Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса

Задача 2. Найти А +В, если

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса .

Задача 3. Найти АВ , если

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса .

Задача 5. Найти Как дополнить вектор до базиса , если

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса

Задача 6. Найти Как дополнить вектор до базиса , если

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса

Задача 7. Вычислить определитель

Как дополнить вектор до базиса

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Мы сами можем проверить результат, Известно, что Как дополнить вектор до базиса . Так ли это?

Как дополнить вектор до базиса

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Как дополнить вектор до базиса

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса .

Задача 11. Вычислить :

Как дополнить вектор до базиса

Раскроем скобки и получим:

Как дополнить вектор до базиса

Так как Как дополнить вектор до базиса , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Как дополнить вектор до базиса

Представим число z в тригонометрической форме.

Как дополнить вектор до базиса , следовательно, а=1, b =1 и Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса .

Применим формулу Муавра:

Как дополнить вектор до базиса ,

Как дополнить вектор до базиса

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Как дополнить вектор до базиса , Как дополнить вектор до базиса , Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса ; Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 Как дополнить вектор до базиса х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z1, z2, z 3, z 4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Как дополнить вектор до базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k 1, k 2, k 3, k 4) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Как дополнить вектор до базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов Как дополнить вектор до базиса и Как дополнить вектор до базиса до ортонормированного базиса.

Как дополнить вектор до базиса , Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса , Как дополнить вектор до базиса

Пусть z = (z1, z2, z 3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Как дополнить вектор до базиса

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e 1, e 2, e 3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e 1, e 2, e 3 — базис L , преобразование Как дополнить вектор до базиса — проектирование L на координатную плоскость векторов e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x 1, x 2, x 3) — координаты вектора x в базисе e 1, e 2, e 3, т.е. x = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x 1, l x 2, 0) = l ( x 1, x 2, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e 1, e 2, e 3. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A j следующим образом:

Как дополнить вектор до базиса .

Откуда следует, что

Как дополнить вектор до базиса .

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е 1 , е2, е3, е4 имеет матрицу

Как дополнить вектор до базиса .

Выпишем матрицу перехода от базиса е 1234 к новому базису:

Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса .

Теперь найдем матрицу преобразования В j в новом базисе по формуле В j =Т -1 А j Т.

Как дополнить вектор до базиса

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Как дополнить вектор до базиса

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Как дополнить вектор до базиса

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Как дополнить вектор до базиса

= (2 — Как дополнить вектор до базиса )(3+ Как дополнить вектор до базиса )(2+ Как дополнить вектор до базиса )+3-2(3+ Как дополнить вектор до базиса )-5(2+ Как дополнить вектор до базиса ) =

= Как дополнить вектор до базиса Как дополнить вектор до базиса +3-6-2 Как дополнить вектор до базиса -10-5 Как дополнить вектор до базиса =

= 12+4 Как дополнить вектор до базиса -3 Как дополнить вектор до базиса -7 Как дополнить вектор до базиса -13 = Как дополнить вектор до базиса ,

Как дополнить вектор до базиса

Получим собственные значения: Как дополнить вектор до базиса или Как дополнить вектор до базиса .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: Как дополнить вектор до базиса .

Но, в тоже время, Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Беря значением Как дополнить вектор до базиса = -1, получаем с.л.а .у . :

Как дополнить вектор до базиса Как дополнить вектор до базиса Как дополнить вектор до базиса

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Таким образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению Как дополнить вектор до базиса = -1, является вектор Как дополнить вектор до базиса .

Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы: Как дополнить вектор до базиса .

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса ,

после чего получим Как дополнить вектор до базиса Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса , получим, что Как дополнить вектор до базиса .

Найдем невырожденное линейное преобразование.

Как дополнить вектор до базиса , Как дополнить вектор до базиса , Как дополнить вектор до базиса .

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

Как дополнить вектор до базиса .

Решение: Приведем данную форму к каноническому виду:

Как дополнить вектор до базиса = =2 Как дополнить вектор до базиса = Как дополнить вектор до базиса

= Как дополнить вектор до базиса .

Как дополнить вектор до базиса Как дополнить вектор до базиса

Как дополнить вектор до базиса Как дополнить вектор до базиса ,

Как дополнить вектор до базиса Как дополнить вектор до базиса

получим канонический вид квадратичной формы:

Как дополнить вектор до базиса .

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

87. Базис и ранг системы векторов. Теорема о базисах

Пусть V векторное пространство над полем Р, S — система векторов из V.

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема B1, B2, . BR системы S, что любой вектор системы S линейная комбинация векторов B1, B2, . BR.

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S. Обозначается ранг системы векторов S символом R = rangS.

Если S = <0>, то система не имеет базиса и предполагается, что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов A1 = (1,2), A2 = (2,3), A3 = (3,5), A4 = (1,3). Вектора A1 , A2 образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и A3 = A1 + A2 , A4 = 3A1 — A2 . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть S — конечная система векторов из V , S ≠<0>. Тогда справедливы утверждения.

1° Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2° Система S обладает базисом.

2° Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов, т. е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4° Если R = rangS, то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5° Если R = rangS, То любые k > r векторов системы S линейно зависимы.

6° Любой вектор A € S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т. е., если B1, B2, . BR базис системы S, то

И такое представление единственно.

В силу 5° базис это Максимально линейно независимая подсистема системы S, а ранг системы S число векторов в такой подсистеме.

Представление вектора A в виде (1) называется Разложением вектора по векторам базиса, а числа a1, a2, . ar называются Координатами вектора A В данном базисе.

Доказательство. 1° Пусть B1, B2, . BK — линейно независимая подсистема системы S. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора нашей подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через вектора B1, B2, . BK , то обозначим его через BK+1 . Тогда системы B1, B2, . BK , BK+1 — линейно независима. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора этой подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через B1, B2, . BK , BK+1, то повторим рассуждения. Продолжая этот процесс, мы либо придем к базису системы S , либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Так как в системе S конечное число векторов, то вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно и на некотором шаге получим базис системы S.

2° Пусть S конечная система векторов и S ≠<0>. Тогда в системе S есть вектор B1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S . По первой части его можно дополнить до базиса системы S . Таким образом система S обладает базисом.

3° Допустим, что система S имеет два базиса:

По определению базиса система векторов (2) линейно независима и (2) Í S . Далее по определению базиса каждый вектор системы (2) линейная комбинация векторов системы (3). Тогда по основной теореме о двух системах векторов R £ S. Аналогично доказавается, что S £ R. Из этих двух неравенств следует R = S.

4° Пусть R = rangS, A1, A2, . AR — линейно независимая подсистема S. Покажем, что она является базисом систем S. Если она не является базисом, то по первой части ее можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, . AR, AR+1. AR+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

5° Если K векторов A1, A2, . AK (K > R) системы S — линейно независимы, то по первой части эту систему векторов можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, . AK, AK+1. AK+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

6° Пусть B1, B2, . BR базис системы S. По определению базиса любой вектор AS есть линейная комбинация векторов базиса:

Доказывая единственность такого представления допустим противное, что есть еще одно представление:

Вычитая равенства почленно находим

Так как базис B1, B2, . BR линейно независимая система, то все коэффициенты ai — bi =0; I = 1, 2, . R. Следовательно, ai = bi ; I = 1, 2, . R и единственность доказана.

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Видео:Ортогональное дополнение. ПримерСкачать

Ортогональное дополнение. Пример

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 — x 2 ) , . . . , ( x

n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3

1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5

1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x

1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x

2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

🎥 Видео

Ортогональное дополнение (задача 1366)Скачать

Ортогональное дополнение (задача 1366)

Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Базис линейного пространства (01)Скачать

Базис линейного пространства (01)

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Матрица переходаСкачать

Матрица перехода

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

Линейная оболочка. Базис и размерность

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Ортогональность. ТемаСкачать

Ортогональность. Тема

Базис линейного пространства. Матрица переходаСкачать

Базис линейного пространства. Матрица перехода

Линейная зависимость векторовСкачать

Линейная зависимость векторов

ОртогональностьСкачать

Ортогональность

§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

§48 Ортонормированный базис евклидова пространства

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2
Поделиться или сохранить к себе: