Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Диагональ треугольника – формула

Очень часто в начале изучения фигуры ученики путают значение диагонали прямоугольника и треугольника. Поэтому, чтобы не путаться в обозначениях, лучше разобраться в тематике раз и навсегда.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Треугольник

Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Треугольник имеет три характеризующих отрезка:

Треугольник не может иметь диагональ в принципе. Дело в том, что диагонали могут быть проведены только в многоугольниках, количество сторон которых больше 3.

Почему так? Потому что диагональ это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В треугольнике противоположных вершин нет и быть не может. Существует сторона, противоположная вершине, но сами по себе вершины всегда смежные, т.е. соединенные одной стороной. Значит, диагонали треугольника не существует

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Рис. 1. Три медианы в треугольнике.

Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника

Прямоугольник

Прямоугольник – это первая фигура школьного курса математики, которая имеет диагональ. Так же, как диагональ имеет и квадрат.

Диагональ прямоугольника или квадрата всегда:

  • Делит фигуру на две равных прямоугольных треугольника.
  • В полученных треугольниках диагональ будет являться гипотенузой
  • Диагональ будет равняться корню квадратному из суммы квадратов катетов согласно теореме Пифагора

Диагоналей в любом четырехугольнике 2, а в квадрате и прямоугольнике обе диагонали равны между собой.

При этом правило не касается других четырехугольников. Например, диагонали параллелограмма всегда неравны между собой. Запомните, если перед вами произвольный четырехугольник использовать утверждение о равенстве диагоналей без доказательства нельзя. Любое утверждение в геометрии, кроме аксиом должно быть доказано.

Кроме прямоугольника и квадрата равными диагоналями обладает ромб. При этом диагонали ромба перпендикулярны друг другу и, так же, как и диагонали квадрата и прямоугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Видео:как найти диагональ.Скачать

как найти диагональ.

Многоугольник

На самом деле, многоугольником может называться любая фигура с количеством углов, больше 2. По факту, любая фигура может называться многоугольником, поскольку 2 угла у замкнутой фигуры быть не может.

Рассмотрим многоугольники с количеством углов больше 4, поскольку четырехугольники мы уже рассмотрели.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Рис. 2. Диагонали многоугольника.

В многоугольнике, если он не является правильным, не получится решить задачу нахождения диагонали без дополнительных построений. В правильном многоугольнике все диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Правильным многоугольником зовется фигура, все стороны и углы которой соответственно равны между собой.

Количество диагоналей можно посчитать, прикинув количество смежных и несмежных вершин. Смежными зовутся вершины, соединенные одним отрезком.

Например, в четырехугольнике у любой вершины есть две смежные вершины. Значит, для каждой вершины есть только одна диагональ. Диагональ соединяет две противоположные вершины, всего вершин 4, значит 4:2=2 – в любом четырехугольнике 2 диагонали.

Но этот способ не подойдет, если в задаче требуется подсчитать количество диагоналей у многоугольника с 5989 сторонами. Такая фигура вполне возможна в теории. На практике начертить ее весьма утомительно, как и подсчитать диагонали на чертеже. Поэтому была выведена формула числа диагоналей многоугольника:

$P=<n(n-3)over>$ – где n это число сторон многоугольника.

Проверим для квадрата:

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Рис. 3. Диагонали квадрата.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Что мы узнали?

Мы узнали, почему не существует формулы диагонали треугольника. Поговорили о том, что диагонали в принципе нет, и не может быть в многоугольниках с количеством сторон, меньше 3. Обсудили различные свойства диагоналей в различных фигурах.

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

Стороны равностороннего треугольника

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Видео:Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства

В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны. Стороны меняют свое значение в зависимости от размеров треугольника, а углы всегда равны 60 градусам. Зная сторону равностороннего треугольника можно вычислить все остальные его параметры по упрощенным формулам. Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, а площадь – квадрату стороны, умноженному на отношения корня из трех к четырем. (рис. 97.1) P=3a S=(√3 a^2)/4

Все высоты в равностороннем треугольнике совпадают с медианами и биссектрисами, и все между собой равны. Это значительно упрощает расчеты, так как объединяет их все в одну формулу. Ее проще всего рассчитывать как высоту, так как она является катетом в прямоугольном треугольнике с заданными углами. (рис. 97.2) h=m=l=(√3 a)/2

Поскольку все стороны такого треугольника равны между собой, соответственно, их средние линии также равны и представляют собой половину стороны a. (рис.97.3) M=a/2

Центр вписанной окружности в равносторонний треугольник совпадает с центром описанной окружности, так как все высоты являются одновременно медианами, биссектрисами и медиатриссами и пересекаются в одной точке. Отрезок, соединяющий центр со стороной перпендикуляром, является радиусом вписанной окружности, а отрезок, соединяющий центр с вершиной угла – радиусом описанной окружности. Оба они зависят только от стороны треугольника и выражаются следующими формулами. (рис.97.4,97.5) R=a/√3 r=a/(2√3)

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать

Задание 9 ОГЭ от ФИПИ

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Задача найти сторону равностороннего треугольника по медианеСкачать

Задача найти сторону равностороннего треугольника  по медиане

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

2. Радиус вписанной окружности:
Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

3. Радиус описанной окружности:
Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

4. Периметр:
Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

5. Площадь:
Как вычислить диагональ равностороннего треугольника

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

🔍 Видео

ОГЭ 16🔴Скачать

ОГЭ 16🔴

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольникСкачать

Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольник

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра
Поделиться или сохранить к себе: