Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Взаимное расположение трех плоскостей в пространстве

Три плоскости в пространстве могут располагаться так и только так, как показано в следующей таблице.

Плоскости попарно не пересекаются.

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Все три плоскости имеют единственную общую точку (на рисунке — это точка S)

Все три плоскости имеют общую прямую

ФигураРисунокСвойство
Три параллельные плоскостиКак доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Две параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостьюКак доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Третья плоскость параллельна линии пересечения первых двух плоскостейКак доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Третья плоскость пересекает линию пересечения первых двух плоскостейКак доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостейКак доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Плоскости попарно не пересекаются.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Прямые, по которым третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, параллельны.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Прямые, по которым пересекаются каждые две плоскости, параллельны.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Все три плоскости имеют единственную общую точку (на рисунке — это точка S)

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Все три плоскости имеют общую прямую

Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать

4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примеры

77. Взаимное расположение трех плоскостей

Пусть a, b и g три плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

A12 + B12+ C12 ≠ 0, A22 + B22+ C22 ≠ 0, A32 + B32+ C32 ≠ 0. Рассмотрим систему трех уравнений

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым(5)

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым.

Заметим, что rang A £ rang A¢ и ранги матриц A и A¢ могут отличаться только на единицу. Тогда возможны следующие случаи:

1. Rang A = Rang A¢ = 3. Тогда система (5) имеет единственное решение и плоскости a, b, g пересекаются в одной точке (см. Рис. 10).

2. Rang A = Rang A¢ = 2. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g пересекаются по прямой. При этом, если строки матрицы непропорциональны, то среди плоскостей a, b, g нет совпадающих (см. рис 11). Если две строки матрицы пропорциональны, то соответствующие плоскости совпадают (см. Рис. 12).

3. Rang A = Rang A¢ = 1. Тогда система (5) имеет бесконечно много решений и плоскости a, b, g совпадают (см. рис 14).

4. Rang A =2, Rang A¢ = 3. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A нет пропорциональных, то все три плоскости пересекаются друг с другом и не пересекаются вместе (см. рис 15). Если две из строк матрицы A пропорциональны, то две из плоскостей параллельны и третья их пересекает (см. рис 16).

5. Rang A =1, Rang A¢ = 2. Тогда система (5) не имеет решений. Если среди строк матрицы A¢ есть пропорциональных, то все две плоскости совпадают друг с другом, а третья им параллельна (см. рис. 17). Если среди строк матрицы A¢ нет пропорциональных строк, то все три параллельны друг с другу (см. рис. 18).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Стереометрия. Страница 1

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Три параллельные плоскости
Две параллельные плоскости, пересечённые третьей плоскостью
Третья плоскость параллельна линии пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость пересекает линию пересечения первых двух плоскостей
Третья плоскость проходит через линию пересечения первых двух плоскостей
  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Видео:17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположены

1. Основные фигуры стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и их свойства в пространстве. Основные фигуры в пространстве — это точка, прямая, плоскость. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ.

Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

2. Группа дополнительных аксиом стереометрии

1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей.

2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис. 1. Аксиомы стереометрии.

Видео:3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать

3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскости

Пример

Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке.

Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).

точка Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)

Тогда плоскости α и γ пересекаются по прямой b.

Отсюда следует, что, т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е1.

Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е1.

Отсюда можно сделать вывод, что точка Е1 принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е1, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е1 совпадают.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку

Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.

Доказательство.

Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.

Если допустить, что существует еще одна плоскость α’, проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

4. Пересечение прямой с плоскостью

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.

Доказательство.

Пусть а — данная прямая, А и В принадлежащие этой прямой точки, α — данная плоскость. Точки А и В принадлежат плоскости α. Согласно аксиоме 1, существует точка С, не лежащая на прямой а. (Рис.4)

Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а’. Таким образом, имеем:

точки А и В ∈ а, α
прямая а ∈ β
следовательно, точки А и В ∈β

Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а’, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а’ совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.

Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5

Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

6.Пример 1

Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть дана данная прямая а и точка О, не принадлежащая прямой а. И даны пересекающие ее прямые b, c, d в точках B, C, D, которые пересекаются в точке О. Проведем через прямую а и точку О плоскость α (Рис.6).

По теореме о пересечении прямой и плоскости, если провести прямую b, проходящую через точку О и точку В прямой а, то она целиком будет принадлежать плоскости α, так как две точки прямой b принадлежат плоскости α.

Если допустить, что прямая b не принадлежит плоскости α, то в этом случае мы можем провести плоскость α’, проходящую через точки В и О. Тогда плоскости α и α’ пересекаются по прямой b’, проходящей через точки В и О. А так как через две точки можно провести только одну прямую, то прямые b и b’ совпадают. Следовательно, прямая b целиком принадлежит плоскости α.

Точно так же доказывается, что прямые с и d принадлежат плоскости α. Отсюда можно сделать вывод, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую.

Пример 2

Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.

Доказательство:

Пусть даны две непересекающиеся плоскости α и α’. И прямая а, которая пересекает плоскость α в точке В (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая а пересекает плоскость α’ в точке В’.

Возьмем на плоскости α’ точку А и проведем через нее и прямую а плоскость β. Тогда плоскость β будет пересекать плоскости α и α’ по параллельным прямым b и b’. Точка В принадлежит прямой b, так как она принадлежит плоскости α и лежит на прямой а. И следовательно, она принадлежит двум плоскостям α и β.

Таким образом получается, что на плоскости β лежат две параллельные прямые b и b’. Одну из них пересекает прямая а в точке В. Следовательно, прямая а пересекает и вторую прямую b’. Так как согласно аксеоме, через точку В, не лежащей на данной прямой b’, можно провести только одну, параллельную прямой b’, прямую b. Отсюда следует, что прямая а не параллельна прямой b’, она ее пересекает в точке B’.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости.

Пример 3

Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А (Рис.8). Необходимо доказать, что прямая b пересекает прямую а.

По условию задачи, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А. Следовательно, точка А принадлежит двум плоскостям α и β.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что, так как точка А принадлежит двум плоскостям, то она лежит на прямой а, потому что прямая а является прямой пересечения двух плоскостей α и β.

Таким образом, точка А принадлежит двум прямым а и b. А следовательно, эти прямые пересекаются.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 4

Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Точки А, В, С одновременно принадлежат двум плоскостям α и β (Рис.9). Необходимо доказать, что все три точки принадлежат прямой а.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что все три точки А, В и С лежат на прямой пересечения двух плоскостей, т.е. прямой а, так как они принадлежат обоим плоскостям α и β.

Пусть дана точка D, принадлежащая только плоскости β. Тогда она не может лежать на прямой а, так как она не принадлежит плоскости α. Точно так же точка Е не может принадлежать прямой а, так как она принадлежит только плоскости α. Точка F не принадлежит плоскостям α и β, а следовательно, и прямой а.

Отсюда можно сделать вывод, что, если точка принадлежит обоим плоскостям α и β, то она обязательно лежит на прямой а. Так как прямая а — это множество точек, принадлежащих двум пересекающимся плоскостям α и β.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей.

Пример 5

Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D. Допустим, что все четыре точки лежат в одной плоскости α.

Прямая АВ не пересекается с прямой CD. Прямая АС также не пересекается с прямой BD. Если провести прямую AD, то точки В и С окажутся в разных полуплоскостях. Следовательно, прямая AD пересекается с прямой ВС в точке О (Рис.10 а).

Допустим, что прямая AB не пересекает прямую DС (Рис.10 б). АD не пересекает прямую BC. Тогда, если провести прямую АС, то точки B и D окажутся в разных полуплоскостях. И прямая АС будет пересекать прямую BD в точке О.

Теперь допустим, что прямая AC не пересекает прямую ВD (Рис.10 в). АD не пересекает прямую ВC. Тогда, если провести прямую АВ, то точки D и C окажутся в разны полуплоскостях. А следовательно, прямая АВ будет пересекать прямую СD в точке О.

Отсюда можно сделать вывод, для того, чтобы выполнялось условие, при котором прямые АВ, АС, АD, одновременно не пересекали бы прямые CD, BD, BC, необходимо чтобы четыре точки А, В, С и D лежали в разных плоскостях.

Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым

Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая.

🎥 Видео

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Найти точку пересечения 3х плоскостейСкачать

Найти точку пересечения 3х плоскостей

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

3. Уравнение плоскостиСкачать

3. Уравнение плоскости

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространстве
Поделиться или сохранить к себе:
Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 1
Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
1 2 3 4 5 6 7 8
Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым
Как доказать что три плоскости пересекаются по трем различным параллельным прямым