Геометрический центр правильного треугольника

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Содержание
  1. Определение равностороннего треугольника
  2. Свойства равностороннего треугольника
  3. Свойство 1
  4. Свойство 2
  5. Свойство 3
  6. Свойство 4
  7. Свойство 5
  8. Свойство 6
  9. Пример задачи
  10. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  11. Типы треугольников
  12. По величине углов
  13. По числу равных сторон
  14. Вершины углы и стороны треугольника
  15. Свойства углов и сторон треугольника
  16. Теорема синусов
  17. Теорема косинусов
  18. Теорема о проекциях
  19. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  20. Медианы треугольника
  21. Свойства медиан треугольника:
  22. Формулы медиан треугольника
  23. Биссектрисы треугольника
  24. Свойства биссектрис треугольника:
  25. Формулы биссектрис треугольника
  26. Высоты треугольника
  27. Свойства высот треугольника
  28. Формулы высот треугольника
  29. Окружность вписанная в треугольник
  30. Свойства окружности вписанной в треугольник
  31. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  32. Окружность описанная вокруг треугольника
  33. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  34. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  35. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  36. Средняя линия треугольника
  37. Свойства средней линии треугольника
  38. Периметр треугольника
  39. Формулы площади треугольника
  40. Формула Герона
  41. Равенство треугольников
  42. Признаки равенства треугольников
  43. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  44. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  45. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  46. Подобие треугольников
  47. Признаки подобия треугольников
  48. Первый признак подобия треугольников
  49. Второй признак подобия треугольников
  50. Третий признак подобия треугольников
  51. Центр треугольника
  52. Как найти центр треугольника
  53. 📸 Видео

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Центр тяжести треугольника

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Геометрический центр правильного треугольника

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Геометрический центр правильного треугольника

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Геометрический центр правильного треугольника

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Геометрический центр правильного треугольника

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Геометрический центр правильного треугольника

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Геометрический центр правильного треугольника

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Геометрический центр правильного треугольника

2. Радиус вписанной окружности:
Геометрический центр правильного треугольника

3. Радиус описанной окружности:
Геометрический центр правильного треугольника

4. Периметр:
Геометрический центр правильного треугольника

5. Площадь:
Геометрический центр правильного треугольника

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Типы треугольников

По величине углов

Геометрический центр правильного треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

По числу равных сторон

Геометрический центр правильного треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Видео:Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольникСкачать

Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольник

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

Определение центра тяжести сложной фигуры. Сопромат

Медианы треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Биссектрисы треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Высоты треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:У равностороннего треугольника есть центр симметрии. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

У равностороннего треугольника есть центр симметрии. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность вписанная в треугольник

Геометрический центр правильного треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Найти центр кругаСкачать

Найти центр круга

Окружность описанная вокруг треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Периметр треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shorts

Формулы площади треугольника

Геометрический центр правильного треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Подобие треугольников

Геометрический центр правильного треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Центр треугольника

Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.

Существует несколько понятий центра для треугольника.

Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.

Ортоцентр — точка пересечения его высот.

Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.

Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.

Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:

  • ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
  • нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.

📸 Видео

Свойства правильного шестиугольникаСкачать

Свойства правильного шестиугольника
Поделиться или сохранить к себе: