Очень часто в начале изучения фигуры ученики путают значение диагонали прямоугольника и треугольника. Поэтому, чтобы не путаться в обозначениях, лучше разобраться в тематике раз и навсегда.
- Треугольник
- Прямоугольник
- Многоугольник
- Что мы узнали?
- Стороны равностороннего треугольника
- Свойства
- Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
- Определение равностороннего треугольника
- Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Пример задачи
- 🔍 Видео
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Треугольник
Треугольник – это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. Треугольник имеет три характеризующих отрезка:
Треугольник не может иметь диагональ в принципе. Дело в том, что диагонали могут быть проведены только в многоугольниках, количество сторон которых больше 3.
Почему так? Потому что диагональ это отрезок, соединяющий противоположные вершины. В треугольнике противоположных вершин нет и быть не может. Существует сторона, противоположная вершине, но сами по себе вершины всегда смежные, т.е. соединенные одной стороной. Значит, диагонали треугольника не существует
Рис. 1. Три медианы в треугольнике.
Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать
Прямоугольник
Прямоугольник – это первая фигура школьного курса математики, которая имеет диагональ. Так же, как диагональ имеет и квадрат.
Диагональ прямоугольника или квадрата всегда:
- Делит фигуру на две равных прямоугольных треугольника.
- В полученных треугольниках диагональ будет являться гипотенузой
- Диагональ будет равняться корню квадратному из суммы квадратов катетов согласно теореме Пифагора
Диагоналей в любом четырехугольнике 2, а в квадрате и прямоугольнике обе диагонали равны между собой.
При этом правило не касается других четырехугольников. Например, диагонали параллелограмма всегда неравны между собой. Запомните, если перед вами произвольный четырехугольник использовать утверждение о равенстве диагоналей без доказательства нельзя. Любое утверждение в геометрии, кроме аксиом должно быть доказано.
Кроме прямоугольника и квадрата равными диагоналями обладает ромб. При этом диагонали ромба перпендикулярны друг другу и, так же, как и диагонали квадрата и прямоугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Видео:как найти диагональ.Скачать
Многоугольник
На самом деле, многоугольником может называться любая фигура с количеством углов, больше 2. По факту, любая фигура может называться многоугольником, поскольку 2 угла у замкнутой фигуры быть не может.
Рассмотрим многоугольники с количеством углов больше 4, поскольку четырехугольники мы уже рассмотрели.
Рис. 2. Диагонали многоугольника.
В многоугольнике, если он не является правильным, не получится решить задачу нахождения диагонали без дополнительных построений. В правильном многоугольнике все диагонали равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Правильным многоугольником зовется фигура, все стороны и углы которой соответственно равны между собой.
Количество диагоналей можно посчитать, прикинув количество смежных и несмежных вершин. Смежными зовутся вершины, соединенные одним отрезком.
Например, в четырехугольнике у любой вершины есть две смежные вершины. Значит, для каждой вершины есть только одна диагональ. Диагональ соединяет две противоположные вершины, всего вершин 4, значит 4:2=2 – в любом четырехугольнике 2 диагонали.
Но этот способ не подойдет, если в задаче требуется подсчитать количество диагоналей у многоугольника с 5989 сторонами. Такая фигура вполне возможна в теории. На практике начертить ее весьма утомительно, как и подсчитать диагонали на чертеже. Поэтому была выведена формула числа диагоналей многоугольника:
$P=<n(n-3)over>$ – где n это число сторон многоугольника.
Проверим для квадрата:
Рис. 3. Диагонали квадрата.
Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Что мы узнали?
Мы узнали, почему не существует формулы диагонали треугольника. Поговорили о том, что диагонали в принципе нет, и не может быть в многоугольниках с количеством сторон, меньше 3. Обсудили различные свойства диагоналей в различных фигурах.
Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Стороны равностороннего треугольника
Видео:Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Свойства
В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны. Стороны меняют свое значение в зависимости от размеров треугольника, а углы всегда равны 60 градусам. Зная сторону равностороннего треугольника можно вычислить все остальные его параметры по упрощенным формулам. Периметр равностороннего треугольника равен утроенной стороне, а площадь – квадрату стороны, умноженному на отношения корня из трех к четырем. (рис. 97.1) P=3a S=(√3 a^2)/4
Все высоты в равностороннем треугольнике совпадают с медианами и биссектрисами, и все между собой равны. Это значительно упрощает расчеты, так как объединяет их все в одну формулу. Ее проще всего рассчитывать как высоту, так как она является катетом в прямоугольном треугольнике с заданными углами. (рис. 97.2) h=m=l=(√3 a)/2
Поскольку все стороны такого треугольника равны между собой, соответственно, их средние линии также равны и представляют собой половину стороны a. (рис.97.3) M=a/2
Центр вписанной окружности в равносторонний треугольник совпадает с центром описанной окружности, так как все высоты являются одновременно медианами, биссектрисами и медиатриссами и пересекаются в одной точке. Отрезок, соединяющий центр со стороной перпендикуляром, является радиусом вписанной окружности, а отрезок, соединяющий центр с вершиной угла – радиусом описанной окружности. Оба они зависят только от стороны треугольника и выражаются следующими формулами. (рис.97.4,97.5) R=a/√3 r=a/(2√3)
Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Задача найти сторону равностороннего треугольника по медианеСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
🔍 Видео
ОГЭ 16🔴Скачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольникСкачать
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать
Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать