ответ: 44 или )

В параллелограмме ABCD известны стороны , и . Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ВСD и DAB.

(Ответ: )

Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами АВ=36, CD=34 и верхним основанием ВС=10. Известно, что . Найдите BD. (Ответ: 36 или )

Основания трапеции равны и . Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как . Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.

(Ответ: или)

Периметр равнобочной трапеции равен 52. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причем боковая сторона делится точкой касания в отношении . Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

(Ответ: или )

В трапеции известны боковые стороны , и верхнее основание . Известно, что . Найдите .

(Ответ: 28 или )

Прямая касается окружностей радиусов и в точках и . Известно, что расстояние между центрами равно , причем и . Найдите .

(Ответ: или )

Окружности с центрами и пересекаются в точках и . Известно, что , , . Найдите радиусы окружностей.

(Ответ: или)

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину стороны и пересекает в точке продолжение стороны за точку А, причем . Найдите площадь треугольника АВС, если . (Ответ: )

Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке . Через точку проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке , а большую – в точке . Известно, что Найдите

Окружности и радиусов и соответственно касаются в точке . Через точку , лежащую на окружности , проведена прямая, касающаяся окружности в точке . Найдите , если известно, что .

(Ответ: )

Точка — центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса взята точка . Через точку проведена прямая, касающаяся окружности в точке . Известно, что . Найдите радиус окружности, вписанной в угол и касающейся данной окружности внешним образом.

(Ответ: )

Дана окружность радиуса 2 с центром . Хорда пересекает радиус в точке , причем . Найдите радиус окружности, вписанной в угол и касающейся дуги , если .

(Ответ: или )

Окружности с центрами и радиуса пересекаются в точке . Радиус окружности с центром перпендикулярен , причем точки и лежат по одну сторону от прямой . Окружность касается меньших дуг и этих окружностей, а также прямой , а окружность касается окружности с центром , прямой и окружности . Найдите отношение радиуса окружности к радиусу окружности .